高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修22 .ppt

2 3数学归纳法 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 第一步 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 第二步 归纳递推 假设 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 第一个值n0 n0 n n k k n0 k n n k 1 2 数学归纳法的框图表示 n k k n0 n k 1 1 判一判 正确的打 错误的打 1 与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法 2 数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1 3 数学归纳法的两个步骤缺一不可 解析 1 错误 数学归纳法只能证明与正整数n有关的数学命题 但与n有关的数学命题不一定只用数学归纳法来证明 2 错误 数学归纳法的第一步n0不一定为1 要视具体情况而定 3 正确 根据数学归纳法的定义可知 两个步骤缺一不可 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 用数学归纳法证明 2n n2 1对于n n0的正整数n都成立 时 第一步证明中的初始值n0应取 2 定义一种运算 对于正整数n 满足以下运算性质 1 1 2 n 1 1 3 n 1 则n 1的运算结果用含n的代数式表示为 3 设sk 则sk 1 用含sk的代数式表示 解析 1 当n 1时 左 右 当n 2 3 4时 左右 故初始值应取5 答案 5 2 根据题意 1 1 2 2 30 进而可得2 1 3 1 1 2 3 2 31 3 1 3 2 1 3 2 3 2 32 n 1 3 n 1 1 2 3n 1 答案 2 3n 1 3 sk 1 答案 要点探究 知识点数学归纳法1 数学归纳法的实质数学归纳法是一种以数字归纳原理为根据的演绎推理 它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程 所以它是证明有关正整数问题的有力工具 2 数学归纳法两个步骤的联系第一步是验证命题递推的基础 第二步是论证命题递推的依据 这两个步骤缺一不可 只完成第一步而缺少第二步就作出判断 可能得出不正确的结论 因为单靠第一步 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样只有第二步而缺少第一步时 也可能得出不正确的结论 缺少第一步这个基础 假设就失去了成立的前提 第二步也就没有意义了 知识拓展 数学归纳法证题的口诀数归证题真是妙 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 微思考 1 用数学归纳法证明不等式时是否通常与直接证明的方法同时使用 提示 是 尤其是证明n k 1这一步时 会经常使用分析 综合 放缩等方法 2 与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法 提示 不能 数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种方法 即时练 1 2014 西安高二检测 下面四个判断中 正确的是 a 式子1 k k2 kn n n 中 当n 1时 式子的值为1b 式子1 k k2 kn 1 n n 中 当n 1时 式子的值为1 kc 式子 n n 中 当n 1时 式子的值为d 设f x n n 则f k 1 f k 2 用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 2 1 n n 的过程中 在验证n 1时 左端计算所得的项为 a 1b 1 2c 1 2 22d 1 2 22 23 解析 1 选c a错 n 1时 式子的值为1 k b错 n 1时 式子值为k0 1 c正确 d错 f k 1 2 选c n 1时 左边 1 2 21 1 1 2 22 题型示范 类型一用数学归纳法证明等式 典例1 1 2014 合肥高二检测 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 从k到k 1 左端增乘的代数式为 2 用数学归纳法证明 n n 解题探究 1 题 1 中n k 1时左端的代数式是什么 2 题 2 中由n k到n k 1等式左边增加了什么项 探究提示 1 当n k 1时 左端代数式为 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 左边增加了 自主解答 1 令f n n 1 n 2 n n 则f k k 1 k 2 k k f k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 所以 2 2k 1 答案 2 2k 1