高中数学 4.1数学归纳法课件 新人教A版选修45.ppt

第四讲数学归纳法证明不等式4 1数学归纳法 栏目链接 1 了解数学归纳法的原理及其使用范围 2 会用数学归纳法证明一些简单问题 3 掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论 栏目链接 栏目链接 1 数学归纳法是一个递推的数学论证方法 论证的第一步是证明命题在 时成立 这是递推的基础 第二步是假设在 时命题成立 再证明 时命题也成立 这是递推的依据 实际上它使命题的正确性突破了有限 达到无限 证明时 关键是k 1步的推证 要有目标意识 2 从试验 观察出发 用不完全归纳法作出 再用数学归纳法进行 这是探索性问题的证法 数列中经常用到 试值 猜想 证明 n n0 n0 n n k k n0 k n n k 1 归纳猜想 严格证明 栏目链接 栏目链接 栏目链接 题型一证明恒等问题 栏目链接 栏目链接 变式训练 栏目链接 所以当n k 1时 等式仍然成立由 1 2 可知 对于 n n 等式恒成立 点评 用数学归纳法证明恒等式应注意 明确初始值n0的取值并验证n n0时命题的真假 必不可少 明确从 假设n k时命题正确 到写出 n k 1时 命题形式是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 简言之 两个步骤 一个结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 栏目链接 题型二证明整除问题 例2求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n n 栏目链接 由归纳假设 上式中的两项均能被a2 a 1整除 故n k 1时命题成立 由 1 2 知 对n n 命题成立 点评 证明整除性问题的关键是 凑项 而采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 栏目链接 变式训练 2 用数学归纳法证明 3n 1 7n 1能被9整除 n n 分析 证明一个与n有关的式子f n 能被一个数a 或一个代数式g n 整除 主要是找到f k 1 与f k 的关系 设法找到式子f1 k f2 k 使得f k 1 f k f1 k a f2 k 就可证得命题成立 证明 1 当n 1时 原式 3 1 1 7 1 27 能被9整除 命题成立 2 假设当n k k 1 时 栏目链接 变式训练 3k 1 7k 1能被9整除 则当n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 21 k 1 7 7k 1 3k 1 18k 27 7k 1 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k 3k 1 7k 1 和9 2k 3 7k都能被9整除 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k能被9整除 即 3 k 1 1 7k 1 1能被9整除 栏目链接 即当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 对任何n n 命题都成立 分析 本题如果将n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1变为7 3k 1 7k 1 3 7k 1 6 再去证明3 7k 1 6能被9整除 困难就大一些 即为了能利用归纳假设 拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式 需要观察式子的特点 不能盲目变形 要有目标 栏目链接 题型一证明几何或数列问题 例3平面内有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任意三个圆不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n n2 n 2 n n 个部分 分析 因为f n 为n个圆把平面分割成的区域数 那么再有一个圆和这n个圆相交 就有2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成2n段弧 且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 因此增加一个圆后 平面分成的区域数增加2n个 即f n 1 f n 2n 栏目链接 有了上述关系 数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 证明 1 当n 1时 一个圆将平面分成两个部分 且f 1 1 1 2 2 所以n 1时命题成立 2 假设n k k 1 时命题成立 即k个圆抒平面分成f k k2 k 2个部分 则n k 1时 在k 1个圆中任取一个圆o 剩下的k个圆将平面分成f k 个部分 而圆o与k个圆有2k个交点 这2k个点将圆o分成2k段弧 栏目链接 每段弧将原平面一分为二 故得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k