高考数学 13.3 互斥事件的概率、条件概率与相互独立事件的概率复习课件 理.ppt

13 3互斥事件的概率 条件概率与相互独立事件的概率 1 已知事件a b的概率都大于零 那么 a 如果a与b互斥 则与也互斥b 如果a b不是相互独立事件 那么它们一定是互斥事件c 如果a b是相互独立事件 那么它们一定不是互斥事件d 如果a b是必然事件 那么它们一定是对立事件 c 2 甲 乙两人独立解同一道题 甲解决这道题的概率是0 7 乙解决这道题的概率为0 8 那么恰有一人解决这一道题的概率是 a 0 56b 0 38c 0 44d 0 94 解析 只有甲解决这道题的概率为0 7 1 0 8 0 14 只有乙解决这道题的概率为0 8 1 0 7 0 24 故恰有一人解决这一问题的概率为0 14 0 24 0 38 选b 3 甲 乙两人下棋 两人下成和棋的概率是 甲获胜的概率是则甲不输的概率是 4 在4次独立重复试验中 随机事件a恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率 则事件a在一次试验中发生的概率p的取值范围是 解析 依题意 得解得p 0 4 又p 1 故0 4 p 1 0 4 1 5 有3道选择题和2道填空题 如果依次不放回地抽取2道 则在第一次抽到选择题的条件下 第二次抽到选择题的概率为 解析 第一次抽到选择题的概率为 则第二次抽到选择题的概率为 1 互斥事件 叫做互斥事件 如果事件a1 a2 an中的任何两个都是互斥事件 那么就说a1 a2 an彼此互斥 不可能同时发生的两个事件 2 对立事件如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生 那么这样的两个互斥事件叫做 通常事件a的对立事件记作 且有 对立事件 3 互斥事件的概率加法公式设a b是两个事件 a b表示这样的事件 如果在一次试验中a或b中至少有一个发生就表示该事件发生 当a与b为互斥事件时 p a b 一般地 若a1 a2 an彼此互斥 则有p a1 a2 an p a p b 4 条件概率设a b为两个事件 且p a 0 称为在事件a发生的条件下 事件b发生的条件概率 5 相互独立事件事件a 或b 是否发生对事件b 或a 发生的概率没有影响 这样的两个事件叫做相互独立事件 6 相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积 即p a b 一般地 如果事件a1 a2 an相互独立 则有p a1 a2 an p a p b p a1 p a2 p an 7 独立重复试验若n次重复试中 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果 则称这n次试验是独立的 8 n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率如果在一次试验中某事件发生的概率是p 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 如果设q 1 p 则pn k 就是 q p n的展开式中的第k 1项 故也叫做二项分布公式 考点1 互斥事件的概率例题1 一个口袋里共有7个白球4个红球 现在一次取出三个球 则这三个球中至少有一个红球的概率是多少 解析 方法一 记 三个球中至少有一个红球 为事件a 三个球中恰有一个红球 为事件a1 三个球中有两个红球 为事件a2 三个球全是红球 为事件a3 则a a1 a2 a3 且这三个事件两两互斥 故得p a p a1 p a2 p a3 方法二 记 三个球全是白球 为事件 且是a的对立事件 则故得 点评 在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法 一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和 二是先求出此事件的对立事件的概率 拓展训练 从标有1 2 3 4 5 6 7的7个小球中取出一个 记下它上面的数字 放回并搅动 再取出一球 记下它上面的数字 若两个数字之和大于11或两个数字之积小于11就能中奖 问中奖的概率是多少 解析 从7个小球中有放回地两次取球 两个数字之和大于11的概率是 两个数字之积小于11的概率是因为两个数字之和大于11与两个数字之积小于11是两个互斥事件 所以中奖的概率为 点评 本题是有放回地取球 如果是不放回地取球 则可用数对标记列举出来 考点2 条件概率例题2 在100件产品中有95件合格品 5件不合格品 现从中不放回地取两次 每次任取一件 试求 1 第一次取到不合格品的概率 2 在第一次取到不合格品后 第二次再次取到不合格品的概率 解析 设a 第一次取到不合格品 b 第二次取到不合格品 1 2 根据条件概率的定义计算 需要先求出事件ab的概率 所以有 点评 1 在等可能性事件的问题中 求条件概率通用的方法是利用条件概率公式这就需要求出p ab 和p a 用到原来的概率知识 2 本题中可以计算事件b的概率为可见 条件概率p b a p b 考点3 相互独立事件发生的概率例题3 甲 乙两人独立地破译1个密码 他们能译出密码的概率分别为和 试求 1 两人都译出密码的概率 2 两人都译不出密码的概率 3 恰有1人译出密码的概率 4 至多1人译出密码的概率 解析 设 甲译出密码 为事件a 乙译出密码 为事件b 则a与b相互独立 1 2 3 4 点评 要分清 互斥事件 与 相互独立事件 的概念 以及 互斥 与 独立 的概念 拓展训练 如图所示 开关电路中 开关s1 s2 s3开或关的概率均为 且是相互独立的 求灯亮的概率 解析 设事件a b c分别表示s1 s2 s3关闭 则s1 s2同时关闭或s3关闭时灯亮 即或a b c或或或发生 故 p a p b p c p a p b p c p a p b p c p a p b p c p a p b p c 即灯亮的概率为 点评 分类讨论时要注意不重复不遗漏 考点4 独立重复试验与互斥事件的综合与应用例题3 对某种抗癌新药的疗效进行试验 假定该药对某种癌症的治愈率为80 现有10名患者同时服用此药 求其中至少有6人被治愈的概率 精确到0 01 解析 记 一病人被治愈 为事件a 则p a 0 8 则至少有6人被治愈的概率为 p p10 6 p10 7 p10 8 p10 9 p10 10 备选题 甲 乙两个篮球运动员 投篮的命中率分别为0 5和0 8 每人投篮两次 1 求甲投进两球且乙至少投进一球的概率 2 若投进一个球得2分 未投进得0分 求甲 乙两人得分相同的概率 解析 1 设 甲投进两球且乙至少投进一球 为事件a 甲投进两球 为事件b 乙至少投进一球 为事件c 则a b c 由p b 0 5 0 5 0 25 p c c21 0 8 1 0 8 0 82 0 32 0 64 0 96 得p a p b p c 0 25 0 96 0 24 2 设 得分相同 为事件m 则p m 0 52 0 82 c21 0 5 1 0 5 c21 0 8 1 0 8 0 5 2 1 0 8 2 0 25 0 64 0 5 0 32 0 25 0 04 0 33 点评 本题中的 得分相同 意指 两人得分均为0分 或 两人得分均为2分 或 两人得分均为4分 1 求复杂的互斥事件的概率 一般有两种方法 一是直接求解法 将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和 分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算 这时应注意事件是否互斥 是否完备 二是间接求解法 先求出此事件的对立事件的概率 再用公式若解决 至多 至少 型的题目 此方法显得比较方便 2 解题时注意 互斥事件 与 对立事件 的区别与联系 搞清楚 互斥事件 与 等可能性事件 的差异 3 解概率问题时 一定要根据有关概念 判断是否为条件概率或等可能事件 或互斥事件 或相互独立事件 还是某一事件在n次独立重复试验中恰好发生k次等概率的情况 以便选择正确的计算方法 4 解题过程中 要明确条件中 至少 至多 恰好 都发生 都不发生 和 不能发生 等词语的意义 以及它们的概率之间的关系和计算公式 5 如果事件a与b相互独立 那么a与b a与b a与b也都相互独立 易错点 公式应用错误例题 一名学生在军训中练习射击项目 他命中目标的概率是 共射击6次 1 求在第三次射击中首次命中目标的概率 2 求他在射击过程中命中目标数 的期望与方差 解析 1 第三次射击中首次命中的意思是第一 第二次都未命中而第三次命中 这是相互