（理论物理专业论文）yangian在量子纠缠度对称性中的应用.pdf

摘要 以量子杨一巴克斯特方程为中心的有关理论，是比较系统的处理某些非线性模型的 成功理论，特别是v g d r i n f e l d 所建立的y a n g i a n 和量子群理论对物理中的量子完全可积 模型的对称性研究提供了强有力的数学工具。自从1 9 9 2 年以来，人们在y a n g i a n 各种物 理实现和量子完全可积模型的研究方面取得了重要的进展，并给出新的物理理解和理论 结果。例如我们所熟悉的氢原子问题中就存在y a n g i a n 对称性及r 玎意义下的量子完全 可积性。 本论文的目的主要是将y a n g i a n 代数理论运用到具体的物理模型中去，用y a n g i a n 算子构造自旋为：1 的双粒子系统的量子纠缠态的跃迁算子。首先研究了系统的哈密顿量 为h = 昙。+ n ；的双粒子系统其最大纠缠态随时间进行演化时量子态纠缠度并不发生变 化，进而证明该系统任何纠缠度的量子态在系统的哈密顿量为h = z ，? 盯时，量子纠缠 z 度都不随时间演化而发生变化，说明系统的量子纠缠度在时间演化算子的作用下具有某 种对称性。然后，我们引入了y a n g i a n 算子，用其组合出算子p ，使p 能实现从最大纠 缠态至其他任意纠缠度的纠缠态的跃迁，从而再一次看到y a n g i a n 算子具有非凡的跃迁 作用。 关键词：纠缠度纠缠态 y a n g i a n 代数 量子跃迁 a b s 扫a c t s i n c ec n y a n ga n dr j b a x t e rs e p a r a t e l ye s t a b l i s h e dq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o n i n19 6 0 s ，t h e i n v e s t i g a t i o n s o nq u a n t u mi n t e g r a b l em o d e l sh a v eb e e n g r e a t l yp r o m o t e d e s p e c i a l l y t h e t h e o r y o f y a n g i a na n dq u a n t u ma l g e b r at h e o r yt h a tw e r ee s t a b l i s h e db y v g d r i n f e l do f f e r e da p o w e r f u lm a t h e m a t i cm e t h o df o rt h er e a c ha b o u tt h es y m m e t r yo ft h e i n t e g r a b l eq u a n t u mm o d e l si np h y s i c s p e o p l eh a v em a d eg r e a tp r o g r e s sb o t hi nd i f f e r e n t k i n d so fr e a l i z a t i o n so fy a n g i a na n di nt h es t u d i e so nq u a n t u m i n t e g r a b l em o d e l ss i n c e19 9 2 ， a n dh a v eg i v e nn e w p h y s i t su n d e r s t a n d i n g a n dt h e o r e t i c a lr e s u l t s f o re x a m p l e ，t h e y a n g i a n s y m m e t r ya n dr 丌i n t e g r a b l i l i t yo f h y d r o g e na t o m h a db e e nr e p o r t e da tl e n g t h i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ya p p l yt h et h e o r yo fy a n g i a nt ot h ec o n c r e t ep h y s i c sm o d e l ，t r y i n g t or e a l i z et h et r a n s i t i o no ft h ee n t a n g l e ds t a t e si nt h es p i n1 2 b i p a r t i c l es y s t e m w ef i r s t l y s t u d y t h a tt h e d e g r e e o ft h e m a x i m a l l ye n t a n g l e d s t a t e sd o n t c h a n g e a st h ee v o l u t i o n t 斗 _ + o p e r a t o r sw o r ki f t h eh a m i l t o no f t h es y s t e mi sh = h 口，f u r t h e r m o r e ，w ep r o v et h a tt h e 二 d e g r e eo f a n ye n t a n g l e ds t a t e da st h ee v o l u t i o no p e r a t o r sw o r k i f t h eh a m i l t o ni s ，w h i c hs t a t e s s o m ek i n do fs y m m e t r ye x i t sw h e nt h ee v o l u t i o no p e r a t o r sw o r k t h e nw ei m p o ay a n g i a n o p e r a t o r sa n dm a k eo u tt h eo p e r a t o rpt h a tc a ns h i f tt h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t e st ot h e e n t a n g l e ds t a t e si na n yd e g r e e t h u s ，w ew i l lk n o w t h ef u n c t i o no f t h e y a n g i a n f a c t o r sd e e p e r k e yw o r d s ：e n t a n g l e d s t a t e e n t a n g l e dd e g r e e y a n g i a na l g e b r aq u a n t u m t r a n s i t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名： 逝王b 黧日期：2 照s ：篁：! ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：幽坠鲺指导教师签名： 日期：芏：堇：；f 日，期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 短 第一章绪论 l l 引言 物理中存在着许多经典可积模型，目前常遇到的有十几种。人们长时间研究它们 的孤子解【1 。j 。但是，再复杂的具体经典解的发现也无助于力学系统的量子化。对于非 线性问题的求解，我们常可以在求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微扰方法 来求出修正部分，然而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严格解。这不仅 是求解的技术问题，更重要的是严格解的性质和微扰论各阶叠加的结果常常有本质的 不同，许多经典孤子解就提供了这方面的例证。f a d d e e v 学派在实现从经典到量子的研 究方面做出了重要的贡献。而以y a n g b a x t e r 方程( 简称y b e ) 为中心的有关理论，是 比较系统的处理某些非线性模型的成功理论，是解决非线性问题理论发展的一个巨大 飞跃，它的研究对象是多体系统。 q u a n t u my a n g - b a x t e r 方程( 简称q y b e ) 的建立起源于两个方面的研究：一是一维 量子多体问题【4 j ，二是统计力学中的二维精确可解问题。最早引入有实在物理意义的 q y b e 的是杨振宁，1 9 6 7 年他在处理具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散 射的自洽条件而引入了 q y b e 的原始形式。1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究统 计力学中的二维精确模型时，为了对角化他所定义的转移矩阵从另一角度独立的得 到了称之为t r i a n g l e s t a r 的关系。当时这两种形式并未很好的结合起来。直到咀 l d f a d d e e v 为首的前苏联列宁格勒学派进一步发展了量子反散射方法1 5 , 6 】，发现杨振宁 与r j b a x t e r 弓f 入的这类关系可以写成一般形式，这对一大类低维量子可积模型有巨大 的用途，定名为y a n g b a x t e r 方程。随着各方面研究成果的积累，人们发现q y b e 普遍存 在于量子可积问题中，并且起着核心作用。近三十年来，有关q y b e 的研究取得了长足 进展口“l ，作为处理一大类非线性量子可积模型的普遍理论，它已成为理论物理研究 中一个具有活力的分支。 在力学中，只要知道系统所有的运动积分，这个系统就是完全可积的。显然，完 全可积性给系统一种限制。最理想的情况是构造一个理论框架，从它出发，原则上可 以进一步用物理算符实现这些关系，从而可以将h a m i l t o n 量具体化。l d f a d d e e v 在统 一杨振宁和r j b a x t e r 理论时，建立二次量子化逆散射方法理论并同时提出了朋7 关 系。r t t 关系就是我们所寻求的理论框架。它是y b e 系统理论中的基本关系式，也是 联系物理中模型的出发点。尉叮关系的重要性是它不仅给出对易关系，还给出量子系 统的守恒量，包括h a m i l t o n 量，因为它规定了动力学，这正是物理性质的要点。q y b e 的解的重要意义在于确定了局域量子算符( 格点上) 之间的交换关系，也决定了整体量子 转移矩阵的交换关系。由月丁丁关系出发，给定q y b e 的解矩阵r ( u ) 时，可以得到量子 整体转移矩阵巧( ) 的矩阵元之间的交换关系和h a m i l t o n 量，之后，用具体的物理算 符来实现这些关系，从而可以将h a m i l t o n 量具体化，因此，r 玎关系能够构造出 h a m i l t o n 量，在更深的层次上建立了瓶型代数关系与h a m i l t o n 量守恒系统的联系，此 外，满足r z 丁关系的系统一定是量子可积系统。 我们知道月玎关系规定了作为量子算符的乙( “) 代数关系，给定y b e 的一个解 r ( “) 矩阵时，通过朋丁关系可以得到辅助空间中矩阵元乙( “) 之间的代数关系。如果 取定r ( u ) 为“的多项式形式，则称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元 乙( “) 所构成的代数并不等同于李代数，它是由有限个生成元所决定的不封闭的无穷维 代数。而“。1 与“_ 2 阶的算符间的对易关系是最基本的，只要满足这两阶所有的关系， 那么所有高阶关系将由它们所决定，这种代数称为y a n g i a n 。y a n g i a n 代数是比李代数 更大的无穷维代数，李代数是y a n g i a n 代数的子代数。它是由数学家v ( i d r i n f e l d 在1 9 8 5 年首先引入的f 7 j ，在 r a n g 后面加缸 是为了纪念杨振宁教授在该研究领域的重大贡献。 r a n g i a n 属于数学上霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它描述了完全量子可积问题 中一类非线性相互作用模型所特有的新型对称性。 y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特点，给出有关物理中 的量子完全可积模型的对称性新的物理理解和理论结 果，为研究非线性相互作用系统的新型对称性提供了一种强有力的工具。如果体系的 h a m i l t o n 量与y a n g i a n 的生成元对易，我们就说该体系具有y a n g i a n 对称性。值得指出 的是，杨一巴克斯特系统保证了量子可积性质，但并不保证其h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易， 相反，如果h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，也不一定是量子可积的。这些性质依赖于具体 的实现。以一维h u b b a r d 模型为例【1 ，y a n g i a nj e 是无穷长链h u b b a r d 模型的对称性，并 由此带来了新型简并度，正是了的作用引起不同格点间自旋的耦合，y a n g i a n 的引入扩 大了这种新型对称性的描述。 除了描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是它可以组成超出李 代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符。李代数算子只能在同一个权内变动， 而y a n g i a n 却可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系起来，它正是量子力学中跃 迁算子的推广。以氢原子为例，对于每个能量本征值，均有昭面”对称性，对应着 角动量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的角动量从，跃迁 到，+ 1 。最初由y a n g i a n 得到的不同量子态之间的平移算子均是由不含时间因子的算 子所给出的，近年来，对于含时情况下，y a n g i a n 的实现和随时间演化的平移算子的性 质方面的研究也有很大进展，同时，也拓展了y a n g i a n 在物理中的进一步应用。 另外，我们知道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要信息，因此 y a n g i a n 对称性还可以应用于能谱结构的研究。y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容， 它早已存在于量子力学之中，从量子力学的角度理解y a n g i a n 是最直观而有效的途径。 杨一巴克斯特方程包含了极为丰富的物理内容，近年来，越来越多的研究表明它 是处理一大类非线性量子可积模型的普遍理论。 1 2 论文的选题背景及意义 y a n g i a n 的作用是描述物理体系的对称性，除此之外，它还有另一种直观的物理含 义：它可以组成量子力学中能谱的升降算符( s h i f to p e r a t o r s ) 。这个方面的研究刚刚起 步。况且从量子力学、多体问题、链模型等角度理解y a n g i a n 的物理实质仍是发展中的 研究课题。 y a n g i a n 属于数学上的霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它描述了完全量子可 积问题中的一类非线形相互作用模型的所特有的新型的严格对称性。同时，y a n g i a n 的 引入大大简化了这种新型对称性的描述。而知道了系统的全部对称性意味着可以得到 能谱的重要信息。用y a n g i a n 对称性重新研究能谱结构，是个刚刚发展的课题。值得提 到的是，x x x 模型谱的实验研究已经获得相当的成功。因而，y a n g i a n 算符在跃迁行 为中的作用是值得研究的。 自从e p r ( e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ) 引发对纠缠现象得研究以来，纠缠态就在不 断发展着的量子物理中起着重要作用，今年来尤其在量子态隐形传输( q u a n t u m t e l e p o r t a t i o n ) 、量子密码术、量子计算等方面得到了极大的应用。由两个自旋为1 2 的粒子组成的量子系统，被称为二一量子比特系统( t w o q u b i t ) ，其量子态一般可写 为i 奶= 口1 0 0 ) + 剧0 1 ) + 纠1 0 ) + 刮1 1 ) 当有一个磁场作用于其中一粒子时，系统的哈密顿 量可写为h = ；：；( ：为磁场方向) ，然而系统的时间演化算符u = e - s l i t 并不改变系统 的纠缠度2 ”。 本文正是有感于具有哈密顿量h = 三二；的双粒子系统在随时间进行演化的时 候，系统的纠缠度并不发生变化，利用y a n g i a n 算子的跃迁作用，构造了一个纠缠度 的跃迁算子，使纠缠度最大的态能跃迁至其他任意纠缠度的态上。 这是将y a n g i a n 理论应用到具体的模型之中，研究其在具体跃迁行为中的作用， 有助于进一步理解y a n g i a n 代数理论的物理实质和意义。 1 3 论文的主要研究内容 本论文主要研究y a n g i a n 代数理论在双粒子系统纠缠度问题上的应用。在第二章 1l _ + 中我们首先介绍一下自旋为的双粒子系统在系统哈密顿量为i t = 三”仃时，其最大 z2 纠缠态的演化行为及性质，然后论证了系统的时间演化算子其性质之普遍性，即它对 处于其他纠缠度的纠缠态的纠缠度也没有改变作用，即在该时间演化算子下，系统的 量子纠缠度具有某种对称性。第三章中，在简单的介绍一下y a n g i a n 代数理论之后， 引入y a n g i a n 算子，通过计算与推理，确定含有g a n g i a n 算子的纠缠度跃迁算子中的 各参数，从而得到能实现从最大纠缠态至任意纠缠度的量子态跃迁的算子。 g g - - ! 自旋为去的双粒子系统及其纠缠态 2 1 双粒子系统的最大纠缠态 1 9 3 5 年，e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) 写了一篇题为“能够认为量子力学对物 理实在的描述是完备的吗”的文章，对量子力学的完备性提出了质疑，他们讨论有两 个无自旋的粒子组成的体系，那是一个非常奇怪的例子，于是很自然的，后来的物理 学家都逐渐把问题转到讨论两个有自旋的电子或光子，用实验研究两粒子间奇异的纠 缠现象m l 。具有纠缠现象的量子态称为纠缠态，近年来纠缠态在量子物理的发展中起 着重要作用，尤其在量予态隐形传输、量子密码术、量子计算等方面得到了极大应用。 量子二态体系l y ) = 口l o ) + 剧1 ) ，作为两个相互正交的基本态i o ) 与1 1 ) 的线性叠加可 以视为储存“几率幅”的最小单位，称为一个q u a n t u m b i t ，简记为“q u b i t ”( 量子位) 。 这一名称显然是与储存经典信息的由0 和“l ”两个数码组成的二进制单位“b i t ” 相对应。 纠缠态存在于多粒子系统中，它描述了子系统间不可分离的特性。对纠缠程度的 定量描述用纠缠度来定义，我们将在以后给出介绍。由两个二态体系粒子组成的系统 其量子态称为二一量子位态，它是最简单的演示了纠缠的量子力学系统”7 _ 3 0 1 。 一般的双粒子系统的量子态可写为： l y ) 2 a l o o ) + 矧0 1 ) + r l l o ) + 占1 1 1 ) ( 其中口、n 占是满足波函数归一化条件的 复系数) 我们定义c = 2 i 口d 一卢引为双粒子系统的纠缠度，当c = i 时，系统处于最大纠缠态。 当双粒子系统处于最大纠缠态时，若略去一个整体相因子，态的波函数可写为一 一般形式： y ) = i ( 口i o o ) + 剧0 1 ) 一+ i l o ) + 口+ 1 1 1 ) ) ( 其中i 口l2 + l p i 2 一1 ) - q 二 那么所有最大纠缠态的希尔伯特空间可以被定义为： q 。= 口，) c2 l 搿i2 + i p l 2 = l j ， 因此任意一个最大纠缠态( m e s ) 可以用一对复数( 口，卢) 来表示。 假设双粒子系统中有一个粒子处于磁场之中，系统的哈密顿量可写为h 一；：o + - ( 已令 = 1 ，其中h 为指示磁场方向的单位矢量) ，那么相应于系统哈密顿量的时间 “= r 季。霉薹；卜豳扣一吖峨，i 一打，+ s t n ；c 。s ；i + ，n ：s ；n ；j 。21 2 “1 + “一1 1 一“+ 1 1 3 “3 7 其中n 。= n ，i n ，盯。= j 1 ( 口，f 口，) ，0 3 = o z ， 1 3 = l qr _ 如果让因甩取值不同而不同的一系列哈密顿量的演化算子各自作用一段时间，那 么最大纠缠态所经历的路径可用一超立方体来演示： f bg a 斗( 1 ，0 ) ，b 呻( s ，s ) ，c 斗 + ，g + ) ，d 斗( g ，- e ) ，e 忙+ ，一驴) ，f ( f ，0 ) ，g ( o ，1 ) ，h ( o ，f ) 其中我们定义 设a 为初态，对应于波函数j y ) 。万i ( i o o ) + 1 1 1 ) ) ，超立方体的1 6 个顶点以及 连接这些顶点的边都对应于最大纠缠态，字母上的小横代表相反的点，如j 点表示一 a 。如果最大纠缠态在一系列时间演化算符的作用下，历经路径a _ b 寸f 哼d _ a ， 从初始态出发并最终回到初始态，在这类路径下，波函数在该过程中获得零相位；若 历经路径a 叶b f 斗五呻五，从初态出发到达与初态相反的态，在该过程中，波函 数获得7 l 相位。 无论是从a 至a ，还是从a 至j ，每一条路径都分为四部分，每一部分用时t 一；石， 前两部分时间演化算子作用于第一个粒子上，后两部分则作用于第二个粒子上，可算 得每一阶段作用磁场的方向： a 寸b 历( 一1 ，一1 ，一1 ) b f 4 1 3 ( 1 ，一1 ，一1 ) f 斗d l 3 ( 一l ，一1 ， ) d 斗a l 3 ( 一1 ，1 ，1 ) f 寸e 4 1 3 ( 1 ，一1 ，一1 ) e _ 一 , f f 3 ( 1 ，1 ，一1 ) 2 2 h = - - i4 r ；的时间演化算符的性质 从上一节的介绍中，我们可以看出在演化算子对最大纠缠态的演化过程中，量子 态的纠缠度并不发生变化，不仅如此，演化算子u 对任何量子态的纠缠度都不产生影 响，我们可做如下证明： 双粒子系量子态的一般形式可写为： i 妒) 2 搿1 0 0 ) + 纠0 1 ) + 州l o ) + 叫1 1 ) 纠缠度为：c = 2 陋一驯，u = c o s 2 t - i s i n i ( n 一“一叫n ) 让u 只作用于第一个粒子上 u l o o ) 2 ( c 。s 互t + i s i n ；n ，) 一i s i n ； u 1 0 1 ) 2 ( c 。s 互t + i s i n ；n ，) n 1 1 0 ) n 1 1 1 ) u i l o ) 一( c 。s ；一t s t n 圭n ，) l o ) 一t s t n ；n + 1 0 0 ) u 2 ( c 。s j t i s i n ；n ，) 一i s i n 互t n + 1 0 1 ) 令作用后波函数为：i 妒) = a 1 0 0 ) + 1 0 1 ) + ，1 1 0 ) + j 1 1 1 ) ，那么 a 2 盯( c 。8 互t + i s i nn ，) 一i y s i n ；1 3 + 7 。 = ( c 。s ；+ i s i n ； ， ，2 y ( c o s 二2 一i s i n 占r ：占( c o s 三- - is i n 此时波函数的纠缠度为 c = 2 l 搿j 。y l ，而 n 3 ) 一i 占s i n 委n + t 、 ， j “3 一1 搿8 1 “一2 “一 ；n ，) 一i 卢s i n i t n 占卢y2 口( c o s t 2 + i s i n ；n ，) 一i ，s i “三tn + 占( c 。s ；一i s i n 互tn ，) 一i s i n i n 一 一 卢( c 。s 圭+ i s i n n s ) 一i 6s i n ；n + ，( c 。s ；一i s i n j tn ，) 一i 搿s i n ；n ( 瑾占一) ( c 。s 2 ；+ s i n2 ；n ，2 ) + ( 甜一励) s i n2 ；r l + n 一 = ( 甜一) c o s 2 ；+ s i n2 ；1 1 32 + s i n 2 圭( ，2 ) = a 占一缈 所以，c 。= c 因此，我们可以看出在系统哈密顿量为h 一去h 仃的情况下，盯，、盯，、口：属于 l 斗 _ 李代数范畴，时间演化对于量子纠缠度并没有影响，也就是说，也就是说，系统纠缠 度在时间演化作用下具有某种对称性。 8 本章小结：本章首先介绍了双粒子系统及其量子纠缠度，并且介绍了其系统最大纠缠 态在系统哈密顿量为h = 三2 ；时的演化行为及性质，然后进一步探讨了h = 上2 ：； 时，一般纠缠度的量子纠缠态在时间演化算子的作用下也保持不变的性质。 第三章y a n g i a n 对量子纠缠态的作用 3 - 1y a n g i a n 论简介 y a n g i a n 属于数学上h o p f 代数，来源于y a n g - - b a x t e r 方程的有理解。它是由数学 家v g d r i n f e l d 在1 9 8 5 年首先引入的，在馏后面加缸n 是为了表征杨振宁教授在研 究多体可积模型( 1 9 6 7 年) 中的杰出贡献。 y a n g i a n 是由生成元，。和厶组成的集合，其中 1 4 ) 组成单李代数，它们遵从如下 代数关系： ， ，口】= c 舢，【 ，以】_ c a u , d ， ( 3 1 ) 【i ， ，【，1 1 一【， ，【，】 = i h a 础v u p r ，。，口，) ( 3 2 ) 【j 一，。】，f ，】 + 【 厶， ，f ，。，j 。】 一：( 口舡哪c 。，+ d 。卿c 舡，) ，。，如，1 ， ( 3 3 ) 另外，还要满足下面的余乘法( c o - p r o d u c t ) 定义： ( ) = i 圆l + l o ， a ( j ) = ， 。1 + 1 。t ， + i hc 杠，l 。，p ( 3 4 ) 当c m ，= i 6 时，情况最为简单。 y a n g i a n 是一种不封闭的无穷维代数，通常的李代数；p 毫y a n g i a n 的子代数。这种代 数结构的存在是有深刻根源并和一个普遍的原则相联系的。它的重要性恰恰在于它本 质上反映了大类非线性模型的特点。它是无穷维代数，但由有限个生成元构成，两 组基本的生成元，和歹决定了所有更高阶算符的行为。这种现象来源于系统存在某种强 烈限制，并非每阶的元素都是独立的；而这种限制又是很巧妙的，即只有，和7 才是独 立的生成元。 y a n g i a n 为研究非线性相互作用系统的新型对称性提供了强有力的方法。它以其具 有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特点，给出有关物理中的量子完全可积模 型的对称性新的物理理解和理论结果。以一维h u b b a r d 模型为例，y a n g i a n 是无穷长链 h u b b a r d 模型的对称性，并由此带来了新型简并度，正是1 7 的作用引起不同格点见自旋 的耦合，y a n g i a 的引入大大简化了这种新型对称性的描述。又如，在我们所熟知的氢 原子中，就存在着这种y a n g i a n 对称性。除了可以描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是它可以组成超出李代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符。 y a n g i a n 算符及其组合实际上就是李代数空间的跃迁算符。李代数算子只能在同一个权 内变动，而y a n g i a n 却可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系起来，它正是量子 力学中跃迁算子的推广。以h 原子为例，对于每个能量本征值，均有y a n g i a n 对称性， 对应着角动量的简并，由y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的角动量 实现从，到，+ 1 的跃迁。 y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容，它早已存在于量子力学之中，从量子力学的 角度理解y a n g i a n 是最直观而有效的途径。 3 2 跃迁算子p ，到一般纠缠态的跃迁 从上一章的讨论中，我们已经知道，对于自旋为1 2 的双粒子系统，当系统的哈密 1 4 顿量为h = n 口，随着时间的演化量子态的纠缠度保持恒定。在这一节中，我们会 z 利用y a n g i a n 算子所具有的跃迁作用，构造出一个跃迁算予，它能够实现从最大纠缠 态至任何纠缠度的纠缠态的跃迁。 在双粒子系统中，我们取y ( s l ( 2 ) ) 的代数实现为： i = s + s 、 j = 。置+ ：文+ f = hs - * ，s - - ) ：( n e e u 。、：、h 为任意参数) ，那么 工= 。s + 卢：s ；+ ! j 一一y , s i + ：s i 一昙( s ：- 。3 一。- 。：3 ) j 3 = i l l s ；+ ：s ：一尝( s ；s i s s j ) 其中：h = m h = m 碟h = 抑。，s 。= 一扣。 雕hl 山) 。= o ( m = l ，2 假设能使纠缠度发生跃迁的算子p = a j - + + b j 一+ c j ，+ d s ；s ；，已知最大纠缠度的 一般形式可写为：i y ) 2 i i ( 口1 0 0 ) + 剧0 1 ) 一卢+ 1 1 0 ) + 盯+ 1 1 1 ) ) ( 其中h2 + 俐2 = 1 ) ，p 、， 作用于最大纠缠态之后， p l v , ) 一一百1 ( a 0 0 ) + b 1 0 1 ) + c i o ) - i - d l l l ) ) 、，z a 工陟万1 a ( 1 2 20 c - - ；饼) + ( + j h a ) + ( 。一彬+ 一鲁卢+ 一尝卢) b j i y ) 2 万1 b ( ：- - i i i 卢+ + hf l + ；f l + ) + ( 舭+ + ；a ) + ( 心口l ：口) 1 1 0 ) 3 c j 3 i ) 2 万1c ( 一半口 l o o + e p 掣+ 3 1 0 1 + e p + 掣 + 鲁卢 | 1 0 ) + 掣甜+ 叩3 3 ：2 万1 百d ( 口i o o ) 一即1 ) + 卢+ 口) 所以作用之后： a = 鲁一c 垒i 专盟 搿+ b ( ；+ ：) p + b ( ；一“) + 1 2 州c 掣一a _ 。3 + a c 纩鲁，棚c h + 鲁h + 等 c _ c 掣+ i d 卢h ( 时鲁) 口+ b ( 盯言h + 等卢 。= c 立i 孝熊+ 鲁 甜十a ( h 一言) 一a ( y 2 + 鲁) + 所以作用之后系统的纠缠度c = i a d - b c i ，要使此使时的纠缠度为一个与口、卢 无关的数，因为只知道蚓2 + 例2 = 1 ，那么就需要a d b c 计算的结果中h2 、1 1 3 f2 的 系数相等，而其余各项的系数均为零。计算结果如下： 口2 ：- - a 2 ( h + i h ) ( 心一百h ) d + 2 ：一b 2 ( 。+ ：) ( ：一百h ) 肚a u c 扩鲁，c 时；，一百h c c 掣一鲁 矿2 ：引圹i h ，c 时；，一了h o c 掣+ 鲁 m a ( ( - i m 生4 ) i d c 生掣 _ 等( 盯：) 一( “+ ；) c 掣一扣 口肚刊c 时等，c 鲁一c 掣h 等c ”鲁，+ c 盯言儿掣一 a 咿b ( 时鲁) c 掣+ 鲁卜了h o ( ”；) 一( 盯百h ) c 掣一扣 口协：咄。一百h ) 百d c 掣 + 百h i ? ( 盯百h ) + ( ；) c 掣一 1 3 ”( 争2 。( 丛芋) 2 _ 坝旷h ) 2 - a 坳。+ 亍h 2 蚓2 ：( 4 a - ) 2 ( 半) 2 - 似如+ h2 埘( h 一宁h2 一等 要使各个二次项的系数满足所要求的条件，可分以下几种情况讨论： ( 1 ) 当a = o ，b = 0 ，则式均自动满足，要使= ，则需要c 2u , u 2 即c - - - - - o 或厅2 = 1 6 & u 2 当c = 0 ，系统的纠缠度为c = d 2 ， l a l 2 + i b l 2 + i c l 2 + i d l 2 = 2 ，而此时： 爿：旦盯b ：一生c ：一d 444 卢+ ， c 2 h 2 j 6 而为了满足波函数的归一化条件，需要 d ：生口 4 所以得到譬= 2 ，目1 d 2 = 1 6 , 所以c = 1 是一常数，不含参数，不能实现到任意纠缠度 的跃迁。 当 2 = 1 6 “心，系统的纠缠度为c = i ( 争2 一c2 ( 丛专丝) 2 l ，为了满足波函数的归一 化条件，需要h 2 + 例2 + i c l 2 + 例2 = 2 ，而此时： 川百d - c ( 半凇叫c ( 学) 一和+ 了c h 卢+ c 巾( 半卜a l p + 十百c h 卢叫c ( 半) + 司d 搿+ 而 w + i b l 2 + p 1 2 + i 。| 2 = 2 碍) 2 。( 半) 2 埘+ 2 f ( 争( 学) 2 】l 矧2 + t c 2 h 2 i 纠2 + i c 2 h l ：一训2 + 卢+ 2 ) ， 我们可以看到要使h 2 + 旧2 + l c l 2 + i d l 2 = 2 需瓢销，并肋( 争2 ( 半) 2 _ 2 ，叭争2 。( 半) 2 - 如果取( 蹦+ 飓) 2 = 1 ，那么 ( 鲁) 2 + ( 三) 2 - l ，令百d = c 础，；= s m ，贼鲁) 2 _ ( ；) 2 = c o s 2 占， - c 2 1 【o ，1 ， 如果令鲈：= 圭，妣= 4 ； l = 2 = 一j 1 ，则 = 4 此时；= ；靖土；豆+ 2 f 豆孟，以= ；研三1 s 。3 一( 醚s i s 墨) 此时的跃迁算子为：p = 2 s i n o j 3 + 4 c o s o s ( 霹，它可以使纠缠度最大的态跃迁至纠缠度 i c o s 2 0 i 的态， 跃迁后的波函数为： l y ) = 手 ( c o s 0 - s i n 印搿l o o ) + ( s i n 筇4 一c o s e p ) l o o + ( s i n6 移+ c o s 岛伊) 1 l o ) 、z + ( c o s t 9 + s i n o ) a + 1 1 1 ) 】 ( 2 ) 当a 0 ，b 0 时， 若要= = 0 ，则需要 = 4 儿或者 = - 4 。 若要= = 0 ，则得c d = 0 若要= = = = 0 ，则得到d = o 并nc ( z 。+ 鸬) = 0 ，即d = o 并且c - - - - - o ，或者d 一0 并且1 + t 2 = 0 若要= ，则需要口劬( 段一h ) 一c 2 m 乜+ 塑1 6 生= 。，得到c = 。，并且一= ： 综合以上所述条件，我们取a 0 ，b 0 ，c = o ，d = o ，l = 2 ，并r h = 4 a 2 ， 那么 一：6 ( 总+ 鲁) b ：6 似：+ 鲁) 口+ c ：础：+ 百h d ：叫：+ i h ) 4 力j 满足凝幽数归一化条件，需要l a i + 1 8 1 + l c r + l d i = 2 即：( 2 + 6 2 ) ( 段+ 尝) 2 = 2 n 而此时系统得纠缠度为c 2 l a d - b c l 2 i n 6 ( ：+ 互h ) 2 i 我们由以上的式子可以知道( ：+ j h ) 2 = 1 了2 a矿z+ o 。 所以系统纠缠度：c ：霉! 乓 口+ d 。 我们已经知道a 2 + b 2 2 1 a 6 i ，所以a ! 型+ 县b 。，1 】，目p c e 0 ，1 】 令( 段+ i h ) 2 = 2 ， 因为h = 4 # 2 ，所以h = 4 ：= 垃互， 而此时a 2 + 6 2 = 1 立口果令口= c o s o ，b = s i n p ，自口么c 。= l s i n 2 0 l 舷脱了= 土孚( “咖i 豆) 小譬孵埘+ 2 ( $ 沁援) 上= 孚阿城_ 2 ( 啊酋鳓 则跃迁算子：p ；c o s 0 j + + s i n 0 j _ ，它能使最大纠缠态跃迁至纠缠度为| s i n 2 0 i 的量子纠 缠态，而此时波函数为： i = + ( s i n 日酬o o ) + s i n o z + 1 0 1 ) + c o s o a 1 0 ) 一c o s q 口+ 1 1 1 ) ) 同理，当我们取a 0 ，b 0 ，c = 0 ，d = 0 ，a t i = 地， = 一2 m ，h = _ 4 l = 2 j ，此 时： j = 譬( i + 如i 孟) j + = 遗s ：+ s ；2 ( s ；s ；一s ：s ；、 小s i 峨+ 郴；s h s 孰 p = c o s 。+ s i n 够一 此时，系统的波函数为： i y ) = + ( s i n 0 1 3 + i o o 一c o s o a l 0 1 ) - s i n o c t 1 0 ) - c o s o p l l l ) ) 可见，我们可以找到六个跃迁算子： p = 2 s i n 昆，3 + 4 c o s o s _ 3 s i ，j = 士妄s i + - - f f 。s 2 + 2 i s l s 2 + 1 斗l _ + 斗_ + p = c o s o j + “n o j _ ，j 。：害( d 豆+ i 2 s + , x 互) + s i n ， = ：! ( s + 量& ) 尸：。o j + + 。i 。& ，一，了：拿( i + 豆一，2 i 。孟) 它们能够实现从最大纠缠态至任何纠缠度的跃迁，再一次显示了y a n g i a n 算子在物 理中不可小觑的跃迁作用把处于某一相同的纠缠度的所有量子态用一个平面表示，跃 迁的图景可用下图示意： o c b d 1 3 3 时间演化算子u 与u 的关系 在第二章中，我们曾经介绍过，最大纠缠态在不同的时间演化算子的作用下，形成 了不同的路径，我们把处于同一纠缠度的量子态用一个平面来表示，跃迁后的量子态也 在其平面上在时间演化算子的作用下，形成了与之相应的路径，此纠缠度的时间演化算 子u 与最大纠缠态的时间演化算子u 又有什么关系呢? 我们已经知道 p l y 。) = f y 。) ， u l y 。) = l p 。) | p i y 。) = i 。) u j 。) = l y ) 因此：u 尸l 】；c ，。) = p u l , 。) 所以：u = p ，p ，我们可以用图来示意演化图像 抄。叫叫下叫叫虬 本章小结： 在本章中，我们引入了量子态跃迁算子p ，它是由y a n g i a n 代数算子组合而成的，能 够实现从最大纠缠态至任意纠缠度的量子态的量子跃迁 第四章总结 本文中，我们研究了白旋为；的双粒子系统，当系统的哈密顿量为h ：1 ：；时 2 量子态纠缠度并不随时间演化而改变，物理中的守恒对应着某种数学上的对称性，也意 味着系统中某种对称性的存在为了能由最大纠缠态得到任意纠缠度的纠缠态，我们引 入了y a n g i a n 算子，然后运用y a n g i a n 算子的组合，构造了一个算子p = a y - + q - b j 一+ c j ，+ d s ? s ；，通过须满足作用后波函数归一化及其量子态纠缠度为一与口、卢无关的数 这些条件，确定了a 、b 、c 、d ，从而确定了p ，它能实现从最大纠缠态至任意纠缠度的量 子态的跃迁通过对这一问题的研究，我们进一步理解了y a n g i a n 代数的意义和作用。 另外，由本论文所讨论的问题可以印发至与之相关问题的讨论。例如在本论文题 目所出之处的文章中指出在最大纠缠态的时间演化过程中，由于演化路径的不同，存 在两种相位。那么经过跃迁之后，与之相