高中数学 2.2等差数列课件 新人教A版必修5.ppt

等差数列 复习回顾 数列的定义 通项公式 递推公式 按一定次序排成的一列数叫做数列 一般写成a1 a2 a3 an 简记为 an 如果数列 an 的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 如果已知数列 an 的第1项 或前几项 且任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做这个数列的递推公式 我们经常这样数数 从0开始 每隔5数一次 可以得到数列 0 5 2000年 在澳大利亚悉尼举行的奥运会上 女子举重被正式列为比赛项目 该项目共设置了7个级别 其中较轻的4个级别体重组成数列 单位 kg 48 53 58 63 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境 用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼 如果一个水库的水位为18m 自然放水每天水位降低2 5m 最低降至5m 那么从开始放水算起 到可以进行清理工作的那天 水库每天的水位组成数列 单位 m 18 15 5 13 10 5 8 5 5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利 即不把利息加入本金计算下一期的利息 按照单利计算本利和的公式是 本利和 本金 1 利率 存期 例如 按活期存入10000元钱 年利率是0 72 那么按照单利 5年内各年末的本利和 单位 元 组成一个数列 10072 10144 10216 10288 10360 从第二项起 后一项与前一项的差是5 从第二项起 后一项与前一项的差是 2 5 从第二项起 后一项与前一项的差是72 请同学们思考 这四个数列有何共同特点 等差数列的定义 一般地 如果一个数列 an 从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 定义的符号表示是 an an 1 d n 2 n n 这就是数列的递推公式 an 1 an d n n 是 不是 不是 练习一 判断下列各组数列中哪些是等差数列 哪些不是 如果是 写出首项a1和公差d 如果不是 说明理由 1 1 3 5 7 2 9 6 3 0 3 3 8 6 4 2 0 4 3 3 3 3 6 15 12 10 8 6 小结 判断一个数列是不是等差数列 主要是由定义进行判断 an 1 an是不是同一个常数 是 是 是 a1 1 d 2 a1 9 d 3 a1 8 d 2 a1 3 d 0 通项公式的推导 设一个等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则有 a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d 所以有 a2 a1 d a3 a2 d a1 d d a1 2da4 a3 d a1 2d d a1 3d an a1 n 1 d当n 1时 上式也成立 所以等差数列的通项公式是 an a1 n 1 d n n an am n m d n m n a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an 1 n 1 d an a1 n 1 d即an a1 n 1 d 变形 a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d an an 1 d 例题 例1 1 求等差数列8 5 2 的第20项 2 判断 401是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 如果不是 说明理由 分析 1 由给出的等差数列前三项 先找到首项a1 求出公差d 写出通项公式 就可以求出第20项a20 解 1 由题意得 a1 8 d 5 8 3 n 20 这个数列的通项公式是 an a1 n 1 d 3n 11 a20 11 3 20 49 分析 2 要想判断 401是否为这个数列中的项 关键是要求出通项公式 看是否存在正整数n 使得an 401 2 由题意得 a1 5 d 9 5 4 这个数列的通项公式是 an 5 n 1 4 4n 1令 401 4n 1 得n 100 401是这个数列的第100项 练习二 1 求等差数列3 7 11 的第4项与第10项 2 判断100是不是等差数列 2 9 16 的项 如果是 是第几项 如果不是 说明理由 解 1 根据题意得 a1 3 d 7 3 11 7 4 这个数列的通项公式是 an a1 n 1 d 4n 1 a4 4 4 1 15 a10 4 10 1 39 2 由题意得 a1 2 d 9 2 16 9 7 这个数列的通项公式是 an 2 n 1 7 7n 5 n 1 令100 7n 5 得n 15 100是这个数列的第15项 例2 在等差数列 an 中 已知a5 10 a12 31 求首项a1与公差d 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组 解之得 解 由题意得 这个数列的首项a1是 2 公差d 3 小结 已知数列中任意两项 可求出首项和公差 主要是联立二元一次方程组 这种题型有简便方法吗 请同学们思考并做以下练习 例题 练习三 已知等差数列 an 中 a4 10 a7 19 求a1和d 这个数列的首项是1 公差是3 解 依题意得 解之得 已知等差数列 an 中 a3 9 a9 3 求a12 a3n 解法一 依题意得 a1 2d 9解之得a1 11a1 8d 3d 1 这个数列的通项公式是 an 11 n 1 12 n故a12 0 a3n 12 3n 解法二 思考练习 课时小结 通过本课时的学习 首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式 an 1 an d n 1且n n 其次要会推导等差数列的通项公式an a1 n 1 d n 1 本课时的重点是通项公式的灵活应用 知道an a1 d n中任意三个 应用方程的思想 可以求出另外一个 最后 还要注意一重要关系式 an am n m d的理解与应用 已知等差数列 an 中 am 公差d是常数 试求出an的值 分析 本题是一个含有字母的计算题 做题时必须将am d看成是常数 解 设等差数列 an 的首项是a1 依题意可得 am a1 m 1 d an a1 n 1 d 得 an am a1 n 1 d a1 m 1 d n m d an am n m d 思考题 变形 等差数列第二课时 知识回顾 等差数列 说明 aaa 数列 an 为等差数列 an 1 an d 或an 1 an d d an 1 an 公差是唯一的常数 an a1 n 1 d 等差数列各项对应的点都在同一条直线上 一 判定题 下列数列是否是等差数列 9 7 5 3 2n 11 1 11 23 35 12n 13 1 2 1 2 1 2 4 6 8 10 a a a a a 复习巩固 1 等差数列8 5 2 的第5项是aaaaaaaaa 2 等差数列 5 9 13 的第n项是a 4 an 5 n 1 4 10 说明 在等差数列 an 的通项公式中a1 d an n任知三个 可求出另外一个 二 填空题 简言之 知三求四 3 已知 an 为等差数列 a1 3 d 2 an 21 则n 等差中项 观察如下的两个数之间 插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列 1 2 4 2 1 5 3 12 0 4 0 0 3 2 6 0 如果在a与b中间插入一个数a 使a a b成等差数列 那么a叫做a与b的等差中项 说明 3 更一般的情形 an d 等差数列的性质 1 an 为等差数列 2 a b c成等差数列 an 1 an d an 1 an d an a1 n 1 d an kn b k b为常数 am n m d b为a c的等差中项aa 2b a c 4 在等差数列 an 中 由m n p q am an ap aq 注意 上面的命题的逆命题是不一定成立的 1 已知 数列的通项公式为an 6n 1问这个数列是等差数列吗 若是等差数列 其首项与公差分别是多少 分析 由等差数列定义只需判断an an 1 n 2 n n 的结果是否为常数 解 an an 1 6n 1 6 n 1 1 6 常数 an 是等差数列 其首项为a1 6 1 1 5 公差为6 例题分析 练习 已知数列的通项公式为an pn q 其中p q是常数且p 0 问这个数列是等差数列吗 若是等差数列 其首项与公差分别是多少 例2 在等差数列 an 中 1 已知a6 a9 a12 a15 20 求a1 a20 例题分析 2 已知a3 a11 10 求a6 a7 a8 3 已知a4 a5 a6 a7 56 a4a7 187 求a14及公差d 分析 由a1 a20 a6 a15 a9 a12及a6 a9 a12 a15 20 可得a1 a20 10 分析 a3 a11 a6 a8 2a7 又已知a3 a11 10 a6 a7 a8 a3 a11 15 分析 a4 a5 a6 a7 56a4 a7 28 又a4a7 187 解 得 或 d 2或2 从而a14 3或31 课堂练习 1 等差数列 an 的前三项依次为a 6 2a 5 3a 2 则a等于 a 1b 1c 2d 2 b 2 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 2 2a 5 3a 2 a 6 提示1 提示 d an 1 an 4 35 3 在等差数列 an 中 1 若a59 70 a80 112 求a101 2 若ap q aq p p q 求ap q d 2 a101 154 d 1 ap q 0 研究性问题 2 已知 an 为等差数列 若a10 20 d 1 求a3 1 若a12 23 a42 143 an 263 求n 3 三数成等差数列 它们的和为12 首尾二数的积为12 求此三数 d 4 n 72 a3 a10 3 10 d a3 27 设这三个数分别为a da a d 则3a 12 a2 d2 12 6 4 2或