高中数学 3.3.2简单线性规划问题课件 新人教A版必修5.ppt

简单的线性规划问题 一 复习回顾 1 在同一坐标系上作出下列直线 2x y 0 2x y 1 2x y 3 2x y 4 2x y 7 x y o y 问题1 x有无最大 小 值 问题2 y有无最大 小 值 问题3 2x y有无最大 小 值 2 作出下列不等式组的所表示的平面区域 如果若干年后的你成为某工厂的厂长 你将会面对生产安排 资源利用 人力调配的问题 将上述不等式组表示成平面上的区域 图中的阴影部分中的整点 坐标为整数的点 就代表所有可能的日生产安排 即当点p x y 在上述平面区域中时 所安排的生产任务x y才有意义 若设利润为z 则z 2x 3y 这样上述问题转化为 当x y在满足上述二元一次不等式组且为非负整数时 z的最大值为多少 当点p在可允许的取值范围变化时 m 4 2 问题 求利润z 2x 3y的最大值 变式 若生产一件甲产品获利1万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 n 2 3 变式 求利润z x 3y的最大值 二 基本概念 y x 4 8 4 3 o 把求最大值或求最小值的函数称为目标函数 因为它是关于变量x y的一次解析式 又称线性目标函数 满足线性约束的解 x y 叫做可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 统称为线性规划问题 一组关于变量x y的一次不等式 称为线性约束条件 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解 可行域 可行解 最优解 线性规划问题 寻找约束条件建立目标函数 1 约束条件要写全 3 解题格式要规范 2 作图要准确 计算也要准确 注意 结论1 探究 四个步骤 1 画 画可行域 三个转化 4 答 求出点的坐标 并转化为最优解 3 移 平移直线l 寻找使纵截距取得最值时的点 2 作 作z ax by 0时的直线l 图解法 线性约束条件 可行域 线性目标函数z ax by 最优解 寻找平行线组的最大 小 纵截距 例1 营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物a含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1千克食物b含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物a和食物b多少kg 分析 将已知数据列成表格 三 例题 解 设每天食用xkg食物a ykg食物b 总成本为z 那么 目标函数为 z 28x 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 把目标函数z 28x 21y变形为 x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率为随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距 当截距最小时 z的值最小 m 如图可见 当直线z 28x 21y经过可行域上的点m时 截距最小 即z最小 m点是两条直线的交点 解方程组 得m点的坐标为 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物a143g 食物b约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 例2要将两种大小不同规格的钢板截成a b c三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 解 设需截第一种钢板x张 第一种钢板y张 则 2x y 15 x 2y 18 x 3y 27 x 0 y 0 作出可行域 如图 目标函数为z x y 今需要a b c三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 且使所用钢板张数最少 x张 y张 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 直线x y 12经过的整点是b 3 9 和c 4 8 它们是最优解 作出一组平行直线z x y 目标函数z x y 当直线经过点a时z x y 11 4 x y 12 解得交点b c的坐标b 3 9 和c 4 8 调整优值法 2 4 6 18 12 8 27 2 4 6 8 10 15 但它不是最优整数解 作直线x y 12 答 略 2x y 15 x 3y 27 x 2y 18 x y 0 经过可行域内的整点b 3 9 和c 4 8 时 t x y 12是最优解 答 略 作出一组平行直线t x y 目标函数t x y 打网格线法 在可行域内打出网格线 当直线经过点a时t x y 11 4 但它不是最优整数解 将直线x y 11 4继续向上平移 1 2 1 2 18 27 15 9 7 8 例3 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 若生产1车皮甲种肥料利润为10000元 生产1车皮乙种肥料利润为5000元 分别生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 解 设x y分别为计划生产甲 乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 x y o 解 设生产甲种肥料x车皮 乙种肥料y车皮 能够产生利润z万元 目标函数为z x 0 5y 可行域如图 把z x 0 5y变形为y 2x 2z 它表示斜率为 2 在y轴上的截距为2z的一组直线系 x y o 由图可以看出 当直线经过可行域上的点m时 截距2z最大 即z最大 故生产甲种 乙种肥料各2车皮 能够产生最大利润 最大利润为3万元 m 容易求得m点的坐标为 2 2 则zmin 3 在 处有最大值 在 处有最小值 在 处有最大值 在 处有最小值 1 如图所示 已知 中的三顶点 点 在 请你探究并讨论以下问题 内部及边界运动 练习 a6 bc1 b 3 c1 2 求z 2x y的最大值 使x y满足约束条件 3 求z 3x 5y的最大值 使x y满足约束条件 1 解 作出平面区域 x y a b c o z 2x y 作出直线y 2x z的图像 可知z要求最大值 即直线经过c点时 求得c点坐标为 2 1 则zmax 2x y 3 2 解 作出平面区域 x y o a b c z 3x 5y 作出直线3x 5y z的图像 可知直线经过a点时 z取最大值 直线经过b点时 z取最小值 求得a 1 5 2 5 b 2 1 则zmax 17 zmin 11 分析 目标函数变形为 把z看成参数 同样是一组平行线 且平行线与可行域有交点 最小截距为过a 5 2 的直线