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文档简介
一、课内训练:1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=xx3(1)解:y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0,解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4,+)和(,2)令3(x2)(x4)0,解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2,4)(2)解:y=(xx3)=13x2=3(x2)=3(x+)(x)令3(x+)(x)0,解得x.y=xx3的单调增区间是(,).令3(x+)(x)0,解得x或x.y=xx3的单调减区间是(,)和(,+)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.解:y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0,解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(,+)令2ax+b0,解得x.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(,)3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x(1)解:y=()=当x0时,0,y0.y=的单调减区间是(,0)与(0,+)(2)解:y=()当x3时,0,y0.y=的单调减区间是(,3),(3,3)与(3,+).(3)解:y=(+x).当x0时+10,y0. y=+x的单调增区间是(0,+) 4. 确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f(x)=(x22x+4)=2x2.令2x20,解得x1.当x(1,+)时,f(x)0,f(x)是增函数.令2x20,解得x1.当x(,1)时,f(x)0,f(x)是减函数. 5. 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令6x212x0,解得x2或x0当x(,0)时,f(x)0,f(x)是增函数.当x(2,+)时,f(x)0,f(x)是增函数.令6x212x0,解得0x2.当x(0,2)时,f(x)0,f(x)是减函数. 6. 证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数.证法一:(用以前学的方法证)任取两个数x1,x2(0,+)设x1x2.f(x1)f(x2)=x10,x20,x1x20x1x2,x2x10, 0f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2) f(x)= 在(0,+)上是减函数.证法二:(用导数方法证)=()=(1)x2=,x0,x20,0. ,f(x)= 在(0,+)上是减函数.点评:比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数,用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.7. 确定函数的单调减区间8. 已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.解:y=(x+)=11x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(,1)和(1,+).令0,解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1,0)和(0,1)9. 求y=x34x+的极值解:y=(x34x+)=x24=(x+2)(x2) 令y=0,解得x1=2,x2=2当x变化时,y,y的变化情况如下表-2(-2,2)2+00+极大值极小值当x=2时,y有极大值且y极大值=当x=2时,y有极小值且y极小值=510. 求y=(x21)3+1的极值解:y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1,x2=0,x3=1当x变化时,y,y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+无极值极小值0无极值当x=0时,y有极小值且y极小值=011求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解:y=(x27x+6)=2x7令y=0,解得x=.当x变化时,y,y的变化情况如下表.0+极小值当x=时,y有极小值,且y极小值=(2)解:y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令y=0,解得x1=3,x2=3.当x变化时,y,y的变化情况如下表-3(-3,3)3+00+极大值54极小值-54当x=3时,y有极大值,且y极大值=54当x=3时,y有极小值,且y极小值=54二、课后练习:1函数是减函数的区间为(D). . . .2函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数(B ) A () B (,2) C () D (2,3) 3. 设f (x)是函数f(x)的导函数,y=f (x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( C )A B C D4函数的单调减区间是( A )ABC及D5. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A1个 B2个 C3个 D 4个解析:函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个,选A.6函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称,则导函数y= f (x)的图象( C ) A. 关于直线x=1对称B. 关于直线x=-1对称 C. 关于点(1,0)对称D. 关于点(1,0)对称7函数y= f(x)在定义域内可导,其图象如图所示记y= f(x)的导函数为y= f (x),则不等式f (x)0的解集为( A )yxO12-13 A BC D8如果函数f(x) = ax3x2 + x5在(, + )上单调递增,则实数a的取值范围是( D )A(0,+ ) B C (,+ ) D 9. 已知函数在处取得极值. (1)讨论和是函数的极大值还是极小值;(2)过点作曲线的切线,求此切线方程. (1)解:,依题意,即 解得. . 令,得.若,则,故在上是增函数,在上是增函数.若,则,故在上是减函数.所以,是极大值;是极小值.(2)解:曲线方程为,点不在曲线上.设切点为,则点M的坐标满足.因,故切线的方程为注意到点A(0,16)在切线上,有 化简得,解得.所以,切点为,切线方程为.【点晴】过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键.10. 设函数,求a的取值范围,使函数f(x)在区间上是单调函数。解:(1)当时,恒成立, f(x)在区间上是减函数。(2)当时,解不等式得上f(x)是单调递减速函数得上f(x)是单调递增函数综合得:当且仅当a时,f(x)在区间上是单调函数。【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视11. 设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知g(x)= f(x)- f (x)是奇函数。()求b、c的值。()求g(x)的单调区间与极值。【解】:()f(x)=x3+bx2+cx,f (x)=3x2+2bx+c.从而g(x)= f(x)- f (x)= x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)x3+(
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