高中数学 2.1.1 正弦定理同步课件 北师大版必修5.ppt

1 了解正弦定理的推导过程 2 掌握正弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 重点 难点 提示 如图 设边bc上的高是ad 则ad csinb ad bsin acd bsin acb 所以csinb bsin acb 即同理 从而在钝角 abc中有 在钝角 abc中 如何证明正弦定理成立 对 2r的理解若 abc是直角三角形 显然成立 若 abc为锐角三角形 如图所示 abc是 o的内接三角形 bc 是 o的直径 bac 90 sin ac b 即 bc 2r 又c ac b 2r 2r 同理可得当 abc为钝角时亦成立 1 利用正弦定理可解决下列两类三角形问题 1 已知两角及一边 求其他边和角 2 已知两边及其中一边的对角 求其他边和角 2 三角形解的个数的判断 已知三角形的两边和其中一边的对角 用正弦定理 可能有两解 一解或无解三种情况 正弦定理的应用 此类问题若结合三角形中 大边对大角 的结论解答 可达到事半功倍的效果 例1 1 在 abc中 已知bc 12 a 60 b 45 求ac 2 在 abc中 b 30 c 45 c 1 求边b的长及三角形的外接圆半径 审题指导 1 中已知两角及其中一角的对边 可直接利用正弦定理求解 2 可利用正弦定理及 2r求解 规范解答 1 由正弦定理知 ac 2 设三角形的外接圆半径为r 已知b 30 c 45 c 1 由正弦定理得 2r 所以b 2r 互动探究 在本例 2 中 若把c 1 换成b 求边a的长及三角形外接圆半径 解析 a b c 180 a 180 30 45 105 根据正弦定理 a 2r 例2 在 abc中 已知a 5 b a 30 求c b c 审题指导 解答本题时 首先判断a与bsina的关系 若a b 有一解 若bsina a b 则有两解 然后根据b的情况求相应的c c 规范解答 在 abc中 由正弦定理得sinb 则sinb b a b a 30 b 60 或120 当b 60 时 c 180 a b 180 30 60 90 c 10 当b 120 时 c 180 a b 180 30 120 30 c 5 综上可知b 60 c 90 c 10 或b 120 c 30 c 5 变式训练 在 abc中 c 10 a 45 c 30 求a b和b 解题提示 解答本题除了应用正弦定理之外 还要注意三角形内角和定理 诱导公式 两角和的正弦公式等知识的应用 解析 在 abc中 c 10 a 45 c 30 由三角形内角和定理得b 180 a c 105 由得a 由得b 20sin75 20 三角形形状的判断利用正弦定理判断三角形形状的方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有以下两种途径 1 利用正弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 例3 在 abc中 a2tanb b2tana 试判断 abc的形状 审题指导 根据已知条件找到三角形的角的关系 即可判断三角形的形状 规范解答 由正弦定理和已知条件得 即sina cosa sinb cosb sin2a sin2b 0 2a 2 0 2b 2 2a 2b或2a 2b a b或a b abc是等腰三角形或直角三角形 变式训练 已知方程x2 bcosa x acosb 0的两根之积等于两根之和 且a b为 abc的两边 a b为a b的对角 试判断 abc的形状 解题提示 解答本题首先利用根与系数的关系 得到 abc中的角边等量关系式 然后利用正弦定理化边为角 最后用三角恒等变换的知识推出角之间的关系 解析 设方程的两根为x1 x2 由根与系数的关系 得x1 x2 bcosa x1x2 acosb 由题意得bcosa acosb 由正弦定理得2rsinbcosa 2rsinacosb sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 在 abc中 a b为其内角 0 a 0 b a b a b 0 即a b abc为等腰三角形 利用正弦定理证明等式利用正弦定理实现边角互化 在 abc中 角a b c所对的边为a b c r为 abc外接圆的半径 可将正弦定理进行变形 即根据题目需要将角的关系变为边的关系或将边的关系变为角的关系 例 在 abc中 求证 审题指导 可用正弦定理把边化为角 再通过三角公式证明 规范解答 设r为 abc外接圆的半径 根据正弦定理 得 又 a b c 180 上式 原等式得证 变式备选 在任一 abc中 求证 a sinb sinc b sinc sina c sina sinb 0 证明 设r为 abc外接圆的半径 则左边 2rsina sinb sinc 2rsinb sinc sina 2rsinc sina sinb 2r sinasinb sinasinc sinbsinc sinasinb sinasinc sinbsinc 0 右边 得证 典例 12分 在 abc中 已知a 45 a 2 b 求b 审题指导 本题中已知两边及一边的对角 可利用正弦定理求sinb的值 但由sinb的值求角b时 要注意角b解的个数 规范解答 在 abc中 a 45 a 2 b 由正弦定理得sinb 2分 b 30 或150 6分又b a 2 b a 45 10分 b 30 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 在 abc中 a 60 a b 则b等于 a 45 或135 b 135 c 45 d 以上都不对 解析 选c 根据正弦定理得解得sinb b 45 或b 135 又 a b a b b 45 1 在 abc中 sina sinc 则 abc是 a 直角三角形 b 等腰三角形 c 锐角三角形 d 钝角三角形 解析 选b 由正弦定理知sina sinc a c 故 abc为等腰三角形 2 在 abc中 a 5 b 3 c 120 则sina sinb的值是 a 5 3 b 3 5 c 3 7 d 5 7 解析 选a 由正弦定理得 3 在 abc中 若sina sinb 则有 a ab d a b 解析 选c 2r r为 abc外接圆的半径 sina sinb sina sinb a b 4 在 abc中 a 60 a 3 则 a b c d 解析 选d 由比例的基本性质和正弦定理可知 5 在 abc中 三边a b c所对的角分别为a b c 若asina bsinb 则 abc的形状为 解析 由正弦定理得 sina sinb 其中r为 abc