高中数学 2.5.2 等比数列前n项和的性质配套课件 新人教A版必修5.ppt

2 5 2等比数列前n项和的性质 学习目标 掌握等比数列 an 前n项和公式的一些基本性质 1 数列 an 是等比数列 sn是其前n项和 则sn s2n sn s3n s2n也成 等比数列 练习1 在正项等比数列 an 中 若s2 7 s6 91 则s4 a 的值为 a 28c 35 b 32d 49 2 在等比数列中 若项数为2n n n s偶与s奇分别为 q 12 36 练习2 已知等比数列 an 中 公比q 3 a1 a3 a5 a7 4 则a2 a4 a6 a8 a3 a5 a7 a9 问题探究 写成sn a qn 1 aq 0 且q 1 的形式 若可以 a等于什么 题型1 等比数列前n项和性质的应用 例1 已知等比数列前n项和为10 前2n项和为30 求前3n项和 解 方法一 设数列为 an 依题意 可得sn 10 s2n 30 又 在等比数列 an 中 sn s2n sn s3n s2n成等比数列 s2n sn 2 sn s3n s2n 即 30 10 2 10 s3n 30 即s3n 70 方法二 s2n 2sn q 1 由已知 得 与sn有关的性质主要是sn s2n sn s3n s2n的关系 在与sn有关的运算中 经常用到两种技巧 两式相除法 整体代入法 但都不要忽略对q的讨论 变式与拓展 1 在等比数列 an 中 a1 a2 a3 18 a2 a3 a4 9 sn a1 a2 an 则sn 题型2 等比数列前n项和的综合运算 例2 在等比数列 an 中 a1 an 66 a2 an 1 128 且前n项和sn 126 求n及公比q 思维突破 解本题的关键是利用a1 an a2 an 1 进而求出a1 an 要注意a1 an有两组解 解 a1an a2an 1 128 又a1 an 66 a1 an是方程x2 66x 128 0的两根 解方程 得x1 2 x2 64 a1 2 an 64或a1 64 an 2 显然q 1 变式与拓展 2 已知数列 an 为等比数列 sn是它的前n项和 若a2 a3 a 35c 31 b 33d 29 答案 c 3 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若sn 2 s3n 14 则s4n b a 80 b 30 c 26 d 16 s4n s3n q3nsn 14 23 2 30 解析二 设s2n x 则2 x 2 14 x成等比数列 x2 2x 24 0 x 6 sn 2 s2n sn 4 s3n s2n 8 s4n s3n 16 s4n 2 4 8 16 30 解析三 令n 1 a1 2 a1 1 q q2 14 q2 q 6 0 q 2 s4 a1 1 q q2 q3 30 题型3 等比数列前n项和的实际应用 例3 小君有人民币若干 拟作股票投资或长期储蓄 若存入银行年利率为6 若购某种股票年红利为24 不考虑物价变化因素 且银行年利率及该种股票年红利不变 股份公司不再发行新股票 但每年的利息和红利可存入银行 1 求小君购股票或储蓄x年后所拥有人民币总额y与x的函数关系式 2 问 经过几年 购买股票与储蓄所拥有的人民币相等 lg2 0 3010 lg3 0 4771 lg1 06 0 0253 0 06 x 1 a 解 1 设小君有人民币a元 若长期储蓄 则x年后人民 币总额为y a 1 0 06 x 即y 1 06x a 若购买股票 则x年后利息和红利总额为 y 0 24 0 24 1 0 06 0 24 1 0 06 2 0 24 1 即y 4 1 06x 1 a 即大约经过5年 股票与储蓄拥有的人民币相等 此题是复利问题 问题的关键是每满一年将前面的本息和作为整体自动转存 变式与拓展 4 一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价 先定一个基价a元 m2 再据楼层的不同上下浮动 一层价格为 a d 元 m2 二层价格a元 m2 三层价格为 a d 该商品房的各层房价的平均值为 答案 b 例4 已知数列 an 是等比数列 试判断该数列从第一项起依次k项的和组成的数列 bn 是否仍为等比数列 解 设bn a n 1 k 1 a n 1 k 2 ank 且数列 an 的公比为q 则当q 1时 b1 b2 bn ka1 bn 是公比为1的等比数列 bn 是公比为qk的等比数列 当q 1时 若k为偶数 则bn 0 此时 bn