高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性课件 新人教A版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 必修1 集合与函数概念 第一章 1 1 1集合的概念 1 3函数的基本性质 第一章 1 1 1集合的概念 1 3 1单调性与最大 小 值第一课时函数的单调性 第一章 1 1 1集合的概念 课标展示1 理解单调函数的定义 理解增函数 减函数的定义 2 掌握定义法判断函数单调性的步骤 3 掌握求函数单调区间的方法 定义法 图象法 温故知新旧知再现1 函数的三要素 2 函数的三种表示方法 定义域 值域 对应法则 解析法 图象法 列表法 4 一次函数y x的图象特征是 自左向右 图象逐渐 y随x的增大而 5 二次函数y x2的图象特征是 自左向右 在 0 上 图象逐渐 y随x的增大而 在 0 上 图象逐渐 y随x的增大而 上升 增大 下降 减小 上升 增大 下降 减小 下降 减小 新知导学1 增函数和减函数 任意 上升 下降 2 单调性 1 定义 如果函数y f x 在区间d上是 或 那么就说函数y f x 在区间d上具有 严格的 单调性 区间d叫做函数y f x 的 2 图象特征 函数y f x 在区间d上具有单调性 则函数y f x 在区间d上的图象是上升的或下降的 增函数 减函数 单调区间 归纳总结 基本初等函数的单调区间如下表所示 自我检测1 函数y f x 在区间 a b 上是减函数 x1 x2 a b 且x1 x2 则有 a f x1 f x2 b f x1 f x2 c f x1 f x2 d 以上都有可能 答案 b 2 0 3 是函数f x 定义域内的一个区间 若f 1 f 2 则函数f x 在区间 0 3 上 a 是增函数b 是减函数c 不是增函数就是减函数d 增减性不能确定 答案 d 解析 虽然1 2 0 3 1 2 且f 1 f 2 但是1和2是区间 0 3 内的两个特殊值 不是区间 0 3 内的任意值 所以f x 在 0 3 上的增减性不能确定 3 函数f x 的图象如图所示 则 a 函数f x 在 1 2 上是增函数b 函数f x 在 1 2 上是减函数c 函数f x 在 1 4 上是减函数d 函数f x 在 2 4 上是增函数 答案 a 如图为函数y f x x 4 7 的图象 指出它的单调区间 解析 函数的单调增区间为 1 5 3 5 6 单调减区间为 4 1 5 3 5 6 7 利用图象求函数的单调区间 规律总结 函数单调区间的求法及表示方法 1 由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法 对于较复杂的函数的单调区间 可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求 据下列函数图象 指出函数的单调增区间和单调减区间 解析 由图象 1 知此函数的增区间为 2 4 减区间为 2 4 由图象 2 知 此函数的增区间为 1 1 减区间为 1 0 0 1 用定义证明函数的单调性 分析 证明的关键是对f x1 f x2 进行变形 尽量变形成几个最简单因式乘积的形式 规律总结 函数单调性的证明方法证明或判断函数单调性的方法主要是定义法 在解决选择或填空题时有时可用图象法 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是 证明 1 设x10 即f x1 f x2 f x 在 1 上是减函数 1 f x 2x2 4x 3的增区间为 求函数的单调区间 分析 1 求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么 2 求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则 3 求函数单调区间时 对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理 解析 1 f x 2x2 4x 3开口向下 对称轴为x 1 故其增区间为 1 答案 1 1 2 1 1 规律总结 求函数单调区间的两个方法及三个关注点 1 两个方法方法一 定义法 即先求定义域 再用定义法进行判断求解 方示二 图象法 首先画出图象 根据函数图象求单调区间 2 三个关注点 关注一 求函数的单调区间时 要先求函数的定义域 关注二 对于一次函数 二次函数 反比例函数的单调区间作为常识性的知识 可以直接使用 关注三 函数图象不连续的单调区间要分开写 用 和 或 连接 不能用 连接 画出函数y x2 2 x 3 的图象 并指出函数的单调区间 分析 函数解析式中含有绝对值号 因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式 然后 逐段画图 根据图象指出单调区间 3 1 函数f x x2 2mx 3在区间 1 2 上单调 则m的取值范围是 2 已知f x 是定义在区间 1 1 上的增函数 且f x 2 f 1 x 求x的取值范围 分析 1 二次函数在某区间内单调 取决于哪个关键量 2 若一个函数在某区间上是增函数 且f x1 f x2 则x1与x2的取值有什么限制 两者之间的大小关系是什么 函数单调性的应用 规律总结 函数单调性应用的关注点 1 函数单调性的定义具有 双向性 利用函数单调性的定义可以判断 证明函数的单调性 反过来 若已知函数的单调性 可以确定函数中参数的范围 2 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小 例如 若函数f x 的解析式是未知的 欲求x的取值范围 我们可以根据函数单调性的定义 也就是函数单调性的性质 将符号 f 脱掉 只要注意到函数的定义域 即可列出关于x的不等式 组 3 若一个函数在区间 a b 上是单调的 则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的 答案 1 b 2 减函数 误区警示易错点对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误若函数f x x2 2 a 1 x 2的单调递减区间是 4 则实数a的取值范围是 错解 函数f x 的图象的对称轴为直线x 1 a 由于函数在区间 4 上单调递减 因此1 a 4 即a 3 错因分析 错解中把单调区间误认为是在区间上单调 解析 因为函数f x 的单调递减区间为 4 且函数f x 的图象的对称轴为直线x 1 a 所以有1 a 4 即a 3 5 若函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上单调递减 则实数a的取值范围是 错解 函数f x 的图象的对称轴为直线x 1 a 由于函数f x 的单调递减区间是 4 因此1 a 4 即a 3 错因分析 错解中把在区间上单调误认为是单调区间 正解 因为函数f x 在区间 4 上单调递减 且函数f x 的图象的对称轴为直线x 1 a 所以1 a 4 即a 3 总结 单调区间是一个整体概念 比如说函数的单调递减区间是i 指的是函数递减的最大范围为区间i 而函数在某一区间上单调 则指此区间是相应单调区间的子区间 所以我们在解决函数的单调性问题时 一定要仔细读题 明确条件的含义 答案 b 1 函数y f x 的图象如图所示 其增区间是 a 0 1 b 4 3 1 4 c 3 1 d 3 4 答案 c 解析 结合图象分析可知 函数图象在区间 3 1 是上升的 故其增区间是 3 1 2 函数y x2 2x 2的单调递减区间是 a 1 b 1 c 2 d 2 答案 b 3 一次函数y a 2 x 1在r上是增函数 则实数a的取值范围是 a 0 b 0 c