九年级数学上册 第二十二章 章末整合提升课件 （新版）新人教版.ppt

章末整合提升 热点一 二次函数的图象与性质 二次函数的图象是抛物线 其性质主要体现在开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 对称性等方面 熟练掌握这些性质是学好本章的前提和基础 再者注意y a x h 2 k的图象与函数y ax2的图象的关系 它们形状 开口方向均相同 只是位置不同 可以通过平移得到 平移的规律是 h左加右减 k上加下减 二次函数的一般形式y ax2 bx c可以转化为顶点式y a x h 2 k加以分析 例1 已知二次函数y 2 x 1 2 m的图象上有三个点 坐标分别为a 2 y1 b 3 y2 c 4 y3 则y1 y2 y3的大 小关系是 a y1 y2 y3c y3 y1 y2 b y2 y1 y3d y3 y2 y1 解析 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 m 该二次函数的抛物线开口向上 且对称轴为直线x 1 点a 2 y1 b 3 y2 c 4 y3 为二次函数y 2 x 1 2 m的图象上三个点 且三点横坐标距离对称轴x 1的距离远近顺序为c 4 y3 b 3 y2 a 2 y1 三点纵坐标的大小关系为y3 y2 y1 答案 d 跟踪训练 1 二次函数y x2 2x 5有 d a 最大值 5c 最大值 6 b 最小值 5d 最小值 6 2 抛物线y x 2 2 3可以由抛物线y x2平移得到 则 下列平移过程正确的是 b a 先向左平移2个单位 再向上平移3个单位b 先向左平移2个单位 再向下平移3个单位c 先向右平移2个单位 再向下平移3个单位d 先向右平移2个单位 再向上平移3个单位 3 如图22 1 在rt oab中 oab 90 o为坐标原点 边oa在x轴上 oa ab 1个单位长度 把rt oab沿x轴正方向平移1个单位长度后得aa1b1 1 求以a为顶点 且经过点b1的抛物线的解析式 2 若 1 中的抛物线与ob交于点c 与y轴交于点d 求 点c d的坐标 图22 1 解 1 由题意 得点a 1 0 b1 2 1 设抛物线的解析式为y a x 1 2 将b1坐标代入 得a 1 所以抛物线的解析式为y x 1 2 2 因为点b坐标为 1 1 所以直线ob的解析式为y x 侧 抛物线与y轴的交点d的坐标为 0 1 热点二 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y ax2 bx c a 0 与一元二次ax2 bx c 0 a 0 从形式上看十分相似 两者之间既有联系又有区别 当抛物线y ax2 bx c的y值为0时 就得到一元二次方程ax2 bx c 0 抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2 bx c 0的根的个数的情况 当b2 4ac 0时 方程有两个不相等的实数根 抛物线与x轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根 当b2 4ac 0时 方程有两个相等的实数根 抛物线与x轴只有一个交点 此交点的横坐标是方程的根 当b2 4ac 0时 方程没有实数根 抛物线与x轴没有交点 例2 已知函数y mx2 6x 1 m是常数 1 求证 不论m为何值 该函数的图象都经过y轴上的一 个定点 2 若该函数的图象与x轴只有一个交点 求m的值 思路点拨 1 根据解析式可知 当x 0时 函数值与m值无关 故不论m为何值 函数y mx2 6x 1的图象都经过y轴上一个定点 0 1 2 应分两种情况讨论 当函数为一次函数时 与x轴有一个交点 当函数为二次函数时 利用根与系数的关系解答 解 1 当x 0时 y 1 所以不论m为何值 函数y mx2 6x 1的图象都经过y轴上的一个定点 0 1 2 当m 0时 函数y 6x 1的图象与x轴只有一个交点 当m 0时 函数y mx2 6x 1的图象与x轴只有一个交点 则方程mx2 6x 1 0有两个相等的实数根 所以 6 2 4m 0 解得m 9 综上所述 若函数y mx2 6x 1的图象与x轴只有一个交点 则m的值为0或9 跟踪训练 3 4 抛物线y 2x2 5x 3与坐标轴的交点共有 个 5 已知关于x的函数y ax2 x 1 a为常数 1 若函数的图象与x轴恰有一个交点 求a的值 2 若函数的图象是抛物线 且顶点始终在x轴上方 求a 的取值范围 解 1 当a 0时 函数为y x 1 它的图象显然与x轴 只有一个交点 1 0 当a 0时 依题意 得方程ax2 x 1 0有两个相等的 实数根 热点三 二次函数的综合应用 例3 已知关于x的二次函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点c 0 1 且与x轴交于不同的两点a b 点a的坐标是 1 0 1 求c的值 2 求a的取值范围 3 该二次函数的图象与直线y 1交于c d两点 设a b c d四点构成的四边形的对角线相交于点p 记 pcd的面积为s1 pab的面积为s2 当0 a 1时 求证 s1 s2为常数 并求出该常数 1 解 将点c 0 1 代入y ax2 bx c 得c 1 2 解 由 1 知 y ax2 bx 1 将点a 1 0 代入 得a b 1 0 b a 1 二次函数为y ax2 a 1 x 1 二次函数为y ax2 a 1 x 1的图象与x轴交于不同 的两点 0 而 a 1 2 4a a2 2a 1 4a a2 2a 1 a 1 2 实数a的取值范围是a 0且a 1 3 证明 如图22 2 0 a 1 图22 2 把y 1代入y ax2 a 1 x 1 得 ax2 a 1 x 0 解得 x1 0 x2 1 aa cd 1 aa s1 s2 s pcd s pab s acd s cab s1 s2为常数 这个常数为1 跟踪训练 6 如图22 3 抛物线y x2 bx c的顶点为d 1 4 与y轴交于点c 0 3 与x轴交于a b两点 点a在点b的左侧 1 求抛物线的解析式 2 连接ac cd ad 试证明 acd为 直角三角形 图22 3 3 若点e在抛物线的对称轴上 抛物线上是否存在点f 使以a b e f为顶点的四边形为平行四边形 若存在 求出所有满足条件的点f的坐标 若不存在 请说明理由 则抛物线解析式为 x2 2x 3 2 结合图形 抛物线y x2 2x 3 与x轴的交点为 1 0 3 0 由ac2 cd2 ad2 所以 acd为直角三角形 3 存在点a 3 0 b 1 0 则 ab 4 抛物线y x2 2x 3的对称轴为x 1 点e在抛物线的对称轴上 则过点e作ef ab 交抛物线于点f 要使以a b e f为顶点的四边形为平行四边形 则 ef 4 设点f坐标为 x y 则 x 1 4 故x 5或x 3 当x 3时 y 32 2 3 3 9 6 3 12 则点f为 3 12 当x 3时 y 52 2 5 3 25 10 3 12 则点f为 5 12 故存在点f 5 12 或 3 12 使以a b e f为顶点的四边 形为平行四边形 7 如图22 4 抛物线y x 1 2 k与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 0 3 1 求抛物线的对称轴及k的值 2 抛物线的对称轴上存在一点p 使得pa pc的值最小 求此时点p的坐标 3 点m是抛物线上一动点 且在第三象限 图22 4 当m点运动到何处时 amb的面积最大 求出 amb的最大面积及此时点m的坐标 当m点运动到何处时 四边形amcb的面积最大 求出四边形amcb的最大面积及此时点m的坐标 解 1 抛物线y x 1 2 k的对称轴为直线x 1 抛物线y x 1 2 k过点c 0 3 则 3 0 1 2 k k 4 2 如图d6 根据两点之间线段最短可知 当p点在线段ac上就可使pa pc的值最小 又因为点p要在对称轴上 所以p点应为线段ac与对称轴直线x 1的交点 图d6 由 1 可知 抛物线的表达式为y x 1 2 4 x2 2x 3 令y 0 则 x 1 2 4 0 解得x1 3 x2 1 则点a b的坐标分别是a 3 0 b 1 0 设直线ac的表达式为y kx b 则 所以直线ac的表达式为y x 3 当x 1时 y 1 3 2 所以点p的坐标为 1 2 3 当点m运动到抛物线的顶点时 amb的面积最大 由抛物线表达式y x 1 2 4可知 抛物线的顶点坐标为 1 4 点m的坐标为 1 4 方法一 如图d6 过点m作mh x轴于点h