高中数学 第1章 数列同步课件 北师大版必修5.ppt

数列通项公式的求法数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一 它如同函数中解析式一样 有解析式便可研究其性质等 而有了数列的通项公式 便可求出任何一项及前n项和等 现将求数列通项公式的几种常见类型及方法总结如下 1 观察归纳法 就是观察数列的特征 横向看各项之间的关系结构 纵向看各项与项数n的内在联系 从而归纳出数列的通项公式 2 公式法 数列符合等差数列或等比数列的定义 求通项时 只需求出a1与d或a1与q 再代入公式an a1 n 1 d或an a1 qn 1中即可 3 利用an与sn的关系 如果给出条件中是an与sn的关系式 可利用进行求解 同时要注意能否合并 4 构造新的等差数列或等比数列求通项公式 若从给出的条件直接求an比较困难 可以通过整理变形 从中构造出一个等差数列或等比数列 从而求出通项 在众多的数列通项公式的求法中 不可生搬硬套 解题时需要根据题目的特点 选择合适的方法进行解决 例1 已知数列 an 中 an 0 n n 其前n项和为sn 且s1 2 当n 2时 sn 2an 求数列 an 的通项公式 审题指导 这是一个已知数列的前n项和求数列通项公式的问题 一般由an sn sn 1 n 2 解决 规范解答 当n 2时 s2 a1 a2 2a2 a2 a1 2 又 n 2时 sn 2an sn 1 2an 1 sn 1 sn 2an 1 2an an 1 2an n 2 数列 an 从第2项起是公比为2的等比数列 an 2 2n 2 2n 1 n 2 所以数列的通项公式为 数列的基本运算数列基本运算的特点等差 等比数列的基本运算包括等差 等比数列的通项公式的计算 等差 等比数列性质的考查和前n项和公式的计算 主要知识是以等差 等比数列的基础知识为依托 考查学生对等差 等比数列的灵活掌握以及经过推理得到的性质 目标是考查学生的基础知识和基本运算技能 题目难度不大 但是运算灵活是这类题目的特点 例2 已知数列 an 为等差数列 且a1 1 bn 为等比数列 数列 an bn 的前三项依次为3 7 13 求 1 数列 an bn 的通项公式 2 数列 an bn 的前n项和sn 审题指导 根据已知条件设出等差数列的公差 等比数列的首项和公比 然后根据条件列出方程组求解 在解决第二问时可以考虑等差数列和等比数列分组求和即可 规范解答 1 设 an 的公差为d bn 的首项为b1 公比为q 根据已知条件可得 2 由于 an 为等差数列 bn 为等比数列 所以数列 an bn 的前n项和sn可以表示为sn a1 a2 an b1 b2 bn 数列的求和数列求和的技巧数列求和是数列部分的重要内容 求和问题是很常见的试题类型 对于等差数列 等比数列的求和主要是运用求和公式 而非等差数列 非等比数列的求和问题 要注意观察数列的特点和规律 在分析数列通项的基础上 转化为基本数列求和 常见的数列求和方法有如下几种类型 1 利用公式 如果可以判断出所求数列是等差 等比数列或者是某些常见数列求和 则可以直接利用公式 2 错位相减法 针对数列 anbn 的数列求和应用此法 其中数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 3 倒序相加法 如果一个数列与首末两项等距的两项和等于首末两项之和 可采用把正着写和倒着写的两个和式相加 就得到一个常数列的和 4 裂 拆 项法 把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 5 分组求和法 把数列的每一项分成两项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程求解 例3 已知数列 an 的前n项和 1 令bn 2nan 求证数列 bn 是等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 令求tn c1 c2 cn的值 审题指导 解决本题的关键是根据数列 an 的前n项和sn求得其通项公式 然后求得数列 bn 的通项并证明是等差数列 从而求得数列 an 的通项 第二问观察通项特点采取错位相减法求和 规范解答 1 在中 令n 1 可得s1 a1 1 2 a1 即当n 2时 即2nan 2n 1an 1 1 bn 2nan bn bn 1 1 即当n 2时 bn bn 1 1 又b1 2a1 1 数列 bn 是首项和公差均为1的等差数列 于是bn 1 n 1 1 n 2nan 2 由 1 得所以 由 得 用函数的思想解决数列问题用函数的思想解决数列问题数列是一类特殊的函数 可用研究函数的方法研究数列 如非常数列的等差数列的通项公式可看作关于n的一次函数 而前n项和公式可看作不含常数项的关于n的二次函数 充分利用函数的单调性和求最值的结论 对于解决等差 等比 数列的相关问题会起到意想不到的效果 例4 设 an 是正数组成的数列 其前n项的和为sn 并且对于所有的自然数n 存在正数t 使an与t的等差中项等于sn与t的等比中项 1 求 an 的通项公式 2 若n 3时 sn 2t an取得最小值 求t的取值范围 审题指导 首先根据题目中的关系找到等量表达式 对表达式进行化简求得数列 an 的通项公式 然后结合前n项和的式子进行化简 利用二次函数的最值进行求解 规范解答 1 由题意得 即当n 1时 当n 2时 由 得2t an an 1 an an 1 an an 1 an an 1 0 an an 1 2t an 是以t为首项 2t为公差的等差数列 an a1 n 1 d t n 1 2t 2n 1 t 故 an 的通项公式为an 2n 1 t 2 由 1 知sn tn2 sn 2t an tn2 2n 1 2t2 tn2 4t2n 2t2 设f x tx2 4t2x 2t2 x n 当x取3时有最小值 且sn大于0恒成立 对称轴 数列的应用问题数列应用题的解题技巧 1 解等差 等比数列应用题 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差 等比数列问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差 等比数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 也就是所谓的数学建模能力 2 解等差 等比数列应用题的关键是建模 建模的思路是 从实际出发 通过抽象概括建立数列模型 通过对模型的解析 再返回实际中去 等比数列中处理分期付款问题的注意事项 1 准确计算出在贷款全部付清时 各期所付款额及利息 注 最后一次付款没有利息 2 明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和 等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 只有掌握了这一点 才能顺利建立等量关系 例5 2011 银川模拟 从效益出发 某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展旅游产业 根据规划 本年度投入800万元 以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为400万元 由于该项建设对旅游业的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 设n年内 本年度为第一年 总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出an bn的表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 审题指导 解决本题的关键是正确地理解题意 根据题意找出第一年投入的金额和旅游业收入 第二年投入的金额和旅游业的收入 从而根据等比数列写出表达式 在解决第二问时 首先找到不等关系式然后利用换元法解决 规范解答 1 第一年投入为800万元 第二年投入为万元 第n年的投入为万元 所以 n年内的总投入为 第一年旅游业收入为400万元 第二年旅游业收入为万元 第n年旅游业收入为万元 所以n年内的旅游业总收入为 2 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入 即bn an 0 即化简得设代入上式得 化简得5x2 7x 2 0解此不等式 得或x 1 舍去 即由此得n 5 答 至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 1 1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1的前n项和sn等于 a 2n b 2n n c 2n 1 n 2 d n 2n 解析 选c 此数列的通项公式an 1 2 22 2n 1 sn 2 1 22 1 23 1 2n 1 2 22 23 2n n 2n 1 n 2 故选c 2 已知等比数列 an 中 各项都是正数 且成等差数列 则 a b c d 解析 选c 依题意可得 即a3 a1 2a2 则有a1q2 a1 2a1q可得q2 1 2q 解得或 舍 所以故选c 3 已知 an 为等差数列 且a3 6 a6 0 等比数列 bn 满足b1 8 b2 a1 a2 a3 则 bn 的前n项和为 解析 设等差数列 an 的公差为d 因为a3 6 a6 0 所以解得a1 10 d 2 所以an 10 n 1 2 2n 12 设等比数列 bn 的公比为q 因为b2 a1 a2 a3 24 b1 8 所以 8q 24 即q 3 所以 bn 的前n项和公式为答案 4 1 3n 4 禽流感是由流感病毒引起的禽类急性呼吸道传染病 东南亚曾发生严重禽流感 据资料统计 某年的3月1日 某养鸡场新感染流感病毒的家禽有20只 此后 每天新感染此病毒的家禽数目比前一天增加50只 由于养鸡场采取措施 使该种病毒的传播得到控制 从某天起 每天新感染此病毒的家禽数目比前一天减少30只 到3月30日止 该养鸡场在这30天内感染该病毒的家禽共有8670只 问3月几日 该养鸡场新感染此病毒的家禽数目最多 并求这一天新感染此病毒的家禽数目 解析 设从3月1日起的第n n n 1 n 30 日新感染此病毒的家禽数目最多 则从3月1日起至第n日止 每日新感染的家禽数目构成一个等差数列 这个等差数列的首项为20 公差为50 前n日被感染此病毒的家禽总数 从第n 1日起 至3月30日止 每日新感染此病毒的家禽数目依次构成另一个