高中数学 1.4.2 空间图形的公理（公理4、定理）多媒体教学优质课件 北师大版必修2.ppt

4 2空间图形的公理 公理4 定理 1 掌握平面的基本性质 公理4和等角定理 2 培养和发展自己的空间想象能力 运用图形语言进行交流的能力 几何直观能力 通过典型例子的学习和自主探索活动 理解数学概念和结论 体会蕴涵在其中的数学思想方法 3 培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度 体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观 空间图形多种多样 但它们的基本关系很容易观察到 就一个小小的长方体 就包含了所有的基本关系 上节课我们通过长方体这个模型 研究得到了很多好的性质 下面我们回顾一下 上节课我们学习了哪几个公理 它们怎么表示 又有什么作用呢 文字语言 图形语言 符号语言 作用 用来判断直线是否在平面内 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 文字语言 图形语言 符号语言 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 a b c 作用 一确定平面 二用来证明点 线共面 文字语言 图形语言 符号语言 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 一是判定两个平面是否相交 二是判断点在线上 点是两个面公共点 线是两面公共线则点在线上 空间直线的平行关系 若a b b c 1 平行关系的传递性 公理4平行于同一条直线的两直线互相平行 则a c 例1在正方体abcd a1b1c1d1中 直线ab与c1d1 ad1与bc1 aa1与cc1 ac与a1c1是什么位置关系 为什么 解 ab c1d1 ad1 bc1 aa1 cc1 ac a1c1 例2在空间四边形abcd中 e f g h分别是边ab bc cd da的中点 求证 四边形efgh是平行四边形 证明如图 连接bd 因为fg是 cbd的中位线 所以 又因为eh是 abd的中位线 所以 所以四边形efgh是平行四边形 2 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 两直线的夹角 两直线相交所成的4个角中 其中不大于90 的角叫做两直线的夹角 两条异面直线所成的角 如图所示 a b是两条异面直线 在空间中任选一点o 过o点分别作a b的平行线a 和b a b 则这两条线所成 的锐角 或直角 称为异面直线a b所成的角 任选 若两条异面直线所成角为90 则称它们互相垂直 异面直线a与b垂直也记作a b 异面直线所成角 的取值范围 平移 例3如图 将无盖正方体纸盒展开 直线ab cd在原正方体中的位置关系是 a a 平行b 相交且平行c 异面直线d 相交成60 d 例4在正方体abcd a1b1c1d1中指出下列各对线段所成的角 1 ab与cc1 2 a1b1与ac 3 a1b与d1b1 1 ab与cc1所成的角 等于90 2 a1b1与ac所成的角 等于45 3 a1b与d1b1所成的角 等于60 1 判断对错 1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 2 空间两条不相交的直线一定是异面直线 3 垂直于同一条直线的两条直线必平行 4 若一条直线垂直于两条平行直线中的一条 则它一定与另一条直线垂直 2 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 a 异面b 平行c 相交d 以上都有可能 解析 如图 a b c与d相交 a与d异面 答案 d 3 直线a b c两两平行 但不共面 经过其中两条直线的平面的个数为 a 1b 3c 6d 0 解析 以三棱柱为例 三条侧棱两两平行 但不共面 显然经过其中的两条直线的平面有3个 1 空间直线的平行关系及相关定理 2 异面直线