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知识网络 本章归纳整合 3 三角形中的边角关系a b a b a b a b a b c b c a c a b 4 正弦定理和余弦定理反映了边与角的相互转化关系 定理形式及常用变形应灵活应用 3 解三角形在三角形的六个元素中 若知道三个 其中至少一个元素为边 即可求解该三角形 按已知条件可应用正弦定理或余弦定理求解 特别对于 已知两边和其中一边的对角 如a b a 这一情况 可以用正弦定理求解 但要注意对三角形解的个数进行判断 也可以用余弦定理 求解关于第三边c的一元二次方程 即正弦定理和余弦定理是相通的 4 注意问题 1 三角形中的三角变换 实质就是有条件的三角式的计算与证明 正 余弦定理及勾股定理是解题的基础 若题目中同时出现角及边的关系 往往要利用正 余弦定理化成仅含边或仅含角的关系 2 在三角形中的三角函数求值时 要注意角的范围与三角函数符号之间的联系与影响 专题一正 余弦定理解三角形的基本问题三角形的边 角是三角形的基本元素 利用正弦定理 余弦定理知三求一 确定三角形中的未知量 特别对已知三角形的两边和其中一边的对角 解三角形时 可能出现一解 两解或无解情况 应结合图形并根据 大边对大角 来判断解的情况 即 b2 c2 a2 b2 c2 0 b2 c2 或a2 b2 c2 0 即b c 或a2 b2 c2 abc为等腰三角形或直角三角形 专题三利用正弦 余弦定理解三角形中的综合问题解决与三角形有关的问题时 有时除了运用正 余弦定理外 还会用到三角形的面积公式 两角和与差的三角函数公式 倍角 半角公式等 因此 应结合题目给定条件 综合运用正弦定理 余弦定理 以及相关知识解题 专题四正 余弦定理在实际问题中的应用正弦定理 余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用 常见的有测量距离问题 测量高度问题 测量角度问题 解决的基本思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在示意图中 目的是发现已知量与未知量之间的关系 最后确定用哪个定理转化 哪个定理求解 并进行作答 解题时还要注意近似计算的要求 专题五函数与方程思想在三角形中求有关边 角的值或最值时 常借助于方程或函数思想 设未知量构建方程 组 求解 例5 如图所示 测量人员沿直线mnp的方向测量 测得塔尖a处的仰角分别是 amb 30 anb 45 apb 60 且mn pn 500m 求塔高ab 命题趋势1 以正弦定理 余弦定理的直接应用为主要考查目标 以填空题或解答题形式出现的可能性较大 难度为容易题和中等难度 2 考查形式主要与三角变换相结合 直接在三角形
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