对高考数学复习的思考.ppt

对高考数学复习的思考 一 高考中的几个热点问题二 2008年高考试题举例三 高三数学总复习 知识脉络梳理四 对高考的思考五 考纲变化实例解释六 对函数思想的重点考查七 以空间图形为载体的轨迹问题分析八 关于复习的建议 一 高考中的几个热点问题 近年来 高考试题遵循大纲要求 重视基础 突出能力 方向明确 试题可大致归纳如下 1 知识交汇是高考命题的永恒话题 综合性 2 新定义运算的试题常考常新3 函数相关内容是高考的主旋律4 数学思想方法是中学数学解题的利剑 二 2008年高考试题举例 1 以比大小的形式考查考生的基础知识 北京文2 若则 a b c d 选a 北京理2 若则 a b c d 选a 辽宁4 已知 则 c a b c d 全国 4 若则 a b c d 选c 二 以图形为背景建立函数关系 北京理 8 如图 动点p在正方体的对角线上 过点p作垂直平面的直线 与正方体表面相交于m n 设则函数的图象大致是 b 北京理12文13 如图 函数 的图象是折线段 其中 的坐标分别为 则 用数字作答 山东文12 已知函数 的图象如图所示 则 满足的关系是 a c d d a b 福建理12 已知函数 的导函数的图象如下图 那么 图象 可能是 福建文11 如果函数 的图象如图 那么导函数 的图象可能是 练习 已知图 中的图象对应的函数为 则图 中的图象对应的函数 b c d a 在下列给出的四式中只可能是 全国 理2文2 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数 其图像可能是 三 新定义运算10 设 x 表示不超过x的最大整数 如 2 2 1 对于给定的n n 定义 x 则当x 时 函数 的值域是 b c d 北京理14 某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下 第 棵树种植在点 处 其中 当 时 表示非负实数 的整数部分 例如 按此方案 第6棵树种植点的坐标应为 第2008棵树种植点的坐标应为 四 与函数有关的综合题 湖北理14 已知函数 等差数列 的公差为2 若 则 四 与函数有关的综合题 湖北理14 已知函数 等差数列 的公差为2 若 则 北京理13文14 已知函数 对于 上的任意 有如下条件 其中能使 恒成立的条件序号是 安徽理11 若函数 分别是 上的奇函数 偶函数 且满足 则有 b c a d 山东文3理3 函数 的图象是 广东文9 设 若函数 有大于零的极值点 则 b c d a 江西理12 已知函数 若对于任一实数 与 至少有一个为正数 则实数 的取值范围是 b c d a 天津文10 设 若对于任意的 都有 满足方程 这时 的取值集合为 b c d a 五 抽象函数 陕西理11 定义在 上的函数 满足 则 a 2b 3c 6d 9 等于 重庆理6 若定义在r上的函数 满足 对任意 有 则下列说法一定正确的是 为奇函数b 为偶函数 为奇函数d 为偶函数 a c 三 高三数学总复习 知识脉络梳理 重视基础 落实基础 在重视基础的基础上才能有一定的能力要求 瞄准数学命题的走向复习 揭示知识的内在联系 构建知识网络 四 对高考的思考 1 数学命题的原则考查基础知识的同时 注意考查能力 注重对数学思想方法的考查 2 数学考试的学科性 学科特点 1 概念性强 几乎每道题涉及概念 还涉及新概念 2 充满思辨性 数学是以思维为主体的学科 一是辨析 你自己决定这样做对不对 这是辨误 第二是辨证 从哲理上看有一定的辨证成分 3 量化突出 方法做的再对 结果不对也不行 4 解法多样 专家不赞成只有一两种解法的 或者是解法偏怪的 而是重通法 常常将一道题要用多种思路都考虑到 让同学容易上手 这就是学科特点 3 在涉及七种数学方法 1 函数与方程的思想 2 数与形结合的思想 3 分类与整合的思想 4 划归与转化的思想 5 特殊与一般的思想 6 有限与无限的思想 7 或然与必然的思想 实际上都谈的是学科特点 4 数学试题中考查的主要能力 1 思维能力 2 计算能力 3 空间想象能力 4 实践能力下面围绕这些内容讲解几个题目 我介绍的的题目并不以难为特色 例1 定义 max 的意义是选大的 函数 求的最小正周期 分析1 max是新引人的概念 最小正周期 例2 中 ab d为ac边的中点 求外接圆半径 解1 设ac b bc a 即 外接圆半径 解2 建立直角坐标系 设 外接圆半径 例3 甲乙两队进行一场排球赛 一场分为若干局 采用五局三胜 即先胜三局的队获胜 比赛结束 比赛中 各局比赛相互无影响 设单局比赛时 甲胜的概率为0 6 设为本场比赛的局数 求的数学期望 分析 即 这里既含有常识内容 又含有基本思维的内容 甲本场胜与乙本场胜是互斥事件 如果3局使本场比赛结束 甲胜的概率是 乙胜的概率 如果4局使本场结束 分两种情况前3局中甲胜两局 乙胜1局 第4局甲胜 分甲胜在哪两局 等可能事件问题 前3局中乙胜两局 甲胜1局 第4局乙胜 由独立重复试验概率算法知 如果打满5局使本场结束 分两种情况 前4局中两队各胜两局 第5局甲胜 前4局中两队各胜两局 第5局乙胜 概念性强 充满思辨性 量化突出 立足基础 例4 无限项数列的前n项和为 证明 是等比数列的充要条件是 证明 充分性 若 时 当 是以x为公比的等比数列 必要性 若为等比数列 时 该等比数列的公比是 且 由 思辨性 立足基础 的应用 解决数列问题的基本思路是 1 判断所要求研究的数列是否为特殊数列 等差数列或等比数列 如是 用公式和性质解决 2 如果不是等差 等比数列 要么转化为等差数列或等比数列 要么寻找其它方法 2006 北京卷7 则 分析要点 1 不是先看这个和的最后一项如何 而应通过这个和 把相关的数列的属性做一判断 2 如果不是等差 等比数列 那么 再研究它的通项的特征 寻求方法 则 2005 天津卷 已知 求 分析要点 1 判断是否为特殊数列 2 选用公式 难点 是否讨论q 当a b时 当a b时 以下分a b a b两种情况讨论 设 当q 1时 当q 1时 a b q 1 研究函数使用函数要掌握研究一个函数的基本方法 例5 作函数的图象 近年没考作图 分析 描点作图可能不能表达出全局特性 从研究该函数性质入手 用性质指导作图 分析 归结到作函数的图像 函数图像平移一个单位后就可得到函数的图像 函数的图像也不能上来就描点 先看性质 因为函数给定后 其性质其图像是相辅相成的两个侧面 对立统一 互相制约 分析性质指导作图 函数是偶函数 图像关于y轴对称 图像过 0 1 点 定义域条件 定义域条件对作图有什么影响呢 这将是函数图像不可碰到的线 警戒线 时 函数是减函数 时 函数是减函数 时 时 时 因为偶函数左侧图像可根据y轴右侧对称画出来 但这还不够 还应该有一种趋势分析 设想时 的分母就非常大 y就和0很接近 但y是正的 当 y是一个分母很小的正数的倒数 同理时 这样就可作出函数图像 函数图像 函数 的图象如图 体现 性质 图像是相辅相成 互相制约 注 研究函数主要是研究函数的特征 而函数特征可以直观地用函数的图象显示出来 反之 借助函数的特征 也可以知道我们的作图 对作图有帮助的性质主要有 奇偶性 单调性 周期性 特殊点出的函数值 渐近线 凸凹性 以及定义域等 五 考纲变化实例解释 1 适当增加开放性的试题数量 鼓励有创造性答案 命题注重知识的网络化 不刻意追求知识的覆盖面 例1 2007年上海春季 求出一个数学问题的正确结论后 将其作为条件之一 提出与原来问题有关的新问题 我们把它称为原来问题的一个 逆向 问题 例如 原来问题是 若正四棱锥底面边长为4 侧棱长为3 求该正四棱锥的体积 求出体积后 它的一个 逆向 问题可以是 若正四棱锥底面边长为4 体积为 求侧棱长 也可以是 若正四棱锥的体积为 求所有侧面面积之和的最小值 例2 07年国统卷 理科数学 宁夏 8 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 本题考查了空间想象能力 由三视图不难看出该几何体是一边长20cm的正方形为底面的四棱锥 s abcd sa sb sc sd 面scd垂直面abcd 该棱锥的高为20cm 容易求出体积 故选b 2 在知识要求中 增加了知识相关背景的认识 要求学生学习数学知识的同时 应了解知识的背景 如导数概念的某些背景 如瞬时速度 加速度 平滑曲线的切线等 认识到数学知识来源于生活实际 3 对学生数学思维及运算能力的要求 相应有所提高 4 开放性试题是历年高考命题追求的一个方向 只不过是 作为规模比较大高考 其开放度不可以太大 一般有结论开放型 条件开放型 解答开放型等 六 对函数思想的重点考查 例函数对一切 满足且其图像关于成中心对称 给出两个命题 1 是偶函数 2 的图像关于直线对称 思考 两个自变量相差 时 函数值互为相反数 性质一 思考 的图像关于 成中心对称 两个自变量的和等于 时函数值互为相反数 性质二 例 函数恒过定点a 若点a在直线上 求 的最小值 mn 0 思考 1 恒过定点a 这里 恒 的含义是什么 上 2 点a在直线 都是正数 3 求 的最小值 可见 都是变量 是 的二元函数 4 化为一元 函数 设 定义域 易知 时 时 的最小值是8 例 设是二次函数 若的值域是 则的值域 是 a b c d 思维过程 把看成自变量 根据图形解不等式 已知 已知 则 与 只能取其一 则选c 先看第一个问题 要求k的范围 就先分析约束k的几何特征是什么 几何特征 是直线的斜率 直线与曲线c交于a b两点 将其代数化 注 对于参数的取值范围问题 要引导学生能从几何特征的角度去分析参数变化的原因 谁是自变量 实际是函数问题 要让学生学会用函数的观点分析这类问题 七 以空间图形为载体的轨迹问题分析 近几年的高考数学试题 设置了一些数学学科内的综合题 即所谓的 在知识网络交汇点处设计试题 以空间图形为载体的轨迹问题正是在这种背景下登场的 此类问题将平面几何 立体几何 解析几何巧妙而自然地交汇在一起 涵盖的知识点多 数学思想和方法考查充分 解答起来颇感困难 1 2006 北京卷 平面的斜线ab交于平面点 过定点a的动直线l与ab垂直 且交平面于点c 则点c的轨迹是 a 一条直线 b 一个圆 c 一个椭圆 d 双曲线的一支 2006 北京卷 平面的斜线ab交于平面点 过定点a的动直线l与ab垂直 且交平面于点c 则点c的轨迹是 a 一条直线 b 一个圆 c 一个椭圆 d 双曲线的一支 6 本题关键 点p到直线d1c1的距离转化为pc1 从而将问题转变为 在平面bcc1b1内 到定点c1与到定直线bc距离相等的轨迹问题 2007海淀区期末 已知每条棱长都为3的直平行六面体abcd a1b1c1d1中 bad 60 长为2的线段mn的一个端点m在dd1上运动 另一个端点n在底面abcd上