高中数学 231,232幂函数的概念 幂函数的图象和性质课件 湘教版必修1.ppt

课标要求 2 3幂函数 2 3 1幂函数的概念 2 3 2幂函数的图象和性质 一般来说 当x为自变量而 为非0实数时 函数y x 叫作 次的 powerfunction 一般说来 我们只考虑定义域为 0 的分数次幂函数 这里p是不为0的整数 q是大于1的正整数 并且p和q 正整数次幂函数的倒数 叫作负整数次的幂函数 一般写成 这里n是正整数 x 0 自学导引 1 幂函数 互素 y x n 负整数次的幂函数和正整数次的幂函数 统称为 幂函数 代表了幂函数的各种不同类型 对于一般的非0实数 幂函数y x 只在 时才能都有意义 对于整数次的幂函数 由于图象的对称性 把它们在 上的图象和性质说清楚了 其他部分的情形也就很容易了解 2 3 整数次 x 0 0 的幂函数 注意到当x 0时 有等式x elnx 可见幂函数的性质都可以归结到指数函数和对数函数的性质 例如 由ex和lnx的递增性立刻得知 0时x 0时 定义在非负数范围内的幂函数y x 的定义域只有两种可能 当 0时是 当 0时 幂函数在区间 0 上有如下性质 都经过两个点 和 即0 0 1 1 是递 函数 图象与直线y x有如下关系 4 5 e lnx 递增 递减 x 0 0 0 0 0 1 1 增 在y x下方 在y x上方 在y x上方 在y x下方 2 当 0时 幂函数在区间 0 上有如下性质 图象都过点 即1 1 是递 函数 图象向上与 正向无限接近 向右与 正向无限接近 1 1 减 y轴 x轴 y 1和y x0 x 0 一样吗 它们都是幂函数吗 提示不一样 y 1不是幂函数 y x0 x 0 是幂函数 幂函数与指数函数有什么区别 提示指数函数y ax a 0且a 1 的底数a为常数 指数为变量 幂函数y x r 以幂的底为自变量 指数 为常数 自主探究 1 2 答案c 预习测评 a h x g x f x b h x f x g x c g x h x f x d f x g x h x 答案d当x 0 1 时 y xp p r 的图象在y x的上方 则p的范围是 答案 1 已知函数y a2 3a 3 xa a为常数 为幂函数 则a 解析由幂函数定义知a2 3a 3 1 解得a 1或2 答案1或2 3 4 幂函数 1 幂函数的有关概念与性质 幂函数y x r 其中 为常数 其本质特征是以幂的底x为自变量 指数 为常数 y x 1 y x2 2x等都不是幂函数 在 0 1 上 幂函数中指数愈大 函数图象愈靠近x轴 简记为 指大图低 在 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 名师点睛 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 2 幂函数的图象当指数 1时 y x的图象是直线 当 0时 y x x0 1是直线 不包括 0 1 点 除上述特例外 幂函数的图象都是曲线 如下表 当 0时 幂函数的图象都经过原点和点 1 1 在第一象限内 当01时 曲线下凸 3 幂函数的增减性在区间 0 上 当 0时 y x 是递增函数 当 0时 y x 是递减函数 4 幂函数的奇偶性 已知函数f x m2 2m xm2 m 1 m为何值时 f x 是 1 正比例函数 2 反比例函数 3 二次函数 4 幂函数 题型一幂函数的概念 例1 典例剖析 变式1 题型二求定义域和值域 例2 点评课本上仅研究了几种最简单的幂函数 对于其它幂函数 我们可以利用课本上介绍的方法去研究 对于分数指数的幂函数 我们可以转换成为根式表示的函数再研究 变式2 答案b 题型三图象问题 例3 答案d点评函数的奇偶性是解答本题的关键所在 在解题过程中要充分利用 变式3 答案d 2 解y x 2定义域为 0 0 值域为 0 是偶函数 且在 0 上是递减函数 根据以上特征知y x 2的图象如右图 题型四利用幂函数的增减性比较大小 例4 点评比较大小时 要综合考虑函数的性质 特别是增减性的应用 要善于运用 搭桥 法进行分组 常数0和1是常用的参数 变式4 若 a 1 1 3 2a 1 求实数a的取值范围 误区警示因对幂函数的单调性理解不透而出错 例5 错因分析函数f x x 1在 0 和 0 上均为减函数 但在 0 0 上不具有单调性 错解中错用了函数单调性 从而导致错误 纠错心得函数的单调性是函数的重要性质 运用单调性时可结合函数的图象进行 幂函数y x 1的单调性很容易出错 要正确运用 本节的幂函数不同于其他几种初等函数 虽然形式只有一种 y x 但随 值的不同所产生的多种幂函数 在性质 图象方面有一些差异 所以幂函数的知识比较繁琐 须把握规律 加强理解和记忆 幂函数y x 与指数函数y ax a 0 a 1 在形式上有相近的地方 但有本质的不同 1 幂函数的自变量是底数 指数函数的自变量是指数 2 指数函数是整个定义域上的单调函数 但幂函数却不一定 3 有些幂函数有奇偶性 但