（应用数学专业论文）奇异积分算子的有界性.pdf

华中科技大学硕士学住论文 摘要 奇异积分算子理论是现代调和分析中最重要的组成部分之一，而关于奇异积分算 子的有界性理论又是其中的核心内容自1 9 5 2 年以来，人们对各种类型的奇异积分 货孑的有界性进行了系统的研究，得到了相当丰富的结果为了将其进一步发展，我 们有必要在更一般的框架下研究奇异积分算子本文的主要目的之一就是利用一般化 的c a l d e r 6 n z y g m u n d 分解引理研究广义奇异积分算子的驴有界性同时还考虑了 f o u r i e r 乘子算子与卷积型奇异积分算子之间的关系 本文共分两个部分：第一部分讨论卷积型奇异积分算子的有界性第二部分讨论 广义奇异积分算子的驴有界性在第一部分中，首先介绍过去五十年关于各种类型的 奇异积分算子有界性研究的主要成果；随后讨论了几类经典的f o u r i e r 乘子算子与卷 积型奇异积分算子之间的转换关系；最后讨论了f o u r i e r 乘子理论与奇异积分算子理 沦在研究算子的舻有界性方面的区别，并通过对一类卷积型奇异积分算子的h ，有 界性研究说明了奇异积分算子理论的优越性在第二部分中，首先介绍前人关于广义 奇异积分算子有界性的经典理论；接着引入并且证明了一般化的c a l d e r 6 n z y g m u n d 分解引理，并利用此引理对广义奇异积分算子进行研究，得到了关于该算子的护有 界性的一个一般结论 关键词：卷积型奇异积分算子，广义奇异积分算子，c a l d e r 6 n z y g m u n d 分解 f o u r i e r 乘子，驴空间，h p 空间，b m o 空间 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t r r h et h e o r yo fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r si so n eo fl h em o s ti m p o r t a n t c o m p o n e u t s o f m o d m nh a r m o n i ca n a l y s i sw i t hf o c u so nt h e i rp r o p e r t i e so fb o u n d e d n e s s a b u n d a n t r e s u l t so nt h ep r o p e r t i e so fb o u n d e d n e s so fv a r i o u s s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sh a v e ) c e l lo b t a i n e ds i n c e1 9 5 2 i no r d e rt o g e tf u r t h e rd e v e l o p m e n to ns i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r s ，i ti sn e c e s s a r yf o ru st os t u d yt h e mu n d e rt h eg e n e r a l e r a l i z e df r a m e o n e o t t h em a i np u r p o s e so ft h i st h e s i si st os t u d yt h el pb o u n d sa n dr e l e v a l e n tt o p i c so f g e n e r a l i z e ds i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sw i t ht h eg e n e r a l i z e dc a l d e r d n z y g m u n dd e c o m p o s i t i o nl e m m a a n dt h er e l a t i o n sb e t w e e ns i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n dt h ef o mi e r m u t i p l i e ro p e r a t o ra r ea l s od i s c u s s e d t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s ：t h ef i r s t p a r ts t u d i e st h eb m m d e dp r o p e r t i e s o fc o n v o l u t i o ns i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s t h es e c o n do n es t u d i e st h el pb o u n d so f g c n c , l 。a l i z e ds i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s i nt h ef i r s t p a r t t h em a i nr e s u l t sa b o u tt h e b o u u d so fv a r i o u ss i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r si nt h el a s t5 0y e a r sa r ei n t r o d u c e d ；t i l e r e l a t i o n sb e t w e e nc o n v o l u t i o ns i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r sa n dt i l e f o u r i e rm u t i p l i e r o p e r a t o ra r et h e ng i v e n ；f i n a l l yw ed i s c u s st i l ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e mi nt h es t u d y o tth eh b o u n d so ft h es a m e o p e r a t o ra n de m p h a s i z et h ea d v a n t a g eo fl , h et h e o r yo f s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r so v e rt h a to ff o u r i e rm u t i p l i e rb ye x p l o r i n gt h eh vb o u n d s ( 3 fac l a s so fc o n v o l u t i o ns i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s i nt h es e c o n dp a r t c l a s s i c a lr e s u l t s a b o u tt h eg e n e r a l i z e ds i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa r ep r e s e n t e df i r s t l y ；t h eg e n e r a l i z e d c a l d e r d n z y g m u n dd e c o m p o s i t i o nl e m m a i st h e ni n t r o d u c e da n dp r o v e d ；f i n a l l ya g e n e i a lr e s u l ta b o u tt h el vb o u n d so f g e n e r a l i z e ds i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r si so b t a i n e d w i t l lt i l ea i do ft h i sl e m m a k e y w o r d s ：c o n v o l u t i o ns i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r ， g e n e r a l i z e ds i n g u l a ri n t e g r a l t 巾e la t o r ， c a l d e r 6 n z y g m u n dd e c o m p o s i t i o n ， f o u r i e rm u t i p l i e r ，l vs a p c e ，h 9 s p a c e ， b m o s p a c e 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已羟发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意谚 到，本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名：觚 日期：2 讲年弘月如同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允讷：论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数掘 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 。， 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论叟= 属于 。 不保密砌。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：唐鼠 f i 期：知眸年月；d 同 指导教师签名：劫散 同期：帅j 月7r 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 氏期以来，奇异积分算子理论一直是调和分析的核心内容，为人们广泛关注奇异 积分算子大致可以分为卷积型奇异积分算子和非卷积型奇异积分算子卷积型奇异积 分算子是最基本的奇异积分算子，关于这方面的奠基性工作由所开创他们的这项 杰出工作使调和分析的研究从一元走向多元，同时也让关于奇异积分的妒有界性的研 究在调和分析领域长期占据了核心地位这方面其它重要而经典的工作还有f 2 1 5 1 _ 关于卷积型奇异积分算子的最新基本研究成果汇于f 1 6 1 随着上世纪7 0 年代关于 空间实变理论的奠基性工作f 1 7 2 1 1 的建立，人们开始考虑h p 上奇异积分算予的 有界性关于卷积型奇异积分算于的h 一有界性的研究工作则由f 2 2 1 开创，较经典的 工作还有f 2 3 2 4 f o r e i e r 乘子的p 理论有着悠久的历史这方面的工作最早可追溯到25 1 后来 重要的工作还有2 6 3 6 1 关于f o u r i e r 乘子的h p ( 0 p 0 ( 3 ) 理论，目前最好的工 作则是属于1 3 4 ，35 1 由于f o u r i e r 乘子算子在本质上就是卷积型奇异积分算子，所以 人们总是期望将乘子条件转化为奇异积分算子的核条件在 2 4 中通过l i t t l e w o o d p a l e y 二进分解方法成功地将m i h l i n 及h s r m a n d e r 乘子条件转化为相应的核形式 日i 在【3 4 ，3 5 l 中所讨论的m i y a c h i 乘子条件无法作类似的转化这表明m i y a c h i 乘子 理论与奇异积分算子理论的确存在较大的差别所以在研究f o u r i e r 乘子算子的f p 有界性时，如果能够比较上述两种方法产生的函数空间指标方面的区别，将足一件有 意义的事情 关于非卷积型奇异积分算子即广义奇异积分算子方面的工作主要由 3 7 】所开创 他们首次提出了广义奇异积分算予以及c a l d e r d n z y g m u n d 算子的概念，并且通过经 典c a l d e r 6 n z y g m u n d 分解引理证明了c a l d e r d n z y g m u n d 算子的弱( 1 ，1 ) 有界性以 及l p ( 1 p 1 时，在等价范数意义下日p = l p ；p = 1 时，1 是一 b a n a c h 空间且h 1cl 1 ；0 p 1 时，p 是一f r e c h 6 t 空间， ”嗡，是相应的拟 范数 类似地，也可定义单位球面铲。上的实h a r d y 空间1 ( 酽。) ，设p r 。( z ) = j ，j 二每，其中0 r 1 ，。，y s ”1 定义h 1 ( s ”1 ) = ( ，s 7 ( 伊_ 1 ) ：p + ，( z ) = 1 ) i 只。( v ) f ( v ) d o fel 1 ( 酽。1 ) ) ( 见【6 ，7 ) 7 0 其中m ( e ) 表示r ”中的集合e 的l e b e s g u e 测度 ( ( 1 ) 算子是( p ，p ) 型的( 1 p o 。) ，即若f 护，则 1 1 ( 删l ，sc l l f i l ， 同时， 还引进了经典的c a l d e r 6 n z y g m u n d 分解引理 引理2 1 2 设，是r “上的非负可积函数，d 是一正常数则存在关于r ”的 分解，使得 ( a ) r ”= j 1 u n ，f n q = 口 ( b ) f ( x ) sq 对a e 。f 成立 ( c ) n 是一列互不重叠的方体的并集：n = u 仉，而对每个吼有 d = 7 l 一1 二，( 。) d 。曼2 n o 畎丽两。川妇s 2 1 h 1 9 5 6 年， 2 1 运用旋转方法对卷积型奇异积分算子的p 有界性结果进行了改进， 使得定理2 1 1 中的结论( a ) 与( c ) 对满足一定条件的粗糙核也成立他们的主要结果 足： 4 华中科技大学硕士学位论文 = 目= = = = # = ；= = = = # ；2 = = = 一 定理2 1 3 设n ( 。) 足零齐次函数，并且还满足如下条件： ( a ) q ( r ) 在f p 中的单位球面s ”“上可积并且 n ( z ) d 吼：0 j s “一l ( b ) q ( z ) + q ( 一z ) l l o g + l ( s “一) 则定理2 1 i 中的结论( a ) 与( c ) 依然成立 1 9 7 9 年，i 6 和 7 1 几乎同时提出一类更弱的核条件，使得对应的奇异积分算子 仍然满足护( 1 0 ，使得： 。嚣l a ( 伽”南) ”叼阪 9 【i j 当，扩，鬻 p 0 都成立时，那么奇异积分算子t 娃( 剐j ) 型的( vl p 。) 华中科技大学硕士学位论文 关于一般的卷积型奇异积分算子的有界性，1 1 得到了如下结果： 定理2 1 6 设k d 7 ，并且满足以下条件： ( a ) 当z 0 时，k 为一函数，并且j k ( x ) i r i x ( b ) 对0 月l r 2 。，有 k ( z ) 出= 0 r l l z l 2 1 u l 9 1 0 对任意的，l p ( r ”) ( 1 5 满足l i 正川，墨a ，( l f ( i ，其中a ，不依赖于e 与，同时对任意的，l p ( r “) ，极限 ! 正( ，) ( 。) = 丁( ，) ( 。) 按l 9 模存在，并且? 1 也是具有控制常数a p 的( p ，j ) ) 型算子 此时，我们将算子t 形式地记为：丁，= ( t ， 1 9 7 1 年， 5 】提出了卷积型奇异积分算子有界性的更一般形式： 定理2 1 7 设k 是一个有紧支集的广义函数，它在原点以外等于一个局部可积 函数，并假定它的f o u r i e r 变换k 是函数假设对固定的e ( o 口 1 ) ，有 ( a ) 1 ( r ) l 曼- 4 ( 1 + i x l ) 一”胆 ( 6 k 2 。i k ( z 一9 ) 一( z ) a ，v y o 则算子r ：j k 十，对，c 字有意义，并且可以开拓为弱( 1 ，1 ) 型与( p ，p ) 型赞 千，其中l p 。 关于h 一上卷积型奇异积分算子的有界性， 2 2 得到了如下的结果： 定理2 1 8 设是一个有紧支集的广义函数，它在原点以外等于一个局部可积 函数，并假定它的f o u r i e r 变换霞是函数如果存在某一常数d ( 0 j 2 引，0 时，下式成立 | k ( z 一)( 。) ise 川。i x l “6 | ! | j 弹子丁：一斗k + ，对厂吖、s 有意义，并且可以开拓成日9 上的有界算子 典中燕 2 l 1 则算子t ：，一k ，对，h p 有意义，并且丁还是h p 上的有界算子，其中 点 p 1 2 2 f o u r i e r 乘子与奇异积分 设m 是r “上的有界可测函数通过f o u r i e r 变换我们考虑以下算子 ， ( ，) = ，“( m ( f ) ，( f ) ) 如果，h 9 ，1 p 茎2 ，显然日p = 上p 由h a u s d o r f f - y o u n g 不等式( 见【5 1 1 和 f 5 2 ) 知f h 。= l 9 ，其中q ：当；如果f h p ，o p l ，又由 2 4 】知，为一连续 函数因此只要7 n 是b j 上的有界函数，t 就可以定义成从h p ( 0 p 2 1 到s 7 的 连续算子以下我们将引入日9 乘子的概念( 见3 4 ，3 5 1 ) 定义2 2 1 设m 是r ”上的有界可测函数如果任给f 日p ，0 0 ，0 0 ，0 p 2 ，c = , z d ( 1 p l 2 ) 以及女= ( n ( 1 p1 2 ) + 1 ， c 。( r ” o ) ) ，并且当21 时， l ( ) = o 如果存在一常数a 1 使得m 满足 i 、式： i d 。m ( f ) 。( a 1 4 i “。1 ) l oj ，i o j k j ! f j , a l l ( i t v ) 并且 | l m ( h p ) c a “( 1 p - 1 设m 为一日9 乘子我们记k = f “m ，显然k d 下面的性质( 见【2 4 ) 则 更为详细地说明了两者的关系 性质2 2 4 设= 札2 1 + l ，m 是一个有界函数并且m c 。( r “( o 如果存 在常数21 使得m 满足下式： 1 d “ z ( ) 1 ( a r 1 ) “，l d l 曼k 则h 是r ”上一个局部可积函数并且 k 嘶f i ( z g ) 一k ( 卫) m j 4 ，v o 由以上性质可知，对于上述性质中的f o u r i e r 乘子，如果我们将乘子算子2 k 看成 卷积型奇异积分算子，那么k 就是它的卷积核 但足定理2 23 无法作类似转换这说明乘子理论与奇异积分算子之间确实还存 住着较大的差别 8 ， 一 佃 n ac 一 p h州 m 日并 m 则 胆 一 加 ac 2 1 t ( y 0 ) 时， ( d 。k ( x ) d 。a ( g ) 【r z 【一+ 2 ，v 【n 【= 8 2 根据定理2 - 19 知t 可延拓成h 9 上的有界线性算子，其中i i ；j p 曼2 ( i i ) 当s = 2 时，由( ) 式可知，对于任意n 重指标口，都有d 。m l 1 ( r n ) 则 z “k 扣) = ( 一i ) l 。i n ，d ；( e ”) m ( ) d j r ” = ( i ) l 。i 上联( ( f ) ) e ”蜓，v 。r “ j r ” 、 一 所以j ( z ) i 曼c 川，vz 0 以下存在两种情况： 仅存在一个如( 1 j 。7 z ) ，使得s ，。= 2 则f - 1 ( 去) ( z ，。) = e 一。l i ，其 中x j 。，n r 假设i z z ，| ；i x l 扛o ) 如果直线i 孑与超平面z = f z = ( 肌，q 。，一，茁n ) i ：x j 。= n ) 相交( 并记交点为3 7 z ) ，则 k ( z ) 一k ( x 引= i k ( z ) 一扛；) + ( 。) 一k ( x ) 1 0 华中科技大学硕士学位论文 l j f ( z ) 一k ( z ；) i + i ( z ；) 一k ( x ) s z 一执i i i q a 。x l | v ( z 目( z z z ) ) z ，) ) 如果直线面7 与z 不相交，则直接利用中值定理即可得上述估计 若 弓，j = 1 ，n ) 中有多个多项式的阶数为2 ，则对上述方法作适当修改后仍 可得到如上的差分估计 所以根据即定理2 1 8 可知，丁可延拓成h 一空间上的有界线性算子，其中i 并 2 时，t 可延拓成h 9 上的有界线性算子，其中再南 p 2 ( 1 ) ) 当s = 2 时，t 可延拓成h 9 上的有界线性算子，其中m i n i 备，是) 2 或者s = 2 ，n23 时，由奇异积分算子理沦所 得的结果优于乘子理论所得结果；当5 = 2 ，ns2 时，由灯，乘子理论所得结果较优 z一 巩 v 蹁r ? z z i z z 一陋z 2 1 u y 7j 时， i k ( z ，。) 一k ( z ，”) i s ； ! ；j ： 如果算子t ：d _ d 由 ( t 妒1 ，妒2 ) = ( k ，妒l 妒2 ) ( v 妒 ，妒2 d ( r “) ，s u p p ( 妒1 ) ns u p p ( 妒2 ) = 0 ) 决定，则称t 为广义奇异积分算子，k 为t 的分布核如果t 还可以延拓成l 2 的有界算子，则称t 为c a l d e r 6 n z y g m u n d 钟子 注3 ：如果是t 的分布核，f d ( f p ) ，只要z 掣s u p p ( f ) 那么有 丁( ，) ( 。) = k ( z ，y ) f ( y ) d y 同时，【3 7 l 中还研究了上述算子的有界性 定理3 1 2 若t 为c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，则t 是弱( 1 ，1 ) 型的，从而是 护( 1 p 2 卜圳f 耳( 。，g ) 一k ( 。，y ) l d y a ； 。一。p 2 l p 一引i k ( 丁，9 ) 一k ( z ，y 引d ts g 二述定理说明，对广义奇异积分算子l p ( 1 p 0 ，i = l ，2 下面我们定义7 1 在f c 。( r “) 上的作用记d o ( r ”) 为d ( r ”) 中平均值为零 的函数组成的空间 定义3 1 4 设f c o 。( i p ) ，t 为定义31 1 中的广义奇异积分算子，k 为其分布 核v g d o ( r ”) ，在s u p p ( g ) 的一个邻域上定义 = f ，其它地方f t = 0 ，2 = f 一，1 我们定义 ( 丁( ，) ，9 ) = t ( f 1 ) ，9 ) + ( t ( f 2 ) ，9 ) 注5 ：上述定义中的( t ( f 1 ) ，9 ) 显然有意义由于了，的分布核k 满足定义3 l 1 中的核条件( a ) 与( b ) ，所以( t ( f 2 ) ，9 ) 就有意义，这是因为 fl a ( y ) fk ( x , g ) 9 ( z ) 矗z i d v = fi a ( y ) f k ( x , ) k ( 。，) 9 ( 。) d z i d sc j y e s u p p ( 2 。 同时我们还可以知道t ( ，) 的定义与，= ，+ ，2 的分解无关( 在分布意义下) 定理3 1 5 设t ：d ( r n ) _ d ( b 一) 线性连续，其分布核满足定义3 中的核 条件( a ) 和( b ) ，则7 可以扩张为l 2 ( r “) 上的有界算子的充分必要条件是下面三个条 件均成立： 1 3 华中科技大学硕士学位论文 ( 1 ) it 是弱有界的 ( i i ) t ( 1 ) b m o ( i i j ) t 。( 1 ) b m o 这里丁4 为丁的对偶算子 丽著作( 2 4 则完全利用分布核的性质给出了丁 ：l 2 斗驴有界的充要条件我 们置 t ，( z ) 5j 1 2 ：_ y l nk ( 。，) 咖； c ( 。) 3 j e l a ：_ y l n k ( y ，z ) “ 定理3 1 6 设t ：d ( f p ) 口( r “) 线性连续，其分布核满足定义311 中的核 条件( a ) 和( b ) ，则t 可以扩张为l 2 ( r ，) 上的有界算子的充分必要条件是： 彳i x o l n ( z ) + 丘。i 。( ) s aw 。 其中0 占 n o ) 显然既为开集由【2 4 】的第一章知存在两列 球体 吼 ， 蝶 以及一列互不重叠的方体 ，t ，使得 b kci kc b ；，uf k = e a k 照然我们有： ，n ( 吼) 茎m ( 碌) 现在我们定义：当z r ”既时，9 ( 茹) = ，( z ) 并且如果x l k g ( z ) = 而1 ，。m ) 咖 这佯就可以得到关于，的分解：f2g + z b k , 其中6 k ( 。) 2x 女( 。) ，( z ) 一磊南，。，( ) d y 、表示方体的特征函数 设蛾+ 是r “中与球日i 同心，半径为其两倍的球体由于日：+ 和r ”风有公 j 部分，所以 高厶。p f ( y ) 1 3 d y 如_ 根据h s l d e r 不等式知当z i k 时， 1 9 ( z ) f 曼c n 所以1 9 ( z ) 1s c0 = ，a e z r “因 此( a ) 得证 明显地，s u p p ( b k ) c ，b k ( x ) d x = 0 并且 | b k ( x ) 1 5 d x c 川，( ) f 5 d x ， ，f o ：m ( 显然m ( q 。) 尤q 。j m ) c 。5 m ( q ) c “5 m ( 上毛) 又因为”z ( e 。) = m ( 厶) ，所以m ( ) c a 5 i f ( x ) l 5 d x 性质( c ) 得证 3 3 主要结果 本节的目的是对于比定义3 11 中条件更一般的奇异积分算子，提出更弱的核条 限使得只对于某一区间上的p ，算子是上9 有界的 设 ，d ( r ”r ”) ，并且当$ y 时，k ( z ，y ) 是2 r “上连续函数算子 t ：d - - - 4d 线性连续，同时满足以下条件： ( 1 ) 丁l 可以开拓为l 2 上的有界算子； ( 2 ) 对于l 2 中有紧支集的函数，有下式成立： t f ( x ) = k ( z ，y ) f ( y ) d y ，z 譬s p p ( f ) 我们希望对核k ( x ，y ) 提出某种条件，使得t 是扩上的有界算子，其中p o p 5 2 ， 而p 。是某个大于1 而小于2 的常数 定理3 3 1 设算子t 与分布k 如上所述，r 为一个大于2 的常数，同时k 还 满足以下条件： 厶，：船。( 丘吲，咖叫ii k ( z ，y ) 一a r ( z ) i j r d z ) 争 7 d y 0 1 ) t r “：i t g ( x ) l 2 ) u z r “：i t b ( x ) i n 2 敞而 m z r “：| t f ( x ) l o ) 曼r n z r “：l t g ( x ) i “2 ) + m x r “：i t b ( x ) n 2 我们首先来估计m x r ”：i t g ( x ) i o 2 ) 由于 所以 = 厶m1 9 ( z ) 胁+ 二“i g ( z ) 陋 c 2 5 i j ( 。) j 5 d 。+ c o 2 m u “， c 。2 5 r l 。) 1 5 d z m x r 一：l 7 1 9 ( z ) i n 2 s ( c d ) 2 i t g ( x ) 1 2 d x c n 2 9 ( 。) f 2 d x c 酽，i f ( z ) i 3 d 。 接下来，再估计m z r “：f7 1 b ( ) i a 2 ) 设b k 是与 同心但半径为后者直 径4 倍的球，其中乳是 的中心v x r t l u b k ，有 l t b k ( x ) l 1 9 ( x ，y ) 一k ( x ，y k ) | i b ( y ) l d y d l 由m i n k o , a r s k i 不等式知 慨i t b 女( 。) ) z 。i l k ( 刚) 一k ( 圳龇| ( r 哪巩) l b ( y ) l d y z 。器( 正吲，撕叫i i k ( 剐) 一k ( x , i f * ”叭驯屯 1 7 如b 妇 9 zk 幻 k 叫名誉s 矿 h 无 n 5 2 q 曼c 门m ) m u b k 茎c m u i 曲s c f 门m ) r e z ：r “：l t b ( x ) i 2 l 3 2 5 ) ， c j ，( g ) f 5 d x j 综卜所述，我们有 m 。r ”：i t f ( z ) f 。) a n 5 , i i z ) l 5 d 。，v ，2n l 5 由m a r c i n l d e w i c z 插值定理知 其中r ( r 一1 ) 2 1 y - y i i k ( z ，可) 一k ( z , j ) l 出 g ，其 中c 是只依赖维数 的常数此时的条件与注4 中的条件( h 6 n n a n d e r 积分条件) 一 敛 1 8 华中科技大学硕士学位论文 致谢 作者非常感谢导师郑权教授多年来的悉心指导和亲切关怀我无时无刻不感受到 郑老师开阔的学术思路，广博的学识，严谨的治学态度和忘我的工作精神对我的感染 同时，郑老师也向我展示了许多具有广阔发展前景的研究方向此外，在生活上也得 到了郑老师的诸多照顾在此首先向郑老师致以诚挚的感谢 作者在原华中理工大学，在今华中科技大学度过了许多漫长的时光，留下了许多 美好的回忆在这里，我要特别向那些曾经在我人生之路求学之路上给予过诸多关怀 和帮助的众多师长们致以衷心的感谢，是您们多年来的鼓励和支持使我一直在数学的 道路上矢志：f 渝 在作者攻读硕士学位期间，生活上一惯得到了师兄尧小华和李良攀的关心，在学术 上也进行了许多有益的交流和讨论王华同学几年来也给予了作者诸多支持和照顾 此外，李淼，黄永忠，张亮，董旺远，方全蕾，宋春合等各位师姐师兄师弟也给予了 作者渚多的支持和关怀作者在和他们的交往中学到了他们许多的优良品质同时， 作者也一惯得到了原华中理工大学本科班同学和今华中科技大学研究生班同学的支持 莉鼓励在此一并对他们说一声谢谢 1 9 华中科技大学硕士学位论文 11 a p c a l d e r d n ，a z y g m u n d m a t h 1 9 5 2 ，8 8 ：8 5 1 3 9 2 】a pc a h t e r 6 n ，a z y g m u n d 2 8 9 3 0 9 参考文献 o nt h ee x i s t e n c eo fc e r t a i ns i n g u l a ri n t e g r a l sa c t a o ns i n g u l a ri n t e g r a l s a m e rj m a t h19 5 6 ，7 8 ap c a l d e r d n c o m m u t a t o r so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s p r o c n a t a c a d s c i 1 9 6 5 ，5 3 ：1 0 9 2 1 0 9 9 apc a l d e r 6 n s i n g u l a ri n t e g r a l sb u l l a m e r m a t h s o c 1 9 6 6 ，7 2 ：4 2 6 4 6 5 5 】cl f e f f e r m a n i n e q u a l i t i e sf o rs h o n g l ys i n g u l a rc o n v o l u t i o no p e r a t o r s a c t a m a t h 1 9 7 0 ，1 2 4 ：9 - 3 6 6 】w cc o n n e t t s i n g u l a r i n