高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第三章 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

3 1 2两条直线平行与垂直的判定 一 两条直线平行与斜率之间的关系 k1 k2 思考 如果两条直线平行 那么这两条直线的斜率一定相等吗 提示 不一定 只有在两条直线的斜率都存在的情况下 才能说斜率一定相等 二 两条直线垂直与斜率之间的关系 k1 k2 1 l1 l2 判断 正确的打 错误的打 1 若两条不重合的直线的倾斜角相等 则这两条直线必定平行 2 若两条直线平行 则两条直线的倾斜角一定相等 3 若两条直线垂直 则它们的斜率的乘积一定等于 1 提示 1 正确 依据直线的倾斜角的定义可知 2 正确 不论斜率存在还是不存在 只要平行 依据直线的倾斜角的定义可知 则倾斜角必相等 3 错误 只有斜率存在的情况下才成立 答案 1 2 3 知识点拨 1 探究两条直线平行与斜率的关系 1 l1 l2 k1 k2成立的前提条件有两个 两条直线的斜率都存在 这两条直线不重合 2 当不重合的两条直线的斜率都不存在时 由于它们的倾斜角都是90 故它们也互相平行 3 依据直线的倾斜角的定义可知 若两条不重合的直线的倾斜角相等 则这两条直线平行 2 两条直线垂直的判定需注意的三个问题 1 利用l1 l2 k1 k2 1判断两条直线垂直的前提是这两条直线的斜率都存在 且都不为0 2 如果k1 k2 1 则两条直线一定不会垂直 3 两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于零 否则tan 1 tan 90 2 的式子就没有意义了 但若两条直线中 一条直线斜率不存在 同时另一条直线斜率等于零 则两条直线垂直 这样 两条直线垂直的判定的条件就可叙述为 l1 l2 k1 k2 1或一条直线斜率不存在 同时另一条直线斜率等于零 类型一两直线平行的判定 典型例题 1 l1的倾斜角为60 l2经过点m 1 n 2 2 则两直线l1与l2的位置关系是 2 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行 1 l1经过点a 1 2 b 2 1 l2经过点m 3 4 n 1 5 2 l1经过点a 3 2 b 3 1 l2经过点m 1 4 n 1 5 3 l1经过点a 1 2 b 3 1 l2经过点m 1 4 n 1 5 解题探究 1 若两直线斜率相等 能否判定这两直线就一定平行 2 判断两直线平行的关键点是什么 探究提示 1 不一定 还有可能重合 2 一看斜率是否存在 斜率存在时 二看斜率是否相等 三看直线是否重合 解析 1 由题意知 k1 tan60 k2 k1 k2 所以直线l1与直线l2平行或重合 答案 平行或重合2 1 1 所以l1与l2不平行 2 直线l1与l2均与x轴垂直 且横坐标不同 所以l1与l2平行 3 数形结合知l1与l2平行 拓展提升 判断两条直线是否平行的步骤 变式训练 已知 abc中 a 0 3 b 2 1 e f分别是ac bc的中点 求直线ef的斜率 解题指南 利用三角形的中位线与第三边平行 即斜率相等 解析 因为e f分别是ac bc的中点 所以ef ab 故kef kab 类型二两直线垂直的判定 典型例题 1 判断下列各小题中的两直线是否垂直 1 直线l1的斜率为 10 直线l2经过a 10 2 b 20 3 2 直线l1经过点a 3 4 b 3 100 直线l2经过点m 1 40 n 1 40 2 已知三点a 5 1 b 1 1 c 2 3 求证 abc是直角三角形 解题探究 1 判定两直线垂直的依据是什么 2 如何确定三角形的两条边垂直 探究提示 1 l1 l2 k1 k2 1 或一直线斜率为0 另一直线斜率不存在 2 利用斜率公式 若斜率存在 先求出每条边的斜率 再判断两斜率的乘积是否等于 1 解析 1 1 k1 10 k2 所以k1 k2 1 两直线垂直 2 直线l1经过点a 3 4 b 3 100 故其斜率不存在 直线l2经过点m 1 40 n 1 40 斜率为0 所以两直线垂直 2 由斜率公式得 kab kbc 因为kab kbc 2 1 所以ab bc 所以 abc是直角三角形 拓展提升 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 1 一看 就是看所给两点的横坐标是否相等 若相等 则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等 若相等 则垂直 若不相等 则进行第二步 2 二代 就是将点的坐标代入斜率公式 3 求值 计算斜率的值 进行判断 尤其是点的坐标中含有参数时 应用斜率公式要对参数进行讨论 变式训练 已知三角形三个顶点的坐标为a 4 2 b 1 2 c 2 4 则bc边上的高的斜率为 a 2b 2c d 解析 选c kbc 所以bc边上的高的斜率k 类型三平行与垂直的综合应用 典型例题 1 已知长方形abcd的三个顶点的坐标分别为a 0 1 b 1 0 c 3 2 则第四个顶点d的坐标为 2 求证 顺次连接a 2 3 b 5 c 2 3 d 4 4 四点所得的四边形是梯形 解题探究 1 题1中条件已知长方形abcd能得到哪些关系 2 一个四边形必须具备哪两个条件才是梯形 探究提示 1 由abcd为长方形可知ad cd且ad bc 2 要判定一个四边形是梯形 不仅要判断一组对边平行 还要判断另一组对边不平行 解析 1 设第四个顶点d的坐标为 x y 因为ad cd ad bc 所以kad kcd 1 且kad kbc 所以第四个顶点d的坐标为 2 3 答案 2 3 2 因为所以kab kcd 又ab和cd不重合 从而ab cd 又因为kbc kda 所以kbc kda 从而直线bc与da不平行 所以四边形abcd是梯形 互动探究 若将本题2中的点b坐标改为b 8 4 所得四边形的形状是否还为梯形 解析 kab 所以kab kcd 又ab和cd不重合 从而ab cd 又kbc kda kbc 又da和bc不重合 所以bc da 所以四边形不再是梯形 拓展提升 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 类型四利用平行或垂直求参数 典型例题 1 已知直线l1的斜率为k1 直线l2经过点a 3a 2 b 0 a2 1 且l1 l2 则实数a 2 已知p 2 m q m 4 m m 2 3 n 1 1 若直线pq 直线mn 则m 解题探究 1 题1中由l1 l2可得到什么条件 2 题2中的解题突破口是什么 探究提示 1 题1中由l1 l2可知l1与l2的斜率之积为 1 2 题2中解题突破口是直线pq 直线mn 解析 1 因为l1 l2 所以k1 k2 1 即解得a 1或a 3 所以当a 1或a 3时 l1 l2 答案 1或3 2 当m 2时 直线pq的斜率不存在 而直线mn的斜率存在 mn与pq不平行 不合题意 当m 1时 直线mn的斜率不存在 而直线pq的斜率存在 mn与pq不平行 不合题意 当m 2且m 1时 因为直线pq 直线mn 所以kpq kmn 即解得m 0或m 1 经检验m 0或m 1时直线mn pq都不重合 综上 m的值为0或1 答案 0或1 拓展提升 利用平行或垂直求参数的策略 1 已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时 首先要考虑直线的斜率是否存在 若斜率都存在 则依据斜率间的关系求解 若斜率不存在 则需注意特殊情形 2 已知两直线求解参数时 还需注意斜率是否为零 求解出参数后 要注意检验 变式训练 经过点a 1 2 和点b 3 2 的直线l1与过点c 4 5 和点d a 7 的直线l2垂直 则a 解析 因为k1 0 又l1 l2 所以l2的斜率不存在 故a 4 答案 4 规范解答 利用平行或垂直求参数的值 典例 条件分析 规范解答 当a 0或a 1 时 两直线既不平行也不垂直 2分当a 0且a 1 时 kab kcd 4分 1 当时 解得a 1或a 2 6分经检验 a 1或a 2时 直线ab和直线cd不重合 两直线平行 8分 2 当时 解得a 10分所以a 时 两直线垂直 12分 失分警示 防范措施 1 分类讨论的意识在解含有参数的问题时 要牢记分类讨论的思想 如本例中当a 0或a 1 当a 0且a 1的讨论 2 常用公式的应用对于一些常用的公式 一定要记准其形式和特点 如本例中知道两点的坐标 利用斜率公式求解即可 类题试解 设a 5 1 b 1 1 c 2 m 问是否存在正实数m 使 abc为直角三角形 解析 在已知条件下 要使 abc为直角三角形 则角a b c中需有一个为直角 由题意知 直线ab bc ac的斜率都存在 若a为直角 则ac ab 所以kab kac 1 即解得m 7 0 舍去 同理 若b为直角 则m 3 若c为直角 则m 2或m 2 舍去 综上所述 存在正实数m 3或m 2 使 abc为直角三角形 1 下列说法正确的有 若两直线斜率相等 则两直线平行 若l1 l2 则k1 k2 若两直线中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率存在 则两直线相交 若两直线斜率都不存在 则两直线平行 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选a 若两直线斜率相等 则两直线平行或重合 所以 不正确 若l1 l2 只有当其斜率存在时才有k1 k2 所以 不正确 若两直线中有一条直线的斜率不存在 另一条直线的斜率存在 则两直线相交 故 正确 若两直线斜率都不存在 则两直线平行或重合 故 不正确 2 若过两点p 6 m 和q m 3 的直线与斜率为的直线mn平行 则m的值为 a 5b 4c 9d 0 解析 选b pq mn 所以kpq 解得m 4 3 直线l1的斜率为2 l1 l2 直线l2过点 1 1 且与y轴交于点p 则p点的坐标为 a 3 0 b 3 0 c 0 3 d 0 3 解析 选d 设p 0 a 因为l1 l2 所以k2 解得a 3 4 过原点作直线l的垂线 若垂足为 2 3 则直线l的斜率是 解析 由题意 与直线l垂直的直线的斜率k 所以直线l的斜率为