（应用数学专业论文）某些铁磁链方程组的解的性质.pdf

摘要 本文从偏微分方程的理论角度，证明了以l a n d a u - l i f s h i t z 方程为中，5 - 的一 些铁磁链方程组在给定的初边值条件下某种意义的解的存在性。这些方程在铁磁 学、电磁学、材料学中有着十分重要的应用，也受到了许多物理学家和数学家的 重视，在孤立子解，动力系统理论和数值计算方面出现了许多结果 第一章是绪论，介绍了方程的物理背景，从宏观的角度推导除了铁磁材料的 磁化强度所应满足的方程，也即l a n d a u - l i f s h i t z 方程以及解的简单性质；还介 绍了与其相关的铁磁链方程的研究进展以及本文的主要结果 第二章研究了一个一维的四阶铁磁链方程。利用定理1 2 介绍过的方法，我 们用粘性消去的方法证明了其弱解的存在性 第三章研究了一个反铁磁材料的磁化运动方程利用它与波方程之问的关 系，我们用一个等式变换证明了其古典解的唯一性，并证明了其c a u c h y 问题光 滑解的存在性和唯一性。 第四章考虑了一个分数阶的l a n d a u - l i f s h i t z 方程，通过引入f o u r i e r 级数作 为工具，用粘性消去法法和先验估计相结合的方法证明了其周期边界问题的弱解 的存在性 关键词：l a n d a u - l i f s h i t z 方程、弱解、惩罚法、差分法、粘性消去法、g a l e r k i n 方法 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，s o m ef e r r o m a g n e t i cc h a i ne q u a t i o n sb a s e do nl a n d a u l i f s h i t z e q u a t i o na r ec o n s i d e r e df r o mp d e - t h e o r yv i e w p o i n t t h e yh a sb e e na p p l i e di n m a g n e t i c s ，e l e c t r o n i c sa n dm a t e r i a l s t h e r ea r ea l s om a n yr e s u l t so ns o l i t o n s ， d y n a m i cs y s t e m sa n dn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n di np h y s i c sa n dd e v e l o p - m e n t so fl a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n ，i na d d i t i o n ，t h em a i nw o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o n i sd e s c r i b e d i nc h a p t e r2 ，ao n e - d i m e n s i o n a li s o t r o p i cb i q u a d r a t i ch e i s e n b e r gs p i nc h a i n e q u a t i o ni sc o n s i d e r e d u s i n gt h em e t h o dt h a tw i l lb ei n t r o d u c e di nt h e o r e m 1 2 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n s c h a p t e r3f o c u s e so nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h ed y n a m i ce q u a t i o no f f e r r i m a g n e t s o b s e r v i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h i se q u a t i o na n dt h ew a v ee q u a - t i o n ，w ep r o v et h eu n i q u e n e s so fc l a s s i c a ls o l u t i o n t h ee x i s t e n c eo fs m o o t h s o l u t i o n sf o rt h ec a u c h yp r o b l e mi sa l s op r e s e n t e d c h a p t e r4c o n s i d e r st h ef r a c t i o n a lp o w e rc a s eo fl a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o n t h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n sf o rp e r i o d i c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sp r o v e d t h r o u g ht h ev i s c o s i t yv a n i s h i n gm e t h o da n dt h eap r i o r ie s t i m a t em e t h o d k e yw o r d s ：l a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o n ，w e a ks o l u t i o n ，d i f f e r e n c em e t h o d ， p e n a l t ym e t h o d ，v i s c o s i t yv a n i s h i n gm e t h o d ，g a l e r k i nm e t h o d u 1 第一章绪论 本文的主要目的是研究以l a n d a u - l i f s h i t z 方程为基础的一些铁磁链方程 ( 组) l a n d a u - l i f s h i t z 方程是1 9 3 5 年l 。d l a n d a u 和e 。m l i f s h i t z 在研究铁 磁体的色散理论时所提出的磁化运动方程f 1 1 ，它所描述的磁畴壁动力学在材料 科学中有着非常重要的应用；面对磁化强度的一致进动的研究，可使我们对于 铁磁物质内部磁化强度的运动形态以及铁磁物质与电磁波的相互作用有清楚的 了解，并对我们研制广泛地用于雷达、导航和通信等微波设备中的许多微波铁 氧体器件具有极其重要的意义从微分方程的角度来讲，l a n d a u - l i f s h i t z 方程 是一个强退化，强耦合的拟线性抛物方程组此外，l a n d a u - l i f s h i t z 方程在某些 特殊的情况下，同其他的著名方程，如调和映照热流，s c h r s d i n g e r 方程，以及 g i n z b u r g l a n d a u 方程有着密切的联系因此l a n d a u - l i f s h i t z 方程足一个非常 有意义，难度极大的研究课题。随着实际的需要以及非线性偏微分方程理论研究 的发展，l a n d a u - l i f s h i t z 方程引起了国际上越来越多数学家和物理学家的关注， 正成为国际数学物理界研究的一个热点问题 1 1 物理背景 磁化强度的运动方程可以从经典物理和量子力学这两个宏观与微观的角度 来推导【2 】 3 】 4 】 5 】，此处只讨论经典考虑首先从最简单的无阻尼情况出发，铁 磁物质的磁化强度m 来源于组成铁磁物质的磁性离子中未被抵消的电子自旋磁 矩和轨道磁矩，相应于m 有一个角动量g 它们之间的关系为 # o m = 一7 g ， 其中肛。为真空磁导率，7 为旋磁比。 第2 页第一章绪论 在有效磁场h e f f 的作用下，磁化强度受到下述力矩l 的作用； l = # o m h 。f f ( 1 1 2 ) 在本文中，有效磁场h e f t 只包括外加磁场，交换作用等效磁场和磁晶各向异性 等效磁场。对于具体的方程，其中有些磁场则没有考虑 在l 的作用下，角动量g 将发生变化，它随时间的变化率为 堕：h e f f ( 1 1 3 ) d t # o i 一。 h e f f 【上王5 ) 将( 1 1 1 ) 代入( 1 1 3 ) ，得到 尝：一7 m h 1 - 1 e f f ， ( 1 1 4 ) 一= 一1 l v i 口 i li4 l 出 ”、 一7 这就是无阻尼情况下的磁化强度的运动方程 观察( 1 1 4 ) ，对其用m 点乘得到 d i m l 2 = 0 ，( 1 1 5 ) 因此如果m 的初值m o 长度固定，m 将作长度不变而方向不断改变的运动；当 h e f r 是一常数向量时，m 将以h 毋为轴作圆周运动。 前面所得出的磁化运动方程( 1 1 4 ) 是在无阻尼的情况下才成立的实验表 明，磁化强度m 在受h e 仃作用而运动的过程中，还受到了一阻尼力矩的作用，此 阻尼力矩使磁化强度m 趋向于h 毋 为了将此事实反映出来，我们在方程( 1 1 4 ) 中加上一阻尼项t d ，于是 ( 1 1 4 ) 变为 百d m = 一7 m x h 田+ t 。，( 1 1 6 ) 其中t d 的表示式没有唯一的写法当我们采用l a n d a u - l i f s h i t z 形式时，( 1 1 6 ) 变成著名的l a n d a u l i f s h i t z 方程： 警= 一7 m h 砸一晶m ( m h 以 ( 1 ”) 1 1 物理背景 第3 页 其中q 是阻尼系数 在本文中，还会常常用到t d 的另外一种表示式：g i l b e r t 形式此时( 1 1 6 ) 变成 警= 一( 1 + a 2 ) 7 m h 砸+ 南m 百d m ( 1 1 8 ) 事实上可以证明方程( 1 1 7 ) 和( 1 1 8 ) 是等价的，用微分方程的语言来叙述 它可以归结为如下的定理 定理1 1 假设m o ( x ) 三1 ，m 是方程( 1 1 7 ) 的初值为m o ( x ) 的解，则它也是 方程( 1 1 8 ) 的初值为m o ( z ) 的解；反之亦然 证明用m 点乘( 1 1 7 ) 的两边，可以看出l m i 三1 再用a m 叉乘( 1 1 7 ) 的两 边，得到 n m 1 d m r = 一n ，y m ( m h 疆) + a 2 7 m h 硪 ( 1 1 9 ) 再用( 1 1 7 ) 减去( 1 1 9 ) 就得到( 1 1 8 ) 反过来，用a m 叉乘( 1 1 8 ) 的两边，注意利用条件i m = 0 以及公式 a x ( bxc ) = ( a c ) b 一( a b ) c ，得到 n m 百d m = 一( 1 + a 2 ) a t m ( m h 疆) _ a 2 d m ( 1 1 1 0 ) 再用( 1 1 8 ) 加上( 1 1 1 0 ) 就得到 ( 1 + a 2 ， 面d m = - ( 1 + a 2 ) 7 m 如一( 1 + a 2 ) 晶m ( m h 。f r ) ，( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 两边同时除以( 1 + a 2 ) 就是( 1 1 7 ) 口 以上的讨论总是把研究对象的磁化强度矢量看成是各个磁性次格子的磁化 强度的总的矢量和但是实际上，大多数应用于微波领域的铁氧体都足具有多种 磁性次格子结构的例如尖晶石型铁氧体具有四面体位和八面体位两种磁性次格 子结构；石榴石铁氧体则具有四面体位，八面体位和十二面体位三种磁性次格子 第4 页 第一章绪论 结构；而m 型磁铅石铁氧体具有五种磁性次格子结构根据不同次格子的磁矩 相互作用的结果，我们可以将这些铁磁物质分为亚铁磁物质和反铁磁物质 在亚铁磁物质中，具有两种或两种以上的磁性次格子。当超交换作用引起不 同磁格子的磁矩反平行取向而导致磁格子产生未抵消的磁化强度时，这种亚铁 磁性称为共线的亚铁磁性；当超交换作用引起属于不同磁格子的磁矩形成三角形 排列时，也会形成未抵消的磁化强度，这种亚铁磁性称为三角形亚铁磁性在反 铁磁物质中，只有两个磁性次格子，近邻离子的磁矩足反平行排列的并且所有近 邻晶格格位上的离子是相同的，所以在零磁场下，各磁畴的静宏观磁化强度将为 零 一般来说，不同的磁性次格子对应着不同的运动形式，因此我们得到的是更 为复杂的方程组尽管如此，每一种磁性次格子的磁化强度运动方程仍然遵循 l a n d a u l i f s h i t z 运动方程( 1 1 7 ) 由于我们将在第三章中讨论一种只有两个磁 性次格子的类似于反铁磁物质的磁化运动方程，因此有必要对反铁磁物质的磁化 运动方程作一介绍 关于反铁磁物质详细的物理理论可以在 7 】 8 9 】中找到据上所述，反铁磁 物质的两种磁性次格子对应着两个磁化强度矢量，我们用 矗和m 2 来表示，m 1 和m 2 的长度相等。为方便起见，我们做一个变量代换； l = 尬一m 2 ，m = 尬- t - ， ( 1 1 1 2 ) 可以看到己和膨满足以下关系式 l m = 0 ，f l l 2 - t - l m l 2 = 4 增= c o n s t ( 1 1 1 3 ) 我们用e 来表示反铁磁物质的能量，则e =w 出，其中能量密度由 以下公式表示 = 丢a i m l 2 一m + 丢q ( o l o 蚴2 + w a ( l ) ( 1 1 - 1 4 ) 1 1 物理背景 第5 页 的具体性质，特别是对称性质所决定从这里也可以看出变量代换( 1 1 1 2 ) 的作 ，跏脏坤肋h ) ( m 鳓“棚执 ( 1 1 1 5 ) la l 况：一( 2 p 。危) ( l 月勘十m 日2 ) ， ( 1 1 1 6 ) 其中h 是普朗克常数，f 嘞和乒吃分别表示能量e 对m 和l 的负变化率； = 一丽5 e ，h i = 一篆 ( 1 1 1 5 ) ，( 1 1 1 6 ) 再结合( 1 1 1 3 ) 的两个式子，就构成了一个含有四个未 1 0 - 【1 6 】 i v b a r y a k h t a r 和b a i v a n o v 在【1 7 中对这个方程组作了简化，在提出 一些近似条件之后，( i i 1 5 ) 和( 1 1 1 6 ) 可以简化成以下的方程组 。-危(，lt2p2。#，oa)lo，ma。o：t。-lalamxa ，ll + m 日一l a w 乞7 a l 1 1 1 1 。1 8 7 ； 假定l m f l l l ，那么用l 叉乘( 1 1 1 8 ) 的两边得到 m = 面h 硫瓦o l l + 瓣1 l ( 日厶) ( 1 1 1 9 ) 将( 1 1 1 9 ) 代入( 1 1 1 7 ) 可以得到 z c 2 z 一嘉一a ( 警) 2 警卜警( f h 焉h 百2 # o ) 2 ( m ) f 日= 。 ( 1 工2 。) 第6 页第一章绪论 其中! _ 己2 ，= 2 p o 厅m o 如果我们能从( 1 1 2 0 ) 中解出f ，那意味着也可解出l ，代入( 1 1 1 9 ) 中立即 得到m 我们事实上将解方程组的问题转换成分别求解单个方程的问题在第 五章中我们会对此作进一步的讨论 1 2l a n d a u l i f s h i t z 方程的研究进展 关于l a n d a u - l i f s h i t z 方程在偏微分方程理论方面的研究进展和成果，可参 看郭柏灵和丁时进合著的综述性著作【6 】从方程的角度来讲，( 1 1 7 ) 右边的第 二项m ( m xh e f r ) 是一个耗散项，因此( 1 1 7 ) 要比( 1 1 3 ) 更好处理 以下我们将用u 表示磁化强度，考虑以下方程； u t2u a u ，( 1 2 1 ) 二ut三=，二u三xa i r 兰2 。z ，。，在名e q r tx(。o，,tt，)中5hj c 1 2 2 ， 1 2l a n d a u - l i f s h i t z 方程的研究进展第7 页 滑解u ( z ，) n 嵫( o ，丁；h k - 2 s ( q ) ) 定理1 2 的证明采用了粘性消去与先验估计相结合的方法，其中最关键的是 对( 1 2 2 ) 的解的高阶导数的先验估计叙述如下， 引理1 3 在定理1 2 的条件下，对于问题( 1 2 2 ) 的光滑解，有如下估计。 s u pl l 磁- 2 8 a f ( ，t ) 1 1 2 c ， ( 1 2 3 ) o 0 时，( 1 2 3 ) 可以直接从方程( 1 2 1 ) 本身得到 i 在( 1 2 1 ) 两边点乘u 得 牡缸t20 所以 i u ( x ，) l = l u o ( x ) i = 1 ( 1 2 4 ) 曼在( 1 2 1 ) 两边点乘u 再在q 上得 未z i 乱。j 2 d z = 。，一 所以 f f u 。( ，t ) 1 1 2 = i l u o 。1 1 2 ( 1 2 5 ) ( 1 2 1 ) 两边对z 微分一次得 u 红= uzu x 嚣+ t 正zxu z z ， ( 1 2 6 ) ( 1 2 6 ) 两边同时与u 2 $ 点乘得 ：, d l i u 船1 2 出= ( u xx 仳x x ) u 一 ( 1 2 7 ) 第8 页 第一章绪论 从( 1 2 4 ) 可以看出，u 、u 茁和u z 组成了r 3 的一组正交基因此我们有 u u x x 。? a ) 莆蚶警似 ( 1 2 8 ) 将( 1 2 8 ) 代入( 1 2 7 ) 的右边，( 1 2 7 ) 变成 一j l dl l u 一2 出= 上( u 。叫( u z x7 t ) u x x x ku x x uxu x ) u 他捌叫1 驯 等式 仳j 2 = 1 两边对z 求导三次后有以下关系式成立 让t 正z 。= 一i 札。1 2 ， u u 一= 一知2 1 2 ) 。 把( 1 2 8 ) 代入( 1 2 7 ) 的右边第一项得到 ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 一i 札。1 2u 仳。) u 。= = - u 。1 2 ( u 让。) z t z 。= j u xj 2 u 幻u 。， ( 1 2 i 0 ) ( 1 2 1 0 ) 后面一个等式的成立是利用了( 1 2 1 ) 本身 把( 1 2 9 ) 代入( 1 2 7 ) 的右边第二项得到 。z ：耋( f ”。f 2 ) z ( u xu x x ) u 。d z = 一萎。i 仳。1 2uxu x x ) 。u 。d z = ：一萎。( i u 。2 t t t x u x d 【z 将( 1 2 1 0 ) 和( 1 2 1 1 ) 代入( 1 2 7 ) 有 丢未上l u z 。1 2 d z = 互5 上i u 。2 7 u t x u x d z ， ( 1 2 t 2 ) ( 1 2 1 2 ) 右边的积分其实就是 把( 1 2 1 3 ) 代入( 1 2 1 2 ) 得 去面d 小1 4 d z ， ( 1 2 1 3 ) 未上i u 。 2 d x _ 差未z i u 出，( - 2 4 ) 1 2l a n d a u - l i f s h i t z 方程的研究进展 第9 页 ( 1 2 1 4 ) 两边对从0 积到丁得 f l u 。( ，t ) i i ；一i i 仳霉( ，t ) i i ：c ，( 1 2 1 5 ) 其中c 与仳。有关 利用s o b o l e v 插值不等式【1 9 】 13 u 。1 1 4 c l l u 王。吲k 晤( 1 2 1 6 ) 所以 i i u 。( ，丁) i 睦c + i i u z ( ，t ) i 暖c + 三i i u $ 。( ，t ) i ；+ c i l u 霉( ，t ) 1 1 2 ，( 1 2 1 7 ) 利用( 1 2 5 ) ，我们有 u 茁。( - ，t ) i i ；sc ( 1 2 1 8 ) 4 下面我们用归纳法证明s 3 的情况假设对所有的s m ( m 2 ) ，( 1 2 7 ) 成立；我们来证明把m 换成m + 1 时，( 1 2 7 ) 同样成立 ( 1 2 1 ) 两边同时对z 微分m 次，然后再与露+ 2 u 作内积，得到 j l dz i 霹“”1 2 出= 上( 姜嚷磋”露一心一露+ 2 ”如， ( 1 2 1 9 ) 对上式右边的i = 1 那一项，记u = 露“u ，则这一项变成 z m ( u x v ) - d z ， ( 1 2 2 。) 利用与中一样的方法，有以下关系式成立： 一v 。i l ) 札+ 苛u z + 鼍似u z ， ( 1 2 m ) 将( 1 2 2 1 ) 代入( 1 2 2 0 ) 中有 zm ( u 。u ) 妇= 仇上【( u u ( u x xu ) + ( v uxu x ) 仳】d z ( 1 2 2 2 ) 第1 0 页第一章绪论 记上式右端第一项为j l ，则分部积分后我们有 = 一 ( ) ( 乱z u ) 口+ ( u 乱。) ( u 。牡) - + ( u ) ( u 。u ) v d x ( 1 2 2 3 ) ，n 对等式u u 。= 0 微分m + 2 次后，成立以下关系式： - 乱= 一嚷+ 2 磋u 霹协虹， ( 1 2 2 4 ) 将( 1 2 2 4 ) 代入( 1 2 2 3 ) 的右边第一项，再利用一维的s o b o l e v 插值不等式，我 们有以下估计： lz ( 札) ( ? 2 x xu ) u ( i x i 州匡( 1 2 2 5 ) 其中c 依赖于m ，1 1 7 2 1 1 , , - ( , ) ( 1 2 2 3 ) 的右边第二项同样可以c l l v l l ；被所控制 对于( 1 2 2 3 ) 的右边第三项，当m 3 时，做法与前面一样；当m = 3 时， 我们知道 iz ( u u ) ( u x xxt t ) 州叫 c ( t l 制l u k 制制i u 1 3 ) ，( 1 2 2 6 ) 利用一维的s o b o l e v 插值不等式，( 1 2 2 6 ) 的右边也不会超过c i i v l l l 综上所述，我们证明了 i 厶l c 巨( 1 2 2 7 ) 对于( 1 2 2 2 ) 右边的其它各项，可以得到与( 1 2 2 7 ) 一样的结论 口 利用引理1 3 所给出的结果， 1 8 】先用差分法证明了( 1 2 2 ) 的带有粘性项 的问题光滑解的存在性，再让粘性项趋向于0 ，从而得到了( 1 2 2 ) 光滑解的存在 性 ( 1 2 2 ) 光滑解的唯性是容易看出的：设u l 和? 2 2 是它的两个解，u l t u 2 t = 7 2 1 xu l $ z 一? 2 2 ? 2 2 z z 设w = 珏l i t 2 ，则w 满足 w t = u l w 。七一wx1 l 纽z ， ( 1 2 2 8 ) 1 2l a n d a u - l i f s h i t z 方程的研究进展第1 1 页 丢面d 上i 叫2 d x _ - 上批，妣z 叫血， ( 1 2 2 9 ) 未z l 叫1 2 出s u p ( | u 一+ i u 咖1 ) zi 似( 圳2 出+ c u u t 。z = ，。u ，x ：u 。u 。z ，主三兰丁) 中 c 1 2 3 。， ：u：nt：三=，二u三nxku兰n：。z，。，在nr(。o，,tt，)中ee!c1231， 对多维情况下的( 1 2 。1 ) 的处理，情况要复杂得多郭柏灵，韩永前，杨干山 2 1 】在2 0 0 0 年构造出了( 1 2 1 ) 在二维情况下的“b l o wu p ”的实例： 牡( 归u ( 州) = 一砉( 扣s 茄与，s t n 可两r 4 ) ，。 0 ，若初值奏t ：u o 满足l u o ( z ) i = l 和v u o ( x ) h ”( m 3 ) ，那么只要v u l 2 ( o ，t ；o o ( 舻) ) ，就有磷t2 u ( x ，t ) l 。( o ，丁；l 2 ( 形) ) ，其 中1 2 k 2 + k l m + 1 他们还研究了( 1 2 3 3 ) 的外区域问题 u t u ( a = u u ，+ 1 ，u u ， 在 q x ( 0 ，t ) 中， r ，o ) ：礼o ( r ) ，在q 上， ( 1 2 3 a ) u l ，：劢= 0 其中q = r 风他们给出了以下的结果 定理1 6 对任意c o t o ，若初值函数u o 满足l 札o ( r ) l = 1 和u o r h ”( m 1 ) ， 那么存在( 1 2 3 4 ) 的解满足川= 1 并且磷磷2 u ( x ，t ) l 。( o ，丁；l 2 ( 舻) ) ，其中1 2 七2 + k 1 m + 1 当m 3 时，解是唯一的 对于( 1 , 2 1 ) 的l a n d a u - l i f s h i t z 形式 u t = 一卢uxa u q 扎x ( “xa u ) ，( 1 2 3 5 ) 可以证明它与以下两个方程等价 u t = ( t a u + 1 l v u l 2 u t t u a u ， q 仳t + p uxu t = a u 十l w l 2 u 正像前文所指出的，对上述方程所能得到的结果要比( 1 2 1 ) 好得多考察 、l，、i， 6 7 3 3 2 2 1 1 ，i， 第1 4 页第一章绪论 ( 1 2 3 7 ) 式，我们可以看到，当= 0 ，o t = 1 时，( 1 2 3 7 ) 变成 u t = u + i v u l 2 u ，( 1 2 3 8 ) 上式正是调和映照的热流问题注意到，如果在三维空问中把t t 在垂直于的平 面上旋转一个恰当的角度再做一个伸缩变换( 只依赖于q 和p ) ，我们就得到了 ( 1 2 3 7 ) 的左边 利用这一事实，1 9 9 3 年郭柏灵和洪敏纯 2 7 证明了在二维情况下( 1 2 3 7 ) 具有有限能量的弱解在除了有限多个点之外足处处光滑的关于这方面的文章， 还可参见 2 8 2 9 】【3 0 3 1 r o g e rm o s e r 在2 0 0 2 年【3 2 】研究了高于二维的情况，他引进了调和映照中 的“稳定性条件”的概念 3 3 1 ，证明了在三维和四维的情况下，( 1 2 3 7 ) 的满足 “稳定性条件”的弱解在h a u s d o r f f 测度为零的集合外是处处光滑的 2 0 0 5 年c h r i s t o fm e l c h e r 3 4 】发展了r o g e rm o s e r 的结论他证明了在三维 的情况下，如果( 1 2 3 7 ) 的初值乱。满足f u o i = 1 和v u 0 l 2 ( r 3 ) ，那么利用 g i n z b u r g - l a n d a u 方程与( 1 2 3 7 ) 的关系 3 5 】，( 1 2 3 7 ) 的满足“稳定性条件”的 弱解存在；这也意味着( 1 2 3 7 ) 的确存在一个在h a u s d o r f f 测度为零的集合外足 处处光滑的解 关于( 1 2 3 5 ) 和( 1 2 3 7 ) 的其他结果，f a l o u g e s 和a s o y e u r 3 6 】证明了 ( 1 2 3 7 ) 的n e u m a n n 边界问题存在着无穷多个弱解；g i l l e sc a r b o u 和p i e r r e f a b r i e 3 7 证明了( 1 2 3 5 ) 的c a u c h y 问题存在着唯一的局部古典解，并且在初 值能量充分小的条件下，存在着全局古典解 1 3 本文的主要结果 电磁波在铁磁体中的传播由以下方程组所描述 u t = t 正( x u + h ) 一乱( u ( a u + 日) ) ，( 1 2 3 9 ) 侥( 日- t - u ) + v e = 0 ，( 1 2 4 0 ) 侥e v h = 0 ， ( 1 2 4 i ) 第1 5 页 这其实是l a n d a u - l i f s h i t z 方程与m a x w e l l 方程耦合的方程组 ( 1 2 3 9 ) 一( 1 2 4 1 ) 的c a u c h y 问题弱解的存在性被a v i s i n t i n 4 】所证明；有界 区域上的弱解存在性被g i l l e sc a r b o u 和p i e r r ef a b r i e 3 8 】所证明；周期初值问题 的弱解存在性被郭柏灵和苏凤秋【3 9 】所证明进一步的结果还可参见【4 0 4 1 1 1 3 本文的主要结果 本文从偏微分方程的理论角度，证明了一些铁磁链方程( 组) 在给定的初边 值条件下某种意义的解的存在性 第二章研究了一个一维的四阶铁磁链方程利用定理1 2 介绍过的方法，我 们用粘性消去的方法证明了其弱解的存在性 第三章研究了一个反铁磁材料的磁化运动方程利用它与波方程之间的关 系，我们用一个等式变换证明了其古典解的唯性，并证明了其c a u c h y 问题光 滑解的存在性和唯一性 第四章考虑了一个分数阶的l a n d a u - l i f s h i t z 方程，通过引入f o u r i e r 级数作 为工具，用粘性消去法法和先验估计相结合的方法证明了其周期边界问题的弱解 的存在性 第二章一维四阶h e i s e n b e r g 链的弱解的存在性 2 1 引言 绪论中说明了如何从经典观念推导l a n d a u - l i f s h i t z 方程，但事实上物理学 家常常从量子力学的角度来考察某个微观粒子的哈密尔顿算符，从而得到铁磁体 的磁化运动方程 1 9 8 8 年，m l a k s h m a n n ，k p o r s e z i a n 和m d a n i e l 4 5 】在一维情况下，研究 了一个经典的各向同性的四阶h e i s e n b e r g 自旋链他们给出了如下的哈密尔顿 量： h = 一j 慨岛+ 后( s 岛) 2 ， i ，j = l ，2 ，n ( 2 1 1 ) 玎 这里最是三维向量，表示自旋；n 是自旋个数；j 足双线性交换参数；k 是四阶 交换参数自旋由相邻的双线性和四阶交换作用所决定 ( 2 1 1 ) 相应的运动方程是 鲁= ，晶 ( & + 。+ & 一，) + 后【& + 。( & - & + 1 ) + & 一l ( & 鼠一1 ) 】) ( 2 1 2 ) 为考虑在大波长和低温度下( 2 1 2 ) 的连续极限，作者让晶格参数趋向于0 并假定& 在一个晶格长度上的变化是微小的。定义u ( x ，t ) = u ( n a ，) = ( ) ， 对札进行最高四阶的泰勒展开对时间变量作适当的伸缩变换后，( 2 1 2 ) 变为 u t2 乱( u + 饥t 上一2 + 他 ( z 正。u z z ) 乱z z + 考( u t $ 霉z ) 乱z 】) ， ( 2 1 3 ) 其中7 1 = a 2 1 2 ，m = k a 2 ( 1 + 2 k ) 当7 l = 7 2 = 0 时，( 2 1 3 ) 就是著名的 l a n d a u - l i f s h i t z 方程；当7 l = 0 且仇0 时，( 2 1 3 ) 曾经被j f i v e z 4 6 】推导 出，而他所研究的一维可压缩h e i s e n b e r g 链早先是由m c i e p l a k 和l a t u r s k i 4 7 所得出的；丁时进等人【4 8 】也得到了( 2 1 3 ) 的测度解的存在性从偏微分 】7 第1 8 页 第二章一维四阶h e i s e n b e r g 链的弱解的存在性 方程的角度来说，( 2 1 3 ) 右边的四阶项s & 。是耗散的因此，本章将得到 一个比 4 8 】中的测度解更强的解的存在性 尽管如此，本章所用的方法并非对所有的，y 1 和饥都适用事实上，它取决 于( 2 1 3 ) 的可积性为此，k p o r s e z i a n 等人【4 9 】利用微分几何的方法将( 2 1 3 ) 化为如下的等价形式t i 吼+ z + 2 l 口1 2 q + 7 1 q x 嚣。一4 占l i q l 2 。一 4 , h l q l 2 畦z 4 如口i 1 2 4 6 4 q 1 1 2 2 4 5 5 4 q = 0 ( 2 1 4 ) 其中6 1 = 3 7 1 + 2 7 2 ，如= 2 7 1 + 仇，以= 9 7 1 + 4 7 2 ，以= ；饥+ 2 饱和 民= 3 7 1 + 7 2 2 由于当7 l = 仇= 0 时，( 2 1 4 ) 蜕化成非线性s c h r s d i n g e r 方 程，( 2 1 4 ) 可以看成是一个广义的非线性s c h r s d i n g e r 方程 k p o r s e z i a n 等人【4 9 】利用p a i n i e v 6 奇性结构分析证明了( 2 1 4 ) 是可积的 当且仅当能= 一主5 7 1 此时，( 2 1 3 ) 变为 珏严u 钍。+ 忡一一兰7 ( u u x x ) u z z + j 2 ( u 他。) 钆。m ( 2 1 5 ) m d a n i e l 等人【5 0 在研究各向异性的h e i s e n b e r g 铁磁链的动力学性质时， 得到了类似的结果 不失一般性，在后文中我们始终假定饥等于1 利用等式 川2 = 1 毒让= o u u x x = - - 。1 2 u 乱z = 一耋( i u 善f 2 ) z ， 我们可以将( 2 1 5 ) 改写成 缸t _ u u 一+ 【( 1 + 兰l “。1 2 7 _ tx1 , x 1 。 ( 2 1 1 6 ) 2 1 引言 第1 9 页 考虑如下的周期边值问题 + l l t i z l 2u u x 】$ 在q ( o ，t ) 中， 在g t 上，( 2 1 7 ) t )在r 0 ，t ) 中， 其中q = ( 一d ，d ) ，是一个正的常数 利用粘性消去法，我们有以下定理 定理2 1 假设u o h 2 ( q ) ，l l t o i = 1 口e 那么( 2 1 7 ) 存在一个弱解满足 ( i ) tu l 。( 0 ，t ；h 2 ( q ) ) ，i u l = 1 口e ； ( i i ) ：对任意的妒c 。( 囝【0 ，刀) ，妒( z ，t ) = 0 ，妒( 一d ，t ) = 妒( d ，t ) ，以下 等式成立： 一、，u - 。o t 出砒= 上札。妒( z l o ) 如+ 上堋( 仳乱霉。) ，妒z 。如班 + 2 u 。u x x ) d x d t + ( 1 + 昙l u 。1 2 ) 札u 。妒d x d t j n ( o , t ) j n x ( o ，t ) 二 + 5 ( u 。u x x ) u u 霉妒d x d t ， j q x ( 0 , t ) 其中丁依赖于i l u o l l h 。 这一章的结构如下。2 2 考察了与( 2 1 7 ) 相对应的带有e 粘性项的方程 ( 2 2 1 ) ；2 3 先对( 2 2 1 ) 的解i t 。作出不依赖于g - 的先验估计，然后取极限e 一0 以得到( 2 1 7 ) 的弱解 一 卜 吣 t 咖 旧 = 忆 一 卜 凹 第2 0 页 第二章一维四阶h e i s e n b e r g 链的弱解的存在性 二ut：三-=，三u三u：，xxx：z。二 2 2 粘性方程 + ；i 札。f 2 ) u 钆。】。一e u 茁嚣。一( ；l 札。 ：。+ 他霉让$ 。) 仳， ) 对于( 2 2 1 ) 的光滑解，我们有以下引理 ( 2 2 1 ) 胨引睦巾z 他) ( 一) 【u ( z + 2 d ，t ) ： ( z ，t ) 差蠹= 主 ：i d f 一2 如+ 吲2 如s 蛩i g i 仁2 妞 2 2 粘性方程 第2 1 页 下面我们用差分一微分方法来得到( 2 2 1 ) 的局部光滑解的存在性 定义一维情况的差分记号如下； u = = u ( x j ) l j = 0 ，1 ，j 】，巧= j h ，h = 2 d j 其中2 p u i i l 一=s u p j e o “1 “， ，一l u i i p = ( j = o j k 驴u 峙= ( j = o u , l l , r = u ji p h ) 1 v ， 警阿，胁i ”7 特别的，l ：= h o ，其上的内积定义为 j l ( u h7 v h ) l 乏= u j v 1 j = o 利用这些记号，我们有以下一些引理 4 3 】 引理2 3 假设q ，r 是实数，而j ，m 是整数它们满足1 q ，r 。o ，0 j 0 和c 0 使 得 s u pi i u 1 1 2 c 0 t s u pi 陋札_ i l i l 2 c ， o 0 仅依赖于i l u o l l 日2 满足 s u pi i 札l l 舻( n ) c 0 t t i 证明( 1 ) ( 2 1 7 ) 两边同时与仳作r 3 内积，则有 面d ”= o ， 这表明i u l 兰l u 0 l = 1 ( 2 ) ( 2 1 7 ) 两边同时与一。作r 3 内积，然后在q 上积分得 三未刈；= 上u u 。u 。如一5 上( u 。，u z 拟u x u x u x x ) 如= i 一i z ，( 2 s 1 ) i