（基础数学专业论文）随机微分方程及其数值方法的研究.pdf

兰州大学硕士学位论文 摘要 随机微分方程广泛应用于金融系统，数量经济，控制系统，统计物理，系统生物 等领域。但是在实际应用当中，由于没有有效的求解随机微分方程的数值方法以及 充足的相关资源，使得在描述经济，物理，生物，自动化现象的数学模型时通常是忽 略随机因素来进行简化研究的，这样这种模型就不能很好的得到利用。近年来，经 过数学家们在这方而的不断努力，终于在随机微分方程数值解方面取得了骄人的成 果，这就意味着某些随机模型可以利用计算机程序模拟来进行研究和探索。由于随 机系统本身的复杂性，一般情况下很难得到方程理论解的显示表达式，只有一些特 殊的随机微分方程才能求出其解析解f 1 1 1 。当随机微分方程的解析解无法给出时， 我们只能通过讨论解过程的各阶矩性质来探究解的性态， 本文在第一章，第二章里首先介绍了随机微分方程的背景知识及其相关理论， 其中包括布朗运动的描述，随机分析介绍，解的存在唯一性定理，以及线性随机微 分方程和它相应的解的解析表达式。 第三章和第四章是本文的重点。在第三章里首先给出了数值方法收敛性和稳定 性的相关定理和定义，接着证明了对于二级r - k 数值方法，适当选取矩阵a ，b 和 向量口，p ，强收敛阶可以达到1 0 。着重讨论了r - k 方法的三种格式的均方稳定性， 求出了r - k 方法的三种格式的均方稳定函数，进而给出了r k 显式方法和r - k 半 隐式方法的稳定区域，并得出r - k 显式方法和r - k 半隐式方法的稳定性不可比， 这种性质不同于e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法的相应结论。在第叫章，以线性微分 方程为检验方程，将r k 方法的三种格式与e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法相应的三 种格式在全局误差估计和收敛率等方面进行了比较，并用表格的形式直观的表示出 来，进而而得出的结论是：r - k 方法的均方稳定性优于e u l e r 方法和m i l s t e i n 方 法最后将r - k 方法，e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法的相应的三种格式与精确解的逼 近用九个图片表示出来，可以直观的观察到r - k 方法三种格式的方法整体上都比 较接近精确解，而且在精确度和收敛性方面都优于e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法。 关键词：随机微分方程，布朗运动，解的存在唯一性，数值解的稳定性，数值解 的收敛性，r - k 方法。 兰州人学硕士学位论文 a b s t r a c t i nm a n yf i e l d s ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s d e s ) a r em o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti nm a t h e m a t i c a lm o d e l s ，s u c ha s ，i nf i n a n c i a ls y s t e m s ，q u a n t i t a t i v e ，c o n t r o l s y s t e m s ，s t a t i s t i c a lp h y s i c s ，b i o l o g ys y s t e m sa n d s oo n h o w e v e r ，d u et ot h el a c ko fa e 疗e c t i v em e t h o dt os o l v es d e s t h es t o c h a s t i cf a c t o r sc o n t a i n e di nt h e s ef i e l d sw e r e o f t e nb e e ni g n o r e d ，w h i c hb r i n g ss o m ee s s e n t i a lr e s t r i c t i o ni np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s r e c e n t l y , w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r nc o m p u t e r ，s o m es t o c h a s t i cm o d e l sc a n b es t u d i e dv i at h es i m u l a t i o no fh i g hs p e e dc o m p u t e r b u t ，b e c a u s eo ft h ec o m p l e x - i t ya n dd i v e r s i t yo fs t o c h a s t i cs y s t e m s ，e x c e p ts o m es p e c i a ls d e s ，i ng e n e r a li ti s h a r dt oo b t a i nt h ee x p l i c i ts o l u t i o nf o rag e n e r a lg i v e ns d e s ( 【1 1 】) c o n s e q u e n t l y , c h a r a c t e r i z i n gt h ep r o p e r t yo ft h em o m e n t s i sap r o p e ra n d h e l p f u lm e t h o df o ru n d e r - s t a n d i n gs d e s ，a n dt h e nc o n s t r u c t i n gs t o c h a s t i cn u m e r i c a lm e t h o d si sp a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t i nt h ef i r s tt w oc h a p t e r s ，w ep r e s e n t8 0 i n eb a s i ct h e o r i e sa n d b a c k g r o u n da b o u t s d e s ，i n c l u d i n gb r o w nm o t i o n ，ag l i m p s eo fs t o c h a s t i ca n a l y s i s ，t h ee x i s t e n c e - u n i q u e n e s st h e o r e m 1 i n e a rs d e sa n di t ss o l u t i o n s e x p l i c i te x p r e s s i o n i nc h a p t e r3 ，w ef i r s tp r e s e n ts o m ed e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t sa b o u tt h e c o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo fn u m e r i c a lm e t h o d s ，t h e nw ep r o v et h a tt h e2 - s t a g er - k m e t h o di ss t r o n g1 0c o n v e r g e n tb ys e l e c t i n gt h ea p p r o p r i a t em a t r i xa ，ba n dv e c t o r 口，p t h em a i np u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri st od i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h et h r e ef o r m s ( e x p l i c i t ，s e m i - i m p l i c i ta n di m p l i c i t ) f o rr - km e t h o d s w ef i r s td e d u c et h e i rm s s t a b l ef u n c t i o n s ，t h e nw eo b t a i nt h es t a b l ed o m a i nf o rb o t hr - ke x p l i c i tm e t h o d a n dr - ks e m i i m p l i c i tm e t h o d b a s e do nt h e s er e s u l t s ，w es h o wt h a tt h es t a b i l i t y o fr - ke x p l i c i tm e t h o da n dr - ks e m i - i m p l i c i tm e t h o da r eu n - c o m p a r a b l e 。w h i c hi s d i f f e r e n tf r o mt h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t yo fe u l e rm e t h o da n dm i l s t e i nm e t h o d i nc h a p t e r4 ，u s i n gl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na st h et e s te q u a t i o n ，w ec o m p a r e t h eg l o b a le r r o ra n dc o n v e r g e n tr a t eo ft h et h r e ef o r m so fm km e t h o d e u l e rm e t h o d a n dm i l s t e i nm e t h o d ；a n dw ep r e s e n to u rc o m p a r e dr e s u l t sv i as o m ev i s u a lg r a p h s a n dt a b l e s t h e s er e s u l t ss h o we x p l i c i t l yt h a tr - km e t h o d si st h eb e s to n ei fw e o n l yc o n s i d e rt h em ss t a b i l i t y f i n a l l y , w ep r e s e n tt h ea p p r o x i m a t i o no fe x a c t l y s o l u t i o na n dt h et h r e ef o r m so ft h et h r e em e t h o d st h r o u g h9g r 印l l s t h r o u g ht h e s e v i s u a lg r a p h 8w ec a ns e ee x p l i c i t l yt h a tt h et h r e ef o r m so fr - km e t h o da r em o r e a p p r o a c ht ot h ee x a c t l ys o l u t i o nt h a nt h ec o r r e s p o n d i n gf o r m so fe u l e ra n dm i l s t e i n i v 兰州大学硕士学位论文 m e t h o d s ，a sw e l la sa c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c e k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；b r o w nm o t i o n ；e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o n ；s t a b i l i t yo fn u m e r i c a ls o l u t i o n ；c o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a l s o l u t i o n ；r u n g e k u t t am e t h o d v 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研 究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、 观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 弓长饕叶 日期： 2o lo 辱- 5 冯z4 a 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保 存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和 借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人离校后发 表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位 仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名： 张镁口十 导师签名：整煮芨日期：绝二! 芏! 歹 第一章绪论 1 1 随机微分方程的发展背景 三百年以前，莱布尼兹和牛顿发现并创立了微积分学，为了描述有关机械动力 学，天文学等领域的物理现象，便由此建立了确定性的微分方程即常微分方程现在 来说，常微分方程在物理上和机械工程上的应用是大家熟悉的，然而在研究实际数 学模型过程中，由于外界存在不确定因素，所以总体上很复杂，研究数学模型就会有 不确定性的凶素，而在经济学，金融学，保险学，人口增长理论，信号处理等领域，不 确定因素是不能忽视的，由于二十世纪中期实际问题的大量出现，推动了随机积分 的迅速发展 在1 9 0 6 年，e i n s t e i n 在研究相关布朗运动工作的时候给出了有关w i e n e r 过程 的一个方程式直到1 9 2 3 年，w i e n e r 本人给出了有关布朗运动的一系列严格研究 成果，这也是为什么布朗运动称之为w i e n e r 过程的原因，这个研究成果有力的推动 了w i e n e r 过程的发展在1 9 4 4 年，i t o 定义了与w i e n e r 过程相应的随机系统的 i t o 积分，由此就有了描述了各种物理现象的微分方程即随机微分方程 近年来，随机分析和随机微分方程理论有了迅速发展，并已广泛应用于物理学， 化学，生物学，经济学和金融学等领域如：控制领域存在着外界干扰，生物学领域的 不确定因素的干扰，有关信息技术的滤波问题等由此对方程本身及其解性态的研 究就显得r f - 分重要，但是现在除了一些特殊的微分方程可以解出显示解以外，在大 多数情况下，随机微分方程理论解的解析表达式是没有方法可以求解出的只能通 过解的各阶矩的性质来间接的研究微分方程的解的性质目前，对于随机系统稳定 性的研究已有一些研究进展但是还没有达到确定性的常微分方程稳定性理论研究 的地步。然而，随机系统和确定系统也有一些相似的地方，如：随机系统中也有一些 稳定性概念事实上，对每一种确定性系统的稳定性定义至少有四种相心的随机系 统的随机稳定性定义，譬如：依分布收敛，依概率收敛，均方收敛，几乎必然收敛等 在f 5 1 中，作者x m a o 全而地讨论了随机系统的平均稳定性，平均渐近稳定性，均方 稳定性，均方渐近稳定性，按概率稳定性，指数均方稳定性等等，并且还讨论随机微 分方程在实际中的应用同时也有一些研究确定性系统的方法也被移植到随机系统 中来，并取得一些研究成果例如k l e o d e n 和p l a t e n 在【2 1 全面地讨论了随机微分方 程数值解的收敛性和稳定性以及数值方法的构造，包括，最常见的三种方法：e u l e r 数值方法，m i l s t e i n 方法和r - k 方法的数值方法的构造有关一些数值方法的文献， 如：m a r u y a m a 【6 】首先使用e u l e r 方法研究随机微分方程的数值逼近；m i b t e i n 【7 】 1 兰州火学硕士学位论文 给出了具有强l 阶求解随机微分方程的m i l s t e i n 方法：w r u m e l i n ( 1 3 给出了具 有一阶强收敛的随机r k 方法的通式等等 现在随机微分方程关于解的问题是个内容丰富的研究领域，以常微分方程为代 表的确定性系统数值解已经到了深入研究的地步和进度，现在好多软件包和工具箱 可以用米数值求解，并进行数值模拟来描述实际现象，他们的解提供了对发生变 化时系统如何变化和发展，不同的初始点对系统的解有何影响等问题的解释虽然 人们对应用随机微分方程建立数学模型越来越感兴趣，但是由于随机因素带来的复 杂性，在缺乏有效数值算法和计算工具的情况下，仅有模型对解决实际问题是毫无 意义的，随着计算机计算能力的飞速提高和数学家们的不懈努力，数值求解和模拟 随机微分方程的精度在不断地扩大和提高，如 2 ，7 1 1 2 本文的研究简介 本文在第一章，第二章里首先介绍了随机微分方程的背景知识及其相关理论， 其中包括布朗运动的描述，随机分析介绍，解的存在唯一性定理，以及线性随机微 分和它相应的解的解析表达式。 第三章和第四章是本文的重点。在第三章里首先给出了数值方法收敛性和稳定 性的相关定理和定义，接着就证明了对于二级r o k 数值方法，适当选取矩阵a ，b 和向量n ，p ，强收敛阶可以达到1 0 。本文研究并讨论了r - k 方法的三种格式的均方 稳定性，求出了r - k 方法的三种格式的均方稳定函数，进而给出了r - k 显式方法和 r - k 半隐式方法的稳定区域，并得出r - k 显式方法和r - k 半隐式方法的稳定性不 可比，这种性质不同于e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法的相应结论。在第四章，以线性 微分方程为检验方程，将r _ k 方法的三种格式与e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法相应 的三种格式在全局误差估计和收敛率等方面进行了比较，并用表格的形式直观的表 示出来，从而得出的结论是：r k 方法的均方稳定性优于e u l e r 方法和m i l s t e i n 方 法最后将r - k 方法，e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法的相应的三种格式与精确解的逼 近用九个图片表示出来，可以直观的观察到r - k 方法三种格式的方法整体上都比 较接近精确解，而且在精确度和收敛性方面都优于e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法。 2 第二章预备知识 弗一旱 】伙冒天状 随机微分方程的一般形式为： x 7 ( t ) = ，( x ( t ) ，( ) ，t ) ，t t o ，t i( 2 0 1 ) 其中x ( t ) 的分量为五( 亡) ，i = 1 ，2 ，r t 的他维向量，弱是珏维向量，n ( t ) 是d 维向量，其中( t ) ，i = 1 ，2 ，d 和如，j = 1 ，2 ，n 是随机变量当( 2 0 1 ) 中的 n ( t ) 只含有随机分量白噪声时，这类方程存控制领域，信息技术的滤波领域和生物 学领域中有着重要的作用基于此人们主要考虑如下形式的方程： d x ( t ) = ，( x ( t ) ，t i l t + 夕( x ( t ) ，t ) d w ( t ) ，t 【t o ，卅，x ( t o ) = 2 ( o( 2 0 2 ) 其中w ( t ) = ( m ( t ) ，w 2 ( t ) ，( t ) ) 丁，ei 1 2 0 0 ，( ) 和9 ( ) 是连续可测函 数，并且，( x ( t ) ，t ) ，夕( x ( t ) ，t ) 分别称为漂移系数和扩散系数，w ( t ) 是标准的d 维 w i e n e r 过程这种模型在滤波领域和控制领域应用相当的广泛，原因主要有两个 第一，它的式子比较简单，并且它又随机推广了最优问题理论中状态空间的方法，而 且这类方程的解也很特殊，是马尔科夫过程；第二，自噪声是人为的，它与电子应用 中的许多噪声过程的性质非常类似，基于这两点，这类随机微分方程在实际生活和 其他应用学科有非常重要的应用在这篇文章主要研究一种自治的随机微分方程的 初值问题： d x ( t ) = f ( x ( t ) ) d t + 夕( x ( ) ) d ( ) ，t 【t o ，卅，x ( t o ) = x o ，x r( 2 0 3 ) 一 其中，( - ) 和夕( ) 都是连续可测函数，( ) 和夕( ) 分别称为漂移系数和扩散系数， e l 托1 2 0 0 ，w ( t ) 是标准的w i e n e r 过程这种方程有以下两种特殊的情形，当 9 ( x ( 亡) ) 是关于x 是线性的，称方程( 2 0 3 ) 为乘性噪声，当夕( x ( ) ) 是常晕时，即 夕( x ( 亡) ) = a ，其中n 是常量，称方程( 2 0 3 ) 为加性噪声( 见 2 】) 例如，带有乘性 噪声线性随机微分方程就表示为： d x ( t ) = a x ( t ) d t + x ( t ) d ( 亡) ，x ( t o ) = x o ，( 2 0 4 ) 其中q ，p 是实常数 2 1b r o w n 运动 在1 8 2 7 年，英国植物学b r o w n 用显微镜下注意到了花粉粒子在静水中的非常 奇怪的不规则的运动，e i n s t e i n 在1 9 0 5 年对这种现象作了物理解释1 9 2 3 年，w i e n e r 3 兰州大学硕士学位论文 通过大量的实验观察和研究，构造了它的数学模型，并给出了有关布朗运动的一些 严格研究成果，因此这种随机过程称之为b r o w n 运动或w i e n e r 过程白布朗运动 模型创造以来，它的应用领域就很广泛，因为每一个领域都有很多的随机因素影响 事物的发展在金融领域，股价的波动受到来自投资者情绪的波动，政策面的消息， 外围市场的影响，这些随机因素都共同影响股价的波动，因此，很多经济学者都引入 布朗运动来分析股价的波动；在智能控制领域，例如电力负荷的控制，一天时间里电 力负荷的波动也受到各种因素的影响，如天气，用电高峰期，人为因素等影响，导致 电力负荷波动，我们也可以引入布朗运动来研究电力负荷的波动，从而准确地预测 电力负荷，为电力部门提供智能控制系统 下面我们给出b r o w n 运动( 或w i e n e r 过程) 的定义，见f 1 1 。 定义2 1 称实值随机过程w ( t ) 是定义在【t o ，刁上的b r o w n 运动或者w i e n e r 过程，如果具有以下性质的随机过程： ( j ) w ( o ) = 0 j ( 约对于0 s 0 为一常数； ( 纠对于0 s t 铭 u t ，增量w ( t ) 一w ( s ) 和w ( v ) 一w ( u ) 是相 互独立的 当叮2 = l 时，称为标准b r o w n 运动或者标准w i e n e r 过程。在上取值的d 维随机过程w ( t ) = ( w l ( t ) ，w 2 ( t ) ，吼( 亡) ) t ，若( 亡) ，：l 2 - ，d 为d 个相互独立 的一维b r o w n 运动，称为d 维b r o w n 运动 目前，b r o w n 运动刁i 仅仅是花粉微粒子运动状态的模型，它还代表了市场股票 价格波动，电离子运动，有关通信方而的噪声以及许多现实生活微观运动系统的不 确定因素干扰等等物理现象，它最明显的性质是：几乎所有轨道是处处不可微的连 续函数它的形式导数 心) = 警，亡0 ( 2 1 1 ) 的真实表达式是 ，t w ( t ) = “w h i t en o i s e ”d s ，w ( o ) = 0 n s ( 2 1 2 ) ，o ( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 都可以作为b r o w n 运动的定义和解释下图是对布朗运动的模拟图， 我们为了能够在计算机上对它进行模拟，先考虑离散的w i e n e r 过程，当t ；1 0 0 0 ， 而h = 吾，这里的n = 1 0 0 0 ，根据布朗运动的条件( 1 ) , - i p a 得知：w ( o ) = 0 a 8 ， 最后编程将离散的各点的数据连起来，如下图： 4 兰州大学硕士学位论文 2 2 随机积分 我们知道( 2 0 2 ) 的相应的积分方程是 x ( t ) = x ( t o ) + 7 ，( x ( s ) ，s ) d s + f 夕( x ( s ) ，s ) d w ( s ) ，t t o ，t t ( 2 2 1 ) j t od t o 现在对( 2 2 1 ) 方程结构说明一下，式( 2 2 1 ) 中的第一个积分是通常意义下的r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分，而将第二个积分像第一个积分那样定义为r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分是 没有意义的，因为如果这样定义随机变量 这个随机变量序列不一定均方收敛到同一个极限，且这个极限值取决于t 奄7 的选择， 因此积分髭夕( x ( s ) ，s ) d w ( s ) 在一般情况下均方积分值是不存在的产生这种结果 的最主要的原因是b r o w n 运动有 c a rw ( t ) = t 的性质，也就是说b r o w n 运动的方 差随着时间的增大而增大，最后达到无穷；而它的期望值等于0 并保持不变 例如 求值积分譬w ( t ) d w ( t ) 5 如 一七 陋 喽” 一缸 一 d 缈 砭， g n 胤 = n h e h 兰州大学硕士学位论文 事实上，设0 = t o o , t o o ( 3 1 1 ) 称平衡解x ( t ，t o ，x o ) 三0 为随机渐近稳定如果在p j j j 成立的前提下有 l i r ap ( 1 i mi x ( t ，t o ，x o ) i _ 0 ) = 1 ( 3 1 2 ) x o - o 1 w 。 。、 称平衡解x c t ，t o ，x o ) 兰0 为大范围随机渐近稳定如果在p j j ，和p 1 砂成立 的前提下有 p ( j i mi x ( t ，t o ，x o ) i - 0 ) = 1w i( 3 1 3 ) 1 9 9 2 年，k l o e d e n 和p l a t e n 给出了下面的定义 定义3 5 ( f 2 】) 我们称x ( t ，t o ，) c o ) 兰0 为p 阶矩渐近稳定的，若v g 0 ，3 5 = 6 ( ，t o ) 使得 e ( i x ( t ，t o ，x o ) l p ) ，v t 0 ，1 ) c o l 0 使得 1 i me ( i x ( t ，t o ，x o ) l p ) = 0 ，i x o l 5 ( 3 1 5 ) 当p = 2 时，称为均方稳定( m s 稳定， 考虑了线性检验方程( 2 0 4 ) ，它的显示解为( 2 3 1 ) ，容易看出当r e ( q 一 p 2 ) 0 时，平衡解x ( t ，t o ，x o ) 兰0 为随机渐近稳定解由于r e ( a 一 卢2 ) r e a + 俐2 恒成立，所以均值稳定强于随机渐近稳定，也就是如果线性s d e 是均方稳定的，那 么必定是渐近稳定 1 2 兰州大学硕士学位论文 若方程是非线性的，那就是将微分方程关于这个平衡解线性化，然后分析所得 到的线性化方程零解的稳定性在许多情况下，它的稳定性或者渐近稳定性将会暗 示非线性方程解的相应性质 运用数值方法逼近随机微分方程，从数值角度而言也有对应的数值稳定的概念 对于任何一个数值方法，将e ( i 恐1 2 ) 记为碥，令p = h o ，q = 筇，在方程( 2 0 4 ) 上应用数值方法，得到一阶差分方程k + 1 = r 2 ( p ，g ) 碥，其中岛( p ，g ) 称为数值方 法的均方稳定函数 定义3 6 ( 3 1 ) 一个数值方法称为对p 和q 的数值删稳定方法，若i 忍0 ，g ) l 1 此外，s = p ，q ) ：l r 2 ，q ) 1 ，称为该数值方法的m s 稳定区域 3 2 主要结果 3 2 1 二级r _ k 方法的表达形式 在本文中我们利用b u t c h e r 点阵 a = ( 来给出2 级r u n g e - k u t t a 的显式方法，半隐式方法，和隐式方法 ( 1 ) 二船r u n g e - k u t t a 显式方法( 见【9 】) r u n g e - k u t t a 显式方法也称为h e u n 方法，具体b u t c h e r 点阵中的项为： a = b = ( 三三) ， q r = 矿= ( 丢 对应的二级r u n g e - k u t t a 的定义形式为： k i = x n 2 = k + 九，( 琏) - t - 巩夕( k 1 ) ， ( 3 2 1 ) k + 1 ：+ h ( f ( k 1 ) + 7 ( 琏) ) + 半( g ( 甄) + 9 ( 鲍) ) ( 2 ) 二级r ，u n g e - k u t t a 半隐式方法( 见【1 0 】) r u n g e - k u t t a 半隐式方法的具体b u t c h e r 点阵中的项为： a = ( 二吾：) ，召= ( 詈兰) ，乜丁= p t = ( 互1 差) 兰州大学硕士学位论文 对应的二级r u n g e - k u t t a 的定义形式为： k 1 = k + h f ( k 1 ) k 2 = k + 丢巧( k 1 ) + 谚( 鲍) + 石l 、k 1 )( 3 2 2 ) uu 1冀 k + 1 = k + 云( 九，( k 1 ) + 巩9 ( k 1 ) ) + 署( ，( 鲍) + a w g ( i 2 ) ) ( 3 ) - 级隐式r u n g e - k u t t a 方法( 见【1 0 】) r u n g e - k u t t a 隐式方法的具体b u t c h e r 点阵中的项为： a = b = ( 一0 1 ) 对应的二级r u n g e - k u t t a 的定义形式为： a ? = p t = ( 三差) k 1 = + h f ( k , ) + 眠夕( k 1 ) n 鲍= 一昙( 巧( k 1 ) + a w n g ( k 1 ) ) + ( 圩( 硷) + x w 。g ( k 2 ) )( 3 2 3 ) + l = 十三( 巧( 甄) + 9 ( k 1 ) ) - b3 ( h f ( k 2 ) + a w n g ( k 2 ) ) 3 2 2 f 0 k 方法的收敛性与均方稳定性理论 定理3 7 对于二级r k 数值方法，适当选取矩阵a ，b 和向量q ，p ，强收敛阶 可以达到! 现 证明由引理3 3 可知，我们只需证明在二级r - k 方法中，我们选取的矩阵a ，b 和向量口，母满足： a t e = 1 ，矿e = l ，矿b e = 去， 以及 a t b e = 三，p r a e = 互1 既可。 对于显式r - k 方法 a = b = ( 呈 n r = 矿= ( 壶圭) 兰州大学硕士学位论文 则 = ( 丢龇) = 1 p t e = ( 丢丢) ( ：) = l ， p r b e = ( 互1 丢) ( ；兰) ( ：) = 互1 b p i i i 足均方条件又 q r b e = ( 互1 三) ( ；兰) ( ：) = 荟1 ， p r a e = ( 互1 丢) ( ；宝) ( ：) = 互1 即也满足均值条件。因此二级显式r - k 方法强阶1 0 收敛 同理可证，对于隐式和半隐式r - k 方法也成立因此定理成立_ 我们知道i t o 检验方程( 2 0 4 ) 的同解的s t r a t o n o v i c h 型的检验方程是( 2 3 2 ) 即： d x ( t ) = ( o 一去p 2 ) x ( t ) d t + 卢x ( 亡) od w ( t ) ，x ( t o ) = ( 1 ) 显式r u n g e - k u t t a 方法的稳定性 将显式r u n g e - k u t t a 方法应用到检验方程( 2 3 2 ) z i 。 该方法的迭代关系： 码：鼍一。【1 + 型型塑型咝警坐生堕幽】 ( 3 2 4 ) 令p = h a ，q = 狐p ，= 恹，：n ( 0 ，1 ) ，那么( 3 2 4 ) 等价于 葺：墨一，【1 + 堕堑垫巡# 匕盟塑】 ( 3 - 2 5 ) 由均方稳定函数的定义，得出该方法的均方函数为： r 2 ( p ，g ) 2 壶【6 4 + 1 6 ( 2 p 9 2 ) ( 印一q 2 + 4 ) + 6 4 q 2 + ( 2 p 9 2 ) 2 ( 印一9 2 + 4 ) 2 + 4 q 2 ( 2 p 一口2 ) 2 + 4 q 2 ( 2 p q 2 + 4 ) 2 + 4 8 9 4 + 1 6 9 2 ( 印一9 2 ) ( 2 p q 2 + 4 ) 】 兰州大学硕士学位论文 它相心的稳定区域为： s = ( p ，q ) ：i r u s ( p ，口) i 1 )( 3 2 6 ) 其中： r m ( p ，g ) 5 壶【6 4 + 1 6 ( 2 p q 2 ) ( 2 v q 2 + 4 ) + 6 4 q 2 + ( 2 p 一口2 ) 2 ( 2 p 9 2 + 4 ) 2 + 4 q 2 ( 2 p q 2 ) 2 + 4 q 2 ( 2 v q 2 + 4 ) 2 + 4 8 q 4 + 1 6 q 2 ( 2 p q 2 ) ( 2 p q 2 + 4 ) 】 穗疋区城卿图3 1 所- f 阴阴影鄙分 ( 2 ) 半隐式r u n g e - k u t t a 方法 将半隐式r u n g e - k u t t a 方法应用到检验方程( 2 3 2 ) 得到该方法的迭代关系： x n + 1 = - 剐1 + ( 2 a h - f 1 2 h + 2 f 1 4 a ( 2 w 一, , ) 如( 2 - + 6 a 卢h 2 毋+ 3 f 1 2 h + 4 f l a w , , ) j 1 ( 3 2 7 ) 令p = h a ，q = 狐p ，a w j = 瓜，：n ( 0 ，1 ) ，那么( 3 2 7 ) 等价于 x n + 1 = - 砌+ 坠譬掣筹产】 ( 3 2 8 ) 由均方稳定函数的定义，得出该方法的均方函数为： 冗：。，g ) = 1 + 4 p - - 1 2 丽p 2 + j 1 2 p 再q 2 再+ 6 q 广2 - 一3 q 4 均方稳定区域为： 其中 ( 2 p q 2 ) 2 ( 2 6 p + 3 q 2 ) 2 + 1 6 q 2 ( 2 p q 2 ) 2 + 1 9 2 q 4 。 1 6 ( 2 一印+ q 2 ) 4 3 2 q 2 ( 2 p q 2 ) ( 2 6 p + 3 q 2 ) + 4 q 2 ( 2 6 p - 4 - 3 q 2 ) 2 + 可丽了石而下一 s = ( p ，口) ：i r m s 2 ( p ，g ) l 1 ) r m s 2 加，g ) = 1 + 生三二! 宅翥；三笔舅等铲 + 坠煎垫幂笨紫型 + 3 2 q 2 ( 2 p - q 2 ) ( 2 1 - 丽6 p = + 虿3 q 2 再) + 阡4 q 2 ( 2 - 6 p 一+ 3 q 2 ) 2 兰州大学硕士学位论文 日 q 7 r 丁7 1 图3 1 图32 p 图3 3 稳定区域如图32 所示的阴影部分 由图33 ，我们可以知道，显式r _ k 方法对应的稳定区域并未完全包含在半隐式 r k 方法对应的稳定区域内。这种现象不同于第四章介绍的e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法( 半障式e u l e r 方法和半隐式m i l s t e i n 方法对应的稳定区域都包含各自的显 式方法的稳定区域内) ，也就是说e u l e r 方法和m i l s t e i n 方法的半隐式方法比显式 方法的稳定性好，而显式r - k 方法和半隐式r - k 方法的稳定性区域不完全包含，所 以两者没有可比性详见皿，9 ，1 讲) ( 3 1 隐式r u n g e - k u t t a 方法 1 7 兰州大学硕士学位论文 将隐式r u n g e - k u t t a 方法应用到检验方程( 2 。3 2 ) 得到该方法的迭代关系： = 础+ 墼坐拦券粽笺器必】( 3 2 9 ) 令p = h a ，q = 狐p ，a w j = 镢，：n ( 0 ，1 ) ，那么( 4 6 7 ) 等价于 x n + 1 - = 砌+ 坠等攀攀笋】 2 加， 由均方稳定函数的定义，得出该方法的均方函数为： 跏，g ) = 去e 1