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文档简介

8最小二乘估计 1 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程 2 知道最小二乘法的思想 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系 用了很多种方法来刻画这种线性关系 但是这些方法都缺少数学思想依据 问题1 用什么样的线性关系刻画会更好一些 想法 保证这条直线与所有点都近 也就是距离最小 最小二乘法就是基于这种想法 问题2 用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效 方法一 点到直线的距离公式 方法二 问题3 怎样刻画多个点与直线的接近程度 先来讨论3个样本点的情况 利用配方法可得 同样使用配方法可以得到 当 从而得到直线y bx的系数 b 且称直线y bx为这3个样本点的线性回归方程 用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数 思考 如果样本点只有两个 用最小二乘法得到的直线与两点式求出的直线一致吗 解 是一致的 与两点式相同 例1在上一节练习中 从散点图可以看出 某小卖部6天卖出热茶的杯数 y 与当天气温 x 之间是线性相关的 数据如下表 1 试用最小二乘法求出线性回归方程 2 如果某天的气温是 3 请预测当天小卖部可能会卖出热茶多少杯 解 1 先画出其散点图可以求得则线性回归方式为 2 当某天的气温是 3 时 当天卖出热茶的杯数估计为 1 已知x y之间的一组数据如下表 则y与x的线性回归方程y a bx必经过点 a 2 2 b 1 5 0 c 1 2 d 1 5 4 d 2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表 1 画出销售额和利润额的散点图 2 若销售额和利润额具有相关关系 计算利润额y对销售额x的线性回归方程 解 1 2 数据如下表 可以求得b 0 5 a 0 4线性回归方程为 百万元 千万元 1 列表 计算 2 代入公式求a b 3 写出直线方程 求线性回归方程的步骤 利用试验数据进行拟合时 所用数据越多 拟合效果越好 但即使选取相同的样本数 得到的直线方程也可能是不相同的 这是由样本的随机性造成的 样本量越大 所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系 3 下面是两个变量的一组数据 请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程 思考 哪一个对呢 y 15 9x 所以 利用最小二乘法估计时 要先作出数据的散点图 如果散点图呈现一定的规律性 我们再根据这个规律性进行拟合 如果散点图呈现出线性关系 我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程 如果散点图呈现出其他的曲线关系 我们就要利用其他的工具进行拟合
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