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7 2 2与球有关的切接问题 1 球的概念 半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做 半圆的圆心叫做球的 半圆的半径叫做球的 球 球心 半径 2 球的性质 性质2 球心和截面圆心的连线 于截面 性质1 用一个平面去截球 截面是 用一个平面去截球面 截线是 大圆 截面过 半径等于球半径 小圆 截面不过 性质3 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系 圆面 圆 球心 球心 垂直 类型 内切球 棱切球 外接球 内切球 球体在几何体里面 且球体与几何体每个面均相切 与球有关的切 接问题 棱切球 球体与几何体每条棱均相切 外接球 几何体在球体里面 且几何体每顶点均在球体上 类型一 正方体 切点 各个面的中心 球心 正方体的中心 直径 相对两个面中心连线 球的直径等于正方体棱长 一 正方体的内切球 二 球与正方体的棱相切 球的直径等于正方体一个面上的对角线长 切点 各棱的中点 球心 正方体的中心 直径 对棱 中点连线 三 正方体的外接球 球直径等于正方体的 体 对角线 类型二 长方体 思考 一般的长方体有内切球吗 没有 一个球在长方体内部 最多可以和该长方体的5个面相切 如果一个长方体有内切球 那么它一定是 正方体 例如 装乒乓球的盒子 一 长方体的内切球 度量关系 长方体的 体 对角线等于球直径 图形 二 长方体的外接球 类型三 正四面体 类型四 构造正方体或长方体 外接球问题 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 以下是常见的 基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法 如 1 正三棱锥A A1BD2 三棱锥A1 ACD3 三棱锥A1 BCD 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形 则公共斜边的中点就是其外接球的球心 也可能是长方体 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体 相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体 途径2 途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系 则可将棱锥补成长方体或正方体 途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直 则可将三棱锥补成长方体或正方体 长方体的每个面的对角线构成的三棱锥 类型五 其他外接球问题 理论基础 在空间 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等 那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心 结论 结论1 正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点 结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心 垂直平分线交点 的连线的中点 注三角形外接圆半径可用正弦定理求解 结论4 正棱锥的外接球的球心在其高上 具体位置可通过计算找到 由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心E的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质 确定球心 类型六 其他内切球问题 注意 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2
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