高中数学 2.3 空间直角坐标系课件 北师大版必修2.ppt

解析几何初步 第二章 3空间直角坐标系 第二章 2014年4月14日4时11分 中国在西昌卫星发射中心用 长征三号甲 运载火箭成功发射北斗导航卫星 这是中国长征系列运载火箭的第162次飞行 在卫星发射过程中 科技人员要描述它在某一时刻的位置时 不但要说明它的高度 还要说明它的经度 纬度 也就是说这个位置用三个量 高度 经度 纬度来唯一确定 这说明要确定空间一点的位置 需要用三个实数来表达 空间直角坐标系就是用三个有序实数表示空间直角坐标系下的点的一种坐标系 本节课我们研究的就是空间直角坐标系 1 空间直角坐标系及相关概念如右图 在空间直角坐标系中 o叫作 x y z轴统称 由 确定的平面叫作坐标平面 x y轴确定的平面记作 平面 y z轴确定的平面记作 平面 x z轴确定的平面记作 平面 原点 坐标轴 坐标轴 xoy yoz xoz 2 空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中 对于空间任意一点p 都可以用一个 元有序数组 来表示 其中第一个是 坐标 第二个是 坐标 第三个是 坐标 反之 任何一个三元有序数组 x y z 都可以确定空间中的一个点p 这样 在空间直角坐标系中 点与三元有序数组之间建立了 的关系 三 x y z x 一一对应 y z 3 空间两点间的距离公式给出空间两点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 ab 特别地 点p x y z 到原点的距离公式为 op 1 已知点a 1 1 1 则点a关于原点对称的点坐标为 a 1 1 1 b 1 1 1 c 1 1 1 d 1 1 1 答案 a 解析 关于原点对称的点 其横 纵 竖坐标都变为原来的相反数 2 如图 正方体的棱长为1 m是所在棱上的中点 n是所在棱上的四分之一点 则m n之间的距离为 答案 b 3 点m 3 6 0 位于 a z轴上b xoy平面内c xoz平面内d yoz平面内 答案 b 解析 点m 3 6 0 的z坐标为0 显然在xoy平面内 4 在空间直角坐标系中 已知点a 1 0 2 b 1 3 1 点m在y轴上 且m到a与到b的距离相等 则m的坐标是 答案 0 1 0 解析 设m 0 y 0 由12 y2 22 12 3 y 2 12可得y 1 故m 0 1 0 5 如图 在空间直角坐标系中 oabc d a b c 是边长为1的正方体 写出下面三个点的坐标 a b c 答案 1 0 0 1 1 1 0 1 1 解析 a在x轴上 且oa 1 a坐标为 1 0 0 c 在yoz平面内 且oc 1 od 1 所以c 的坐标为 0 1 1 而b 在xoz xoy yoz平面上的投影分别是a b c b 的坐标为 1 1 1 已知点的坐标确定点的位置 思路分析 先做出点 6 2 0 再作出m点 规范解答 方法一 先确定点m 6 2 0 在xoy平面上的位置 因为点m的z坐标为4 则 mm 4 且点m和z轴的正半轴在xoy平面的同侧 这样就可以确定点m的位置了 如图所示 方法二 以o为一个顶点 构造三条棱长分别为6 2 4的长方体 使此长方体在点o处的三条棱分别在x轴正半轴 y轴负半轴 z轴正半轴上 则长方体中与顶点o相对的顶点即为所求的点m 图略 规律总结 由点的坐标确定点的位置的方法 1 先确定点 x0 y0 0 在xoy平面上的位置 再由z坐标确定点 x0 y0 z0 在空间直角坐标系中的位置 2 以原点o为一个顶点 构造棱长分别为 x0 y0 z0 的长方体 三条棱的位置要与x0 y0 z0的符号一致 则长方体中与o相对的顶点即为所求的点 在空间直角坐标系中 作出下列各点 a 2 3 3 b 3 4 2 c 4 0 3 解析 a 2 3 3 b 3 4 2 c 4 0 3 的位置如图所示 确定空间点的坐标 已知v abcd为正四棱锥 o为底面中心 ab 2 vo 3 试建立空间直角坐标系 并求出各顶点的坐标 求空间对称点的坐标 思路分析 类比平面直角坐标系中点的对称问题 根据对称点的变化规律即可求解 规范解答 1 由于点p关于x轴对称后 它的x坐标不变 y坐标 z坐标变为原来的相反数 所以对称点为p1 2 1 4 2 由于点p关于xoy平面对称后 它的x坐标 y坐标不变 z坐标变为原来的相反数 所以对称点为p2 2 1 4 3 设对称点为p3 x y z 则点m为线段pp3的中点 由中点坐标公式 可得x 2 2 2 6 y 2 1 1 3 z 2 4 4 12 所以p3 6 3 12 规律总结 1 此类问题类比平面直角坐标系中点的对称问题 掌握对称点的变化规律 才能准确求解 求对称点的问题常常可用 关于谁对称 谁保持不变 其余坐标相反 的说法 如关于x轴的对称点就是横坐标不变 其余的两个数变为原来的相反数 关于xoy坐标平面的对称点 横 纵坐标都不变 竖坐标变成原来的相反数 2 在空间直角坐标系中 任一点p x y z 的几种特殊的对称点的坐标如下 1 关于原点对称的点的坐标是p1 x y z 2 关于x轴 横轴 对称的点的坐标是p2 x y z 3 关于y轴 纵轴 对称的点的坐标是p3 x y z 4 关于z轴 竖轴 对称的点的坐标是p4 x y z 5 关于xoy坐标平面对称的点的坐标是p5 x y z 6 关于yoz坐标平面对称的点的坐标是p6 x y z 7 关于xoz坐标平面对称的点的坐标是p7 x y z 已知点p 3 2 1 试写出满足下列条件的点的坐标 1 与点p关于坐标平面xoy对称 2 与点p关于z轴对称 3 与点p关于原点对称 4 与点p关于点q 1 1 1 对称 解析 1 作出点p关于坐标平面xoy的对称点p1 则p与p1的横坐标与纵坐标相同 而竖坐标互为相反数 p 3 2 1 点p关于坐标平面xoy的对称点p1的坐标为 3 2 1 2 点p关于z轴的对称点p2 则p2与p的竖坐标相同 而横坐标与纵坐标都分别互为相反数 则p2 3 2 1 3 点p关于原点o 0 0 0 的对称点p3 3 2 1 4 点p 3 2 1 关于点q 1 1 1 的对称点p4 5 0 1 两点距离公式及其应用 思路分析 本题主要考查空间两点间的距离公式的应用 规律总结 注意各轴上的点与各坐标平面内的点的坐标的特征 对解题有很大帮助 1 若点p x y z 到a 1 0 1 b 2 1 0 两点间的距离相等 求x y z满足的关系式 2 若点a 2 1 4 与点p x y z 的距离为5 求x y z满足的关系式 3 已知空间两点a 3 1 1 b 2 2 3 在oz轴上有一点c 它与a b两点的距离相等 求c点坐标 错解 如图所示 建立空间直角坐标系 则d 0 0 0 a 0 2 0 b 2 2 0 c 2 0 0 a1 0 2 2 b1 2 2 2 c1 2 0 2 d1 0 0 2 e 2 2 1 f 1 0 0 辨析 建立的坐标