高中数学 3.1 第2课时 函数的极值课件 北师大版选修22.ppt

路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 成才之路 数学 导数应用 第三章 1函数的单调性与极值 第三章 第2课时函数的极值 第三章 1 结合函数的图像 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 会用导数求有关函数的极值 本节重点 利用导数的知识求函数的极值 本节难点 函数的极值与导数的关系 1 如图所示 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的 其函数值f x0 为函数的 极大值点 极大值 如图2所示 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的 其函数值f x0 为函数的 统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 极小值点 极小值 极大值与极小值 2 如果函数y f x 在区间 a x0 上是 的 在区间 x0 b 上是 的 则x0是极大值点 f x0 是极大值 如果函数y f x 在区间 a x0 上是 的 在区间 x0 b 上是 的 则x0是极小值点 f x0 是极小值 利用导数与函数单调性的关系 我们可以把极大值的问题通过下表表示出来 增加 减少 减少 增加 极小值的问题通过下表表示出来 3 求函数极值点的步骤一般情况下 我们可以通过如下步骤求出函数y f x 的极值点 1 求出导数f x 2 解方程 f x 0 3 对于方程 的每一个解x0 分析f x 在x0 的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号 则x0不是极值点 f x 0 左 右两侧 左正右负 左负右正 相同 1 正确理解极值的定义如图所示 不难得出 曲线在极值点处切线的斜率为0 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 2 端点绝不是函数的极值点 3 连续函数f x 在其定义域上的极值点可能不止一个 也可能没有 函数的极大值与极小值没有必然大小关系 函数的一个极小值不一定比极大值小 极大值也不一定比极小值大 4 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是这点两侧的导数异号 5 利用函数的导数求极值时 首先要确定函数的定义域 其次 为了清楚起见 可用导数为零的点 将函数的定义域分成若干小开区间 并列成表格 判断导函数在各个小开区间的符号 利用导数求函数的极值 点评 讨论函数的性质要保持定义域优先的原则 如本题若忽视了定义域 则列表时易错将区间 0 e 写为 e 求极值的具体步骤 第一 求导数f x 第二 令f x 0 求方程的根 第三 列表 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右都是正 或者左右都是负 那么f x 在这个根处无极值 点评 1 列表时应将定义域内的间断点 如x 0 考虑进去 2 极大值不一定比极小值大 这是因为极值是相对某一区间讨论的 3 借助函数的性质 如奇偶性 单调性 极值 周期等 研究函数图像是重要手段 函数极值的逆向问题 2 2013 泰州二中高二期中 已知函数f x x3 ax2 3ax 1在区间 2 2 内 既有极大值也有极小值 则实数a的取值范围是 f x 0的解与极值点 分析 给出了y f x 的图象 应观察图象找出使f x 0与f x 0的x的取值范围 并区分f x 的符号由正到负和由负到正 再做判断 方法规律总结 有关给出图象研究函数性质的题目 要分清给的是f x 的图象还是f x 的图象 若给的是f x 的图象 应先找出f x 的单调区间及极 最 值点 如果给的是f x 的图象 应先找出f x 的正负区间及由正变负还是由负变正 然后结合题目特点分析求解 答案 c 函数的极值的应用 点评 本题考查了导数的求导公式 切线方程 利用导数研究函数的极值 研究函数的单调区间 通过导数的工具性证明不等式等 正解 在上述解法之后继续 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 点评 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 此题未验证x 1时函数两侧的单调性 故求错 一 选择题1 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图像如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内的极小值有 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 a 解析 若导函数f x 在某点两侧的符号为 左负右正 则该点为极小值点 由图像可知极小值点只有一个 2 函数y x3 3x 2的极大值为m 极小值为n 则m n为 a 0b 1c 2d 4 答案 d 解析 令y 3x2 3 0 x 1或x 1 经分析知f 1 为函数y x3 3x 2的极大值 f 1 为函数y x3 3x 2的极小值 故m n f 1 f 1 4 二 填空题4 函数f x 2x3 3x2的极大值等于 极小值等于 答案 0 1 分析 1 对f x