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第二章数列极限 2 1数列极限的概念 2 2收敛数列的性质 2 3数列极限存在的条件 2 1数列极限的概念 一 概念的引入 二 数列的定义 三 数列的极限 四 应用数列极限的定义证明数列极限的方法 一 概念的引入 引例 1如何用渐近的方法求圆的面积S 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积 A2表示圆内接正12边形面积 A3表示圆内接正24边形面积 An表示圆内接正6 2n 1边形面积 显然n越大 An越接近于S 因此 需要考虑当n 时 An的变化趋势 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 二 数列的定义 例如 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 数列极限来自实践 它有丰富的实际背景 我们的祖先很早就对数列进行了研究 早在战国时期就有了极限的概念 例1战国时代哲学家庄周所著的 庄子 天下篇 引用过一句话 一尺之棰 日取其半 万世不竭 也就是说一根一尺长的木棒 每天截去一半 这样的过程可以一直无限制的进行下去 将每天截后的木棒排成一列 如图所示 三 数列的极限 c11 k 其长度组成的数列为 随着n无限的增加 木棒的长度无限的趋近于零 例如 当n无限增大时 如果数列 xn 的一般项xn无限接近于常数a 则常数a称为数列 xn 的极限 或称数列 xn 收敛a 记为 数列极限的通俗定义 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 三 数列的极限 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 当n无限增大时 xn无限接近于a 当n无限增大时 xn a 无限接近于0 当n无限增大时 xn a 可以任意小 要多小就能有多小 当n增大到一定程度以后 xn a 能小于事先给定的任意小的正数 分析 因此 如果n增大到一定程度以后 xn a 能小于事先给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常数a 当n无限增大时 如果数列 xn 的一般项xn无限接近于常数a 则数列 xn 收敛a 下页 数列极限的精确定义 设 xn 为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当n N时 不等式 xn a e总成立 则称常数a是数列 xn 的极限 或者称数列 xn 收敛于a 记为 如果不存在这样的常数a 就说数列 xn 没有极限 0 N N 当n N时 有 xn a 极限定义的简记形式 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注意 几何解释 其中 注 定义1习惯上称为极限的 N定义 它用两个动态指标 和N刻画了极限的实质 用 xn a 定量地刻画了xn与a之间的距离任意小 即任给 0标志着 要多小 的要求 用n N表示n充分大 这个定义有三个要素 10 正数 20 正数N 30 不等式 xn a n N 定义中的 具有二重性 一是 的任意性 二是 的相对固定性 的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程 这个无限过程通过 的任意性来实现 但这个无限过程又要一步步地实现 而且每一步的变化都是有限的 这个有限的变化通过 的相对固定性来实现 定义中的N是一个特定的项数 与给定的 有关 重要的是它的存在性 它是在 相对固定后才能确定的 且由 xn a 来选定 一般说来 越小 N越大 但须注意 对于一个固定的 合乎定义要求的N不是唯一的 用定义验证xn以a为极限时 关键在于设法由给定的 求出一个相应的N 使当n N时 不等式 xn a 成立 在证明极限时 n N之间的逻辑关系如下图所示 xn a n N 定义中的不等式 xn a n N 是指下面一串不等式 都成立 而对 则不要求它们一定成立 数列极限的几何意义 使得N项以后的所有项 都落在a点的 邻域 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内 同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小 呈现出一种稳定的状态 这种稳定的状态就是人们所称谓的 收敛 OK N找到了 n N 目的 NO 有些点在条形域外面 数列极限的演示 N 数列极限的演示 e越来越小 N越来越大 数列极限的定义未给出求极限的方法 例1 证 所以 注意 分析 例1 证明 下页 0 N N 当n N时 有 xn a 利用定义验证数列极限 有时遇到的不等式 xn a 不易考虑 往往采用把 xn a 放大的方法 若能放大到较简单的式子 就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N 放大的原则 放大后的式子较简单 放大后的式子以0为极限 例2证明 证明 则当n N时 有 例3 证明分析 要使 为简化 限定n只要证 当n N时有由定义适当予先限定n n 是允许的 但最后取N时要保证n n 例4 证明 K为正实数 证 由于所以对任意 0 取N 当n N时 便有 例5 证 所以 说明 常数列的极限等于同一常数 小结 用定义证数列极限存在时 关键是任意给定寻找N 但不必要求最小的N 例6 证 例7 证 由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤 2适当放大 通常放大成 的形式 求出需要的 1化简 3解 总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式 关键的追求有两点 一是把隐性表达式变成显性表达式 在重锁迷雾中看清庐山真面目 二是抓住主要矛盾 舍去次要矛盾 要取舍合理 不能放大得过份 四收敛的否定 数列 发散 五数列极限的记註 1满足条件 的数列 2 改变或去掉数列的有限项 不影响数列的收敛性和极限 重排不改变数列敛散性 3数列极限的等价定义 对 对任正整数 六无穷小数列 定义极限为0的数列称为无穷小量 无穷小量是指一个极限概念 趋向常数0 命题1 的极限为n 是无穷小量 变量有极限 的充要条件为它可分解为