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文档简介

知识点7 用正交矩阵使对称矩阵对角化 一 施密特正交化方法 设 是线性无关向量组 如何将该向量组 单位正交化 1 正交化 令 上述方法称为施密特 Schmidt 正交化法 2 单位化 令 则可得到与 等价的单位正交组 这个过程称为单位正交化过程 上述两个步骤次序不可交换 例1已知向量组 线性无关 试将其化为标准正交组 解第一步 根据施密特正交化方法将向量组正交化 取 所得的 即是与 等价的正交向量组 第二步 再单位化 由于 所以令 则 为所求单位正交组 二 用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤 1 求出特征方程 的全部实特征值 2 对每一个 重的特征值 解齐次线性方程组 得到 个线性无关的特征向量 3 利用施密特正交化方法 把属于 的 个线性 无关的特征向量正交化 再单位化 阵 的列向量 则 为所求正交矩阵 5 为对角矩阵 其主对角线上的元素为A 的全部特征值 它的排列顺序与 中正交单位 向量的排列顺序相对应 4 将总共得到的 个单位正交特征向量作为矩 例2用正交矩阵将对角化 解矩阵 的特征值为 对应的特征向量为 如何求A的特征值与特征向量 利用施密特正交化方法将 与 正交化 得 再将单位化 的模各是多少 再单位化 得 将 单位化 得 以单位正交向量 为列得正交矩阵 使得 特征值与特征向量应对应 对角阵 小结 施密特正交化方法 用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤
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