基于MATLAB的蒙特卡洛方法对可靠度的计算.doc

基基于于 M MA AT TL LA AB B 的的蒙蒙特特卡卡洛洛方方法法对对可可靠靠度度的的计计算算 可靠性工程 大作业 2 目录目录 目录目录 2 摘要摘要 3 绪论绪论 4 一 编写一 编写 MONTE CARLO 模拟程序模拟程序 5 二 关于两个服从正态分布的可靠性验证二 关于两个服从正态分布的可靠性验证 8 三 非正态分布的验证三 非正态分布的验证 10 四 总结四 总结 11 参考文献参考文献 12 3 摘要摘要 对于简单的概率计算 我们可以用离散或者连续的概率分布模型进行求解 但是对于复杂的模型的近似解的求解 蒙特卡洛方法是一种非常方便的方法 蒙 特卡洛方法将最复杂的计算部分交给了电机计算机来完成 极大的方便了我们的 求解过程 本文主要是用 MATLAB 编写蒙特卡洛的模拟程序 然后分别验证两个正态分 布的模型和两个非正态分布的模型 非正态分布的模型中的随机变量序列都是独 立同分布的 这样我们可以方便的用列维 林德伯格中心极限定理进行处理 关键字关键字 复杂模型 蒙特卡洛 复杂模型 蒙特卡洛 MATLABMATLAB 正太分布 独立同分布的非正 正太分布 独立同分布的非正 态模型 列维态模型 列维 林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理 4 绪论绪论 计算机技术的发展 促进了蒙特卡洛方法的推广 普及以及完善等 蒙特卡 洛方法诞生之初是不被重视的 因为当时的计算机技术没有达到与之匹配的程度 蒙特卡洛模拟也称为随机模拟方法 或随机抽样技术 它是一种以概率论和 数理统计为基础 通过对随机变量的统计实验 随机模拟来求解问题近似解的数 值方法 它的主要思想是 为了求解数学 物理 化学及工程问题 建立一个概 率模型或随机过程 使它的参数等于问解 然后通过对模型或过程的观察或抽样 来计算所求参数的统计特征 如均值 概率等 作为待解问题的数值解 最后 给出所求解的近似值 而解的精度可用估计值的方差来表示 蒙卡洛模拟的步骤 是 首先建立简单而又便于实现的概率分布模型 使分布模型的某些特征 如模 型的概率分布或数学期望 恰好是所求问题的解 然后根据概率分布模型的特点 和计算的需要改进模型 以便减少方差 降低费用 提高计算效率 再对分布模 型进行随机模拟 其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生 随机变量样本的随机抽样方法 最后建立各种统计量的估计 获得所求解的统计 估计值及其方差 蒙特卡洛模拟方法可分为直接蒙特卡洛模拟 间接蒙特卡洛模 拟和蒙特卡洛积分 1 直接蒙特卡洛模拟采用随机数来模拟本身具有复杂随机过程的效应 该方 法是按照实际问题所遵循的概率统计规律 用计算机进行直接的抽样 然后计算 其统计参数 直接蒙卡洛模拟法能充分体现蒙特卡洛方法的特殊性和优越性 因 而在物理中得到了广泛的应用 该方法也就是通常所说的 计算机实验 2 间接蒙特卡洛模拟是人为地构造出一个合适的概率模型 依照该模型进行 大量的统计实验 使它的某些统计参数恰好是待求问题的解 Buffon 投针实验 就是运用间接蒙特卡洛模拟来求解 3 蒙特卡洛积分是利用随机数系列计算积分的方法 积分维数越高 效率越 高 定积分的计算是蒙特卡洛方法被引入计算数学的开端 这里以定积分的计算 说明其处理确定性问题的方法 如计算定积分 dxxfks 1 0 1 0 xf 此时 求定积分亦即求边长为 1 的正方形中一个曲边梯形的面积问题 如图 2 所示 可以随机地向正方形内投点 然后统计落在曲线下的点数M 当总的投点 N充分大时 NkM 就近似等于积分值s 5 6 一 编写一 编写 MonteMonte CarloCarlo 模拟程序模拟程序 1 模型的建立 本章节根据抛掷骰子编制 Monte Carlo 模拟程序 验证各点出现的概率均为 1 6 2 模拟流程图绘制 初始化 i i 1 K K 1K 2K 3K 4K 5K 6 K1 1K2 1K3 1K4 1K5 1K6 1 i 1000000 P1P2P3P4P5P6 Y N 图 1 1 流程图 3 Monte Carlo 程序编写 Monte Carlo 模拟程序 Matlab clear N 1000000 7 K 1 0 K 2 0 K 3 0 K 4 0 K 5 0 K 6 0 K randi 6 N 1 for i 1 N if K i 1 1 K 1 K 1 1 end if K i 1 2 K 2 K 2 1 end if K i 1 3 K 3 K 3 1 end if K i 1 4 K 4 K 4 1 end if K i 1 5 K 5 K 5 1 end if K i 1 6 K 6 K 6 1 end end P 1 K 1 N 8 P 2 K 2 N P 3 K 3 N P 4 K 4 N P 5 K 5 N P 6 K 6 N hist K 6 4 模拟结果及结论 Monte Carlo 模拟得到 P 1 16 639 P 2 16 605 P 3 16 712 P 4 16 710 P 5 16 625 P 6 16 710 各项约为总数的 1 6 符合理论情况 通过模拟可以得到分布直方图 图 1 2 123456 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 104 图 1 2 分布直方图 9 二 关于两个服从正态分布的可靠性验证二 关于两个服从正态分布的可靠性验证 机械结构的可靠性设计中的应力 强度干涉理论的理论计算和采用蒙的卡罗方 法对其进行验证 MATLAB 自带有产生正态分布的随机数 所以我们用 MATLAB 对 N 100000 实验次数进行验证 计算次数为 3 次 理论计算 首先根据可靠度 R 0 999 可得可靠度系数 Z 3 191 然后我们确定应力 XL 正态分布 的参数 均值 22 LS LS 200 方差 5776 然后再确定强度 XS 正太分布 的参数 均值 L 2 L 500 方差 3062 71 S 2 S 流程图的绘制 初始化 Z S L i i 1 Z 0 n n 1 i0 P j P j 1 end end R j P j N end 11 三 非正态分布的验证三 非正态分布的验证 对于非正态分布的强度 应力随机变量的可靠度计算 我们再 MATLAB 上用 蒙的卡罗方法来验证 验证时我们取样本值 n 100000 分别验证强度服从期望 为 10 及 指数分布 x 0 时 概率密度为 0 和应力服从期望为 5 及 10 1 指数分布 x0 p j p j 1 end end R j p j n end 12 四 四 总结总结 根据强度 应力干涉模型求解系统的可靠度 对于强度和应力都服从正态分布 的干涉模型 查表计算法和蒙的卡