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常考问题4导数的综合应用 真题感悟 考题分析 1 求m的值 2 假设网校的员工工资 办公等所有开销折合为每套题2元 只考虑销售出的套数 试确定销售价格x的值 使网校每日销售套题所获得的利润最大 保留一位小数 规律方法 在利用导数求实际问题中的最大值和最小值时 不仅要注意函数模型中的定义域 还要注意实际问题的意义 不符合的解要舍去 训练1 2011 江苏卷 请你给某厂商设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上 且是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 1 若厂商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 2 若厂商要求包装盒的体积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 热点二利用导数解决不等式的有关问题 例2 2013 新课标全国 卷 已知函数f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线y f x 和曲线y g x 都过点p 0 2 且在点p处有相同的切线y 4x 2 1 求a b c d的值 2 若x 2时 f x kg x 求k的取值范围 解 1 因为曲线y f x 和曲线y g x 都过点p 0 2 所以b d 2 因为f x 2x a 故f 0 a 4 g x ex cx d c 故g 0 2 c 4 故c 2 从而a 4 b 2 c 2 d 2 规律方法 涉及不等式证明或恒成立问题 常依据题目特征 恰当构建函数 利用导数研究函数性质 转化为求函数的最值 极值问题 在转化过程中 一定要注意等价性 对于含参数的不等式 注意分离参数与分类讨论 必要时 可作出函数图象草图 借助几何直观分析转化 2 证明当a 1时 f x lnx x 3 所以f 1 2 由 1 知f x lnx x 3在 1 上单调递增 所以当x 1 时 f x f 1 即f x 2 所以f x 2 0 规律方法 1 本题第 1 问 利用了函数单调的充分条件 若f x 0 则f x 单调递增 若f x 0 则f x 单调递减 求出函数的单调区间 而对于函数的最值需谨记函数在闭区间上一定存在最值 在开区间上函数不一定存在最值 若存在 一定是极值 2
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