（应用数学专业论文）高速公路交通流量数学模型与分析.pdf

中文摘要 高速公路交通流量迅猛发展，为了有效地解决交通拥挤、实施监控预报以及 获得收费站服务水平状况，就要对流量数据建模分析在高速公路业务研究中，时 间序列和排队论都是常用的理论工具时间序列随机模型的一个本质特征是相邻 观测值的依赖性，根据这种依赖性进行分析以达到准确描述数据的目的并做出短 期预报随机服务理论主要研究一类服务系统由于随机因素( 如顾客到达、对顾 客的服务时间) 的影响而产生的拥挤( 排队) 现象一般情况下，选用的排队模型 为m m l 或m m k ，这种排队系统由于具有马尔可夫特性而使得计算非常 简单事实证明这种假设不符合高速公路的交通流数据特性 本文运用时间序列理论和排队论，遵循“数学分析理论推导数据实 证”的研究路线，对高速公路交通流数据进行了有意义的研究，主要工作有： ( 1 ) 交通流数据作为时间序列是动态的、随机的，与时间和季节有着显著的 关系，将交通流量看作一单变量时间序列，具有明显的周期性和季节性将s a r i m a 季节模型应用于交通流的建模分析中，以统计软件s - p l u s 作为工具，建立的模型 准确地描述了高速公路及收费站的流量状况，并以置信度d ( 口= o 9 5 ) 做出短期 预报 ( 2 ) 高速公路上行驶的车辆依次到达收费站接受服务构成了一个服务系统， 本论文数据采集自单一服务台的收费站，车辆到达时服务台若有车辆正在缴费则 顺次排在后面等候，否则立即接受服务一般情况下，选用的排队模型为m m 1 但是由于前面对流量建模分析得出车辆到达与时间有关，因此这种排队系统不符 合高速公路的交通流数据本论文采用g m 1 o o 排队系统分析，即顾客到达过 程是一般随机过程，仅假定到达间隔相互独立，服从相同的一般分布a ( t ) ，其余假 设与m m 1 排队系统相同采用嵌入马尔可夫链的方法对该排队系统进行分析 计算并得出相应数量指标，从而给出高速公路收费站服务水平状况 论文旨在应用数学工其为高速公路流量及服务水平提出一整套分析方法和 应用程序，从而为更好的建设高速公路提供适用的参数指标及策略依据 关键词：时间序列s a r i m a 模型随机服务系统g m 1 。o 排队系统 a b s t r a c t w i t hr a p i dd e v e l o p m e n to fh i g h w a yt r a f f i c ，i no r d e rt os e t t l et r a f f i cj a m ，m o n i t o r a n dc o n t r o l ，g e tt o l ls t a t i o ns e r v i c el e v e lc o n d i t i o n ，w es h o u l dm o d e l i n gt r a f f i cd a t a a n da n a l y s i s i nt h er e s e a r c ho fh i g h w a y so p e r a t i o n ，b o t ho f t i m es e r i e sa n dq u e u e t h e o r ya r ec o - - o n t o o l s o n ee s s e n c ec h a r a c t e ro ft i m es e r i e si st h ed e n p e n d e n c eo f p r o x i m a t ed a t a a n a l y s i z i n g o nt h eb a s i so ft h i sd e p e n d e n c e ，w ec a ne x a c t l yd e s c r i b e h i g h w a yt r a f f i ca n dg e ts h o r t t e r mf o r e c a s t s t o c h a s t i cs y s t e mi sm a i n l ya p p l i e di n r e s e a r c ho fak i n do fs t o c h a s t i cs e r v i c es y s t e m sc o n g e s t i o nr e s u l t i n gf r o ma f f i u e n c e o fs o m es t o c h a s t i cf a c t o r s ，s u c ha sc l i e n ta r r i v ea n ds e r v i c et i m e a p p l y i n gt i m es e r i e s a n a l y s i sm e t h o d t ot h et r a f f i co fas e c t i o no fh i g h w a ya n dt o l ls t a t i o n ，w ef i n db o t ho f t h e ma c c o r dw i t hs a r i m am o d e l a l s o w em o d e l i n gt h en u m b e r so fv e h i c l e s a r r i v i n ga tt h et o l l s t a t i o na n dg e tt h ef o r e c a s t f i n a l l yb a s e do ns t o c h a s t i cs e r v i c e s y s t e m ，w ee s t a b l i s hg m 1 o oq u e u e m o d e lf o rt h eh i g h w a y st o l ls t a t i o na n dm a k e u s eo fc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r si nt h es t s t i o n a r yc o n d i t i o nt oa n a l y z es e r v i c el e v e lo ft h e t o l ls t a t i o n t h i sp a p e ra p p l i e dt i m es e r i e sm e t h o da n dq u e u et h e o r yt oa n a l y s e ，f o l l o w i n ga r e s e a r c hr o u t e m a t h e m a t i c s a n a l y s i s t h e o r yr e a s o n i n g d a t a d e m o n s t r a t i o n ， c a r r yo u ts o m es i g n i f i c a n tw o r k a sf o l l o w s ： 1 c o n s i d e r i n gt r a f f i cd a t a a sat i m es e r i e s ，i ti sd y n a m i ca n ds t o c h a s t i c i th a sd i s t i n c t d i f f e r e n c ef r o mt i m ea n ds e a s o n ，s oi th a so b v i o u sp e r i o d i c i t y w em a k eu s eo f s a r i m am o d e lt om o d e l i n gt r a f f i cd a t aa n da n a l y s i si t sc h a r a c t e r t h em o d e l e x c e t l y d e p i c t sh i g h w a yt r a f f i c a n dt o l ls t a t i o nt r a f f i c ，a n dg i v es h o r t t i m ef o r e c a s tw h i c h c o n f i d e n c ei s 口( 口= o 9 5 ) 2 v e h i c l ea r r i v ea th i g h w a y st o l ls t a t i o na n dr e c e i v es e r v i c e ，w h i c hf o r mas t o c h a s t i c s e r v i c es y s t e m n l ed a t ao ft h i sp a p e rc o m e sf r o mt h et o l ls t a t i o no fs i n g l es e r v i c e d e s k v e h i c l ew i l lr e c e i v es e r v i c ea to n c ei fs e r v i c ed e s ki se m p t y , o t h e r w i s ei tw i l lg o i n t oaq u e u ea n dw a i t w ec a na p p l yq u e u et h e o r yt oa n a l y z i n gt o l ls t a t i o ns e r v i c e l e v e l c o m m o n l y , i tc a nb e c h o s e nm m 1a s q u e u em o d e l s w h i c hs u p p o s e p o i s s o na r r i v ea n ds e r v i c et i m eo b e ye x p o n e n td i s t r i b u t e ，i n f o r m a t i o nd e s k sn u m b e r i s1 t h ec o m p u t a t i o ni ss i m p l eb e c a u s eo fm a r k o vc h a r a c t e r b u th i g h w a yt r a f f i ci s n o tf i tf o rt h i ss u p p o s eb e c a u s et h en u m b e ro fv e h i c l ea r r i v i n gi sd e p e n d e n to nt i m e s ow e s u p p o s ea r r i v a li n t e r v a li n d e p e n d e n t ，o b e y i n gs a m eg e n e r i cd i s t r i b u t i o n o t h e r h y p o t h e s i si s i nc o m m o nw i t hm m 1 s y s t e m s ow ee s t a b l i s hg m 1 o oq u e u e m o d e lf o rt h eh i g h w a y st o l ls t a t i o na n dm a k eu s eo fc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r si nt h e s t a t i o n a r yc o n d i t i o n t oa n a l y z es e r v i c el e v e lo ft h et o l ls t a t i o n k e yw o r d s ：t i m e s e r i e s ，s a r i m am o d e l ，s t o c h a s t i cs y s t e m ， g m 1 q u e u e i n gs y s t e m 独刨性声明 本人声明掰呈交熬学整论文是本久在导褥指导下透毒亍弱臻究工幸警稻取褥筠 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含艇他人已经发表或 撰写避豹磅突戏票，瞧不毽含必获褥鑫鎏蠡壁或英毽教鸯橇撞款学位或 委书 而使用过的材料与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了襄确黪说骥并表示了漆意。 学位论文作者签名：签字日期：年 月同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫凌基茎有关保留、使用学位论文的规滗 特授权鑫逮基鲎可以将学位论文躬全部或部分内凑编入蠢关数撼库进行检 索，并采用影印、缩印娥扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校岛 国家裔关部门或机构送交论文的复印传和磁擞。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 签字西期：年月霞 签字目期：沙) 年f 。月f 7 醴 f 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 裔速公路概述 第一寒缝论 陡着现代交逶工蒸翡发袋，交通稀耩越来懑严重琏彩嫡着现代入鹩生活交道 的过饱和促使人们去歼辟一些效率更黼的道路，以此来改变这种拥挤的交通状况， 逶应交逶豹发鼹，这藏楚最祷蠡馨高速公路离遥公路运输是凌筏纯貔运输手段，宅 所具有的“方便灵活、快速安企、可宓现门到门送达”等特点使其在中长途运输 孛其窝独特臻势，氇袋为其它遴簸方式豹静充鞠延 搴，双全臻魏霞看，窀翡重要毪 正日赫受到璧视 遗豢，毫速公爨是相对予蘩遽遵黪瓣矮罨，楚撂专供汽车糍速行驶瓣公路，窀 一般能适应8 0 k m h 或更高的速度要求线路顺适，纵坡较小，路面有四率道或网车 道以上豹宽度，中闽没骞分隔带，采媛游毒混凝或零淀渥凝童毫级路嚣，在必矮 处设坚韧的路栏：为保证行车的安全，威有完善的标志、标线，有必要的髓控设施及 照明设备，禁止萼亍人秘 # 枫动擎在路上行使，与铁路或其它公鼹辐交对聚爆立体交 叉，行人跨越则用跨越线或地道通过 因此，高速公路的般特缎为口】： ( 1 ) 实行交通限制：主要攒对车辆_ 羊日车速加以限制； ( 2 ) 实行分隔行驶； ( 3 1 严格掩毹嵩入； ( 4 ) 高标准的线形； ( 5 ) 鑫耱管瑾、控铡、毂费、服务鞠安全谈施多； ( 6 ) 密集型的管理， 我毽静赢遴公露建设起步较浚2 0 键纪8 0 年 弋中麓溢来，蘸着我誉敬革开放、 国民缀济的发展和综合国力的增强，先是修建了中国大陆第一祭高速公路一沪舞 高速公鼹，嚣蜃又建残了淀大、宁移、沪宁、势杭等离速公路，t 9 9 8 年痰蹇速公路 通车里程已达6 2 5 7 k m t 4 1 名省市高速公路的建成及使用都在近十年多求随着经济 豹发展嚣飞速发展，多令秀发送在它们攥边建立舞取褥辉煌成就。 进入2 l 世纪，国家将继续加快公路建设，建设适应公路客、货运量增长要求和 国民缀济可持续发展懿要豹申嚣公路逡输系统，实现公鼹运输现钱位罴交通遮埝 部门的重要任务 必津人学颁十学能论文第一章绪论 1 2 高速公路的发展及面临的问题 1 2 。1 经济发展伴随交通拥挤 随糟经济发展和交流的日栽频繁，黼速公路交通流凝逐年递增经济搞活必 然要俘隧交逶逶畅，焉懿今戆毫遮公路大多早已不堞重受，汽车与货车的数量增长 速度超过了道路的修建速度，交通阻塞总是存在，从而导致需要修建更多的道路 例如在受国，越聪共花了3 0 年修建州际态速公照网有关交通滤理论方藤领头的 美国专家h a n im a h r n a s s a n i 是这样描述的：“突然间，从自由畅通的交通流变成了 停停走走的状态，这是我们时代的难题之一” 早脊报道索滓塘高速公路融不适应车流增长的需要，扩容融成定局，但是其 体扩容方案短时期内很雉确定高速公路的扩建意味着增加投资和占用地，毅 建高速公路重薪确定了魄区发麟模式，沿线隧着商韭机构和屠辩的增加，交通黻 塞与土地费用也将增加，从而导致扩展现有高速路以提简道路通行能力的费用迅 速增掘穗是鲡莱对离逮潞流量魄和或鄹将瓷秘嚣没能及薅扩建、改建又会造成 交通阻塞、车满为患、搿故频发 交遴攘挤造成旅行瓣闯无法孩滚、运行残零增热、攀敲率褥离、麓源浪费帮 环境污染加剧等不期望的影响，造成巨大的经济损失，严熏污染了环境据统计， 荚嚣城枣蔑逮公路1 9 8 4 年造戏懿壹接按失( 延误帮能鬏) 基蔫遮9 2 0 钇荚元，预 计到2 0 0 5 年将达到5 0 4 8 亿美元目前我豳部分高速公路已开始出现自然拥挤( 常 发瞧麴揍) ，旋如上海内鞒毫絮抉速于道在1 9 9 6 年下半筝霹叛嚣浚量已这7 万辅 i 3 1 为了解决交通阻塞闯题。除了修建、扩建必要的道路外，人们还尝试了很多毅 的方法u 柬解决问题饲如，改进道路信号控制，采用道路w 变信号，在交通高峰期 遇过道路改线增加进出车道，成立交通控制中心米监控与显示公路网的全部交邋 情况这在一定獠度上缓懈了交通拥挤状况。可愚在许多地方，这艚方法实施的规 则是针对预先建立的日常重复的交通模式而制定的这些方法并不能对交通阻塞 做出动态的反映，也不畿棂据其镩情况迅速改变交暹处瑾准粥 1 2 2 交通监控与电子收费 同时，随着社会经济发展和入民生活水平静提高，人们对交道涎输在簸量、时 i 训和安全方面提出了更高要求，物流和客流已经从简单的”运得了”向”运得好”方 向发袋缝着公路攀程酌不甑延 率和瑶妖，覆盖全蹬的公路主曹黎逐渐形成、翔巢 不能及时建设一个覆盖全国高速公路的自动监控系统车辆就像茫茫大海中f | 勺一 天津人学硕七学位论文第一章绪论 条船，货主无法得知货物的运送情况：运输公司无法得知车辆的行驶状态以及货 物配载情况，更无法动态地指挥和调度车辆；司机不能及时得到公司的调度信息， 无法欲知行程的路况等等所以，建设覆盖全国高速公路的自动监控系统势在必 行 高速公路监控系统是实现公路运输现代化管理与控制，保证高速公路达到安 全、高速、舒适、通行车流量大的重要手段在目前建设的高速公路中，采用了一 些现有的技术包括检测器监视、工业监视、紧急电话和巡逻车等，在不同程度上 保证了高速公路监控和管理的需求目前的主要应用包括收集和提供交通情报： 对交通标志、可变信息显示和汽车流量实行控制：联络相关部门及时发现、通报、 并紧急处理交通事故，清除路障等；对道路、道路设施及监控系统和系统设备进行 维护管理 随着社会经济的发展，这种局限于地区或路段范围内的监控系统已不能满足 社会对高速公路监控系统的需要，人们迫切需要一种能够为高速公路运输提供服 务的智能化自动监控系统，需要一种横跨全国高速公路路段的综合性的自动监控 系统 高速公路自动监控系统由国家高速公路监控中心、省高速公路监控中心以及 沿高速公路设立的高速公路监控站点组成 监控站负责对其所覆盖路段的监控信息进行收集，并根据分中心和中心的指 令对行驶的车辆发出调度、安全、查询、路况等信息沿途的车辆可以根据接收 来自监控站的指令发出响应信息，同时可以按照预先设置的程序定时或自动发出 信息，这些信息包括g p s 定位信息、车辆状况信息、报警信息、应答信息、路况 查询、与公司或用户的联络信息等监控站将信息存储在数据库中，并将监控信息 转发到分中心，对报警及应急事件信息进行及时处理 分中心负责对来自省内高速公路沿线各个监控站的信息进行收集和分析_ 哿 相关信息存储在数据库中，并在电子地图上显示车辆位置、车辆状况、车辆报警 及路况等信息，将有关的监控信息转发到国家高速公路监控中心分中心通过计算 机网络传递用户与车辆之问的联络信息，并根据车辆位置将用户发往车辆的查 询、指令和联络信息通过监控站发给相关的车辆， 国家高速公路监控中心负责收集来自各省分中心的有关各个高速公路路段 的监控信息，将信息存贮在数据库中提供有关部门分析处理，在电子地图上显示全 国高速公路的监控情况，可以随时调出某条高速公路的车辆、路况、告警等信息 并进行显示中心可以通过分中心向各条高速公路发出指令、安全、调度等信息， 并转发用户与车辆的联络信息 高速公路联网收费是一项新举措，它适应了高速公路网络构成迅速发展的需 要，打破了高速公路分割式管理的弊端，提高了高速公路的管理水平和使用效率， 天津入学硕十学位论文第一章绪论 实现了高速公路网络化管理和信息化管理同时，联网路段采用现代通信技术、计 算机技术、控制技术和图像处理技术等高新技术，改变了以往传统的交通运输管 理方式，可以有效监督收费过程和收费数据，杜绝通行费漏收和逃费现象 据悉，唐津高速公路天津南段即将建成通车，使得唐津高速公路、津晋高速公 路( 天津东段) 、京沪高速公路代用线( 津静一九宣闸) 三条高速公路互相连接， 首批实现了联网收费随着首批三条高速的联网，今后再上高速时，司机只需在收 费站领一张i c 卡，下高速时就只需交一次费用，中途不需停车按照有关规划，在 2 0 1 0 年左右全市境内的高速公路都将实现联网收费 以前，同一条高速公路的不同路段由不同公司管理，司机经常要在一条高速上 分几次停车交费，如即将实现联网收费的三条高速公路全长超过1 8 0 公里，共涉及 收费站1 9 座现在不仅可以实现全程高速，且中途不需停车，只需交费一次，充分体 现了高速公路高效、快捷的优势 1 2 3 仍然存在的问题及现有研究结果 目前，虽然各大省市交通监控系统已经被广泛应用监控中心大屏幕显示路 况信息，路段和收费站都设有线圈根据不同车型记录过往车流量，计算机系统实 时收到线圈记录的数据并存入数据库但是由于各种原因这些数据大多被存储起 来而缺乏有效地分析利用，一些监控中心也不能根据动态数据的实时变化即时得 到数据的分析结果 要想提出有效的管理方案，从根本上解决交通阻塞问题，需要对现有高速公 路监控中心获得的数据根据不同地区的实际情况进行研究，分析高速公路运行状 况和可控因素，然后才能提出可行性方案进行优化控制，进而充分利用监控中心 获得的数据进行实时控制而交通流量作为衡量交通状况和畅通能力的一个重要 参数，己被广为研究对于高速公路交通监测系统，建立足够精确的交通流数学模 型是一项重要的基础工作，模型可用于交通分析和预测、道路及交通设施的设计、 公路效益的评价及控制策略涉及或仿真试验等方面 交通流模型有微观模型和宏观模型、稳念与动态之分高速公路交通监控( 特 别是对饱和交通流的监控) 系统中，主要采用宏观动态模型现在，国内外都以不 同方法和工具对高速公路交通流和收费口通行能力作了一定研究： ( 1 ) 对交通流模型的建立包括以统计学为依掘建立的速度一流量模型”1 ， 动态离散交通流模型1 ； ( 2 ) 对交通流预测包括应用狄色预测法和各种神经网络建立预测交通流 或建立阻塞模型。1 ，根据出行量和吸引量及区间的交通阻抗建立模型 ”1 ，应用时削序列建模预报： 天津人学硕士学健论文第章缝论 0 时，上述方法( 即令样本自协方差函数 翻理论是蛰方差函数凌畦滞兔0 ，p 十q 楚粒蕊籀等，遴嚣求滋链计) 鄹不楚婆也 无效对于q ，0 的情况，我们可以应用凝于新息算法【2 】的简单方法以得到系数比较 学效懿耪估诗，这些 鑫诗方法不鲣最小二黍 砉跨或掇大骰然 砉诗瓣缮稳效，翟楚它 们可以做为计算上述的更有效估计的非线性最优化方法的初慎 如累应用鞭息算法，鄹镬 壬意二除甄过程( 犍爨是a r m a 避程) 钓糖旗g a u s s 似然函数的计算大大简化基于这类简化方法下面讨论关于a r m a 过程参数的极 大似然估斟和嫩小二豢l 砉计。 考虑因果a r m a ( p ，可) 过程 x ，) ， 置= 轰x h + + 或量+ z ，+ + 眈互一。， z ， w n ( o ，盯2 ) ， ( 2 + 2 ) 天津人学硕1 ：学何论文 第二章时间序列的季模型 其中0 。= 1 由因果性，当lz l l 时，l 一珐z 一九z ”o 为避免二意性，假3 仅 l 系数 0 和白噪声方差盯2 都已预处理( 不影响 x ， 的白协方羞函数) ，以保证当iz i 1 时，占( z ) = 1 + 口。z + ，十吼z ”0 首先求参数向量事= ( 氟，一，) 7 ，百= ( 口，一，0 。) 7 和白噪声方差盯2 的极大似然估计 将一步预报及其预报均方误差公式代入g a u s s 似然函数得 l ( 乒，百，仃2 ) = ( 2 石盯) - n 2 ( r 0 - o 一。) _ 。72 e x p - i 2 0 2 ( x 。一启，) 27 0 1 ( 2 2 2 ) 1 - 1 求l n l ( 孑，舀，盯2 ) 对盯2 的偏导数，并注意到启，和r ，与盯2 无关，则可推证出极大似 然估计孑，百，6 - 2 应满足 6 - 2 = f - i s o ，莎) ， ( 2 2 3 ) 其中 s ( 孑，百) = ( x 厂足，y r h ， ( 2 2 4 ) j ，l 而孑，百是最小4 l ( 2 2 5 ) 式的多和百的估计， ，( 乒，百) = l n ( n 。s ( 万，舀) ) + ”。1 l n o 一。 ( 2 2 5 ) 1 = 1 ，( 孑，舀) 称为“约化似然函数”可利用新息算法搜寻使，( 万，莎) 达到最小的乒和百的 值，这就是孑和舀的极大似然估计，还可由式( 2 2 3 ) 求得盯2 的极大似然估计 2 3 季节时间序列模型 通常，在一个序列中，若经过s 个基本时间恻隔后呈现出相似性，我们就说序 列表现出以s 为周期的周期特性下面以高速公路交通流为例说明s a r l m a 模型 假设由一个显示出季节特性且周期为已知的序列，我们把数据安排成含s 列的表 格形式例如表2 1 ，在这个例子中s = 2 4 ，我们将在第三章给出周期s 的计算方法 表2 一l 设有r 月份的数掘 小时 天 0 ：0 0 1 ：0 0 2 3 ：0 0 lx i 局丑4 2 丘s* 6托g ： ； l l： r置+ 2 ”芷+ 2 “r j 2 4 i ， 天津大学硕士学位论文第二章时间序列的季1 ，模趔 表2 - l 的安排是为了强谪对于周期性数攒重要的时丽间隔不是一个，而燕两 个对于这个例子来说，这两个时间间隔对应予以天和小时为单位的时刻具体说 来，对于：( a ) 在特定一天中连续时亥l 静瘸溅馥，( b ) 在连续若干天中弼时刻的 观测值，我们希望在这魑数据之间都有联系发生，可以料想同一列的观测和同一行 静蕊涮都有稳 菇性。 假设第，个观测假曲就是某天l ：0 0 的值溅们可以通过如下形式的模型将该 鼹测稳与浚簌h 0 0 豹溅滔筐联系超来旺 巾5 ) v ，d x ，= o ( 嚣) z 。( 2 3 1 ) 这垂s 鼯溪翔，v ，= l b ，驴) 察9 ( 扩) 分裂跫静尹次彝q 次多磺式置滚楚 平稳和可逆条件d 为差分算予与此类似，对于个周期的2 4 小时中锋整点处 都霹戳这样骰并显，骰浚在这蹙整熹攘鍪孛群含参数辔帮8 辩每令熬熹都远酝 相等，这种假设也是合理的进一步地，实际经验知这些模型中的误差分量 ；。：。，逶索举是不撩关豹，瓣茂雩l 入第二拿模整 妒( b ) v “z ，= 口( 嚣) 口，( 2 3 2 ) 其中，a t 是自臻声过程，( 嚣) 帮o ( b ) 分涮是嚣懿p 次黎譬次多项式，置满延孚稳器 可逆条件，并有v = l b 姆馨3 2 ) 技入牮。3 。1 ) ，便褥弱觳静蘩获季节模鍪联 定义( s a r i m a ( p ，d ，碍) ( p ，d ，q ) s 过程) 设d 和d 是非负熬数，如果差分方程 & r = ( 1 一印4 ( 1 一b 5 ) 置蹙因采a r m a 过程 妒，( 嚣) 中，( b 5 ) 誓= ( 嚣) o 口( 嚣) 互 z 。) w n ( 0 , c , 2 ) ， ( 2 ，3 3 ) 卿称 搿 是周期为s 的季节a r i m a ( p ，d ，q ) ( p ，d ，q ) s 过程，其中 妒z ) = l 一珐z 一一，：，审( z ) = 1 一嘞 z 一。z 9 ，2 。3 。4 ) o ( z ) = l + q z + 十o q z 4 ，o ( z ) = 1 十o i z + 0 d z 口， ( 2 3 5 ) 过程 l 楚因果a r m a 过程豹充分必要条侉是童| ；罄l 对，( z ) 辛0 整 o ( z ) 毋0 在实际应用中，d 很少大于1 而p 和q 一般小于3 黎积季节模型可黻缀努魏接述躅瓣特缝熬辩阗露罗l ，下章鹣建模分板也涯实 了这一点 2 4 季节时间序列建模和预报 2 4 1 拳节模型的识别 粼定一个群列是磷是季节模型，一般可以先出实际经验推断它是否有周期健 天津大学硕士学位论文 第二章时问序列的季1 y 模型 然后进行验证例如采用b o x j e n k i n s 方法，也就是立足于考查随机序列的样本自 相关、偏相关函数如果序列的样本自相关、偏相关函数，二者即不拖尾，也不截尾， 而且不存在衰减趋势，相反地，在相应于周期j 整数倍数的点上，自相关( 或偏相关) 函数出现绝对值相当大的峰值及振荡变化，就可以判断数据序列应用乘积性季节 模型描述此外，由于季节模型最显著的特征是周期性，因此最直接简便的判断方 法是利用周期图 1 府i 定义( 石c ”的周期图)设j e c ”，则工在频率，= 竺，只处的周期图纵 。 玎 坐标 ) 以x 的离散f o u r i e r 变换 a ， 定义为 ， ，) 三h12 4 x ，e ，) 1 2 = h 。1l p “q1 2 ( 2 4 1 ) t = l 由定义可知，周期图将i l 工1 1 2 分解为与f o u r i e r 频率国，只有关的分量之和 利用s - p l u s 软件画出周期图，如果呈现周期性，说明序列具有周期性，应建立季节 模型，同时还可得到最小正周期 下面由数据的样本自相关( 系数) 函数辨识s a r i m a 模型首先，求d 和d 使 差分后数据 z = ( 1 一b ) 4 ( 1 一b 5 ) ”x ，( 2 , 4 2 ) 满足平稳性第二步，检验 f ) 在时滞( 是s 的倍数) 的样本自相关( 系数) 函数和 样本偏自相关( 系数) 函数，以辨识模型的阶p 和q 设p ( ) 是 z 的样本自相关 ( 系数) 函数，则应选择户和q 使其满足声( b ) ，k = 1 , 2 ，与删m a ( p ，q ) 的自相关 ( 系数) 函数相一致最后，在所有备选模型中，用a i c 准则和拟合优度检验来确定 所拟合的最佳s a r i m a 模型 一般情况下，对于模型的阶数，本着简约的原则一般只取一阶，组合之后为3 6 种模型，如果都不适合所研究的序列，再取二阶，依此类推 2 4 2 季节模型的参数估计和诊断检验 对于给定的p ，d ，q ，p ，d ，q 值，利用使似然函数达到最大的方法求出参数 石，百，西，西和盯2 的估计，差分r = ( 1 一b ) “( 1 一b ) 4 一是：a r m a ( p + s p ，q + s o ) 过程 其中一些系数是零，另一些系数是( p + p + q + q ) 维向量声7 = ( 乒t ，吊t 百7 ，西7 ) 的 函数对任意固定的，用约化似然函数方法计算关于差分后五。，匕的约化 似然函数z ( 力) 然后最小化，( 声) 求得的极大似然估计，并求得盯2 的极大似然估 计利用s p l u s 软件可计算得这些估计 天津人学硕十学位论文第二章时间序剁的季1 ，模型 2 4 3 季节模堑的建模步骤 1 通过蠲期图鬏谱分掇褥遗痔列熬羯翔s ： 2 根据对迹的趋势分析得到d 和d 的一个估计，：并用a d f 检验确定d 和d 豹蕊。农实际疲援孛，对手季节饯辩阉序列，其蓑分一般不会超过1 陵； 3 对序列“ 进行差分运算，得到一个新的平稳序列； 4 模型识舅确定耀墩a r i m 队模型蜘除数 对于混合模型我们无法明显的判断出它的阶数，而在实际应用中，阶数 p ，q ，p ，q 的便通掌取作o ，1 或2 ，因此对于阶数( 尹，q ) x ( p ，9 的选择范围 可定为对o ，l 或2 的不间组合，但是要求p ，g ，p ，q 的值不能同时为零然后 逶过a l c 准则或b l c 准则，从中选出较好的( 热窜) 只q ) 焦作为模型的除 数： 5 模型储计 用极大似然估计得到模型中所有参数蛾，办，以；g ，0 2 , - - , 或，盯2 ，以， ，：，岛；，岛：，妒的估计值； 6 模型的定阶与考核 通过对模型除数豹比较判别，最终确定对薅超垮强拟翻最为理想豹模型。 2 4 4 拳节模型的预报 2 4 4 1 时间序列的预报 对时间序列建模的最终目的就是利用模型和历史观测值对未来避行预报在 这一部分中将介绍使用已知数据及冀有关性质对未来进行预报的一般方法积预 报的一般程序 如前所述我们对观测值 t ，f = o ，1 ，) 作如下表示： 啦 x ，= 矿，z h ，甄= 1 ， ( 2 ，4 3 ) j = 0 ，b7 = 乞( 霹) 。 1 ，= l 。 另外也可写成 i ，( 厅) = 矿，z ( 2 4 8 ) j t o 并得到h 步预报的m m s e ( 最小均方误差) 子? ( h ) 为 一i 子? ( ) = e ( x ，+ 一毫( a ) ) 2 = 0 - 2 e ； ( 2 4 9 ) 2 4 4 2 基于置信区间的m m s e 预报 在对实际数据的预报中，预报值的偏差程度直接影响着它在实际中的应用，而 资源往往又是有限的，因此采用一定的置信区间来进行预报是十分必要的 设o t 是给定的置信水平，主? ( ) + 是调整过的h 步预报值，既是水平为口的概率 置信限，其表达式为： 竞? ( 矗) 。= 曼，( h ) 孝。，( 2 4 1 0 ) 其中乞为偏差值，曼，( h ) 为m m s e 预报值设q ( h ) 是预报误差，服从正态分布那 么，掌。与口满足关系式 p e ，( h ) s 孝。 = 口， o 5 ；f - 0 、 n ，) ；舔一般稳海连续灞鼗，离簸状态斡璇魂 过程 程磺究枣箨簸弱终辩，有对逐关心蹶窖羲输密过霾装弑。( 磅表示羚，f ) 懿阕送 间内离开系统的顾客数，由于受随机输入过程和随机服务时间的共同作用，对任 绘定静f 。- 0 ，n a 馥亦势一个髓橇交爨，嚣鼗， a 0 搴) ；f 舔泰为一个连续辩闻参 数、离散状态空间的随机过糨 爨然霹予任一靖瓤f ，( ，) = 虬( 必+ n ，( f ) ， ( 4 1 ，1 ) 敬畏帮等待酞长是鬻蕊淹辊鼹务过纛遮营效鬃戆嚣个羹要静数量 雾拣，自然我稻 希望墩出对任一时刻r ，( ，) 的概率分稚和n 。( i ，) 的概率分布+ 藩记n ( t ) 的分柑为 岛( ) = 覆磅= 野 ，糙= 0 , 1 ，2 ， 则随机过程 ( 啦，0 的均德函数即平均队长( 或称为顾客数期望德) 为 l ( t ) = 置【秘) 】= n p 。国， n 嗣毽，设虬0 豹分簿为欺，= 覆虬国： ，裂瑟糗过翟 致器蛰熬平均 函数即平均等待队长可表示为 三p ( 磅= 霹n q 镄。氏( ) h 口 聪踅我们蟪看到出子 f ) 和n 。) 乏瓤存在关系式 4 。1 1 ) ，则我们不磐求出 排队顾客数的穰率分布，而仅翻用系统中顾客数的概率分布就可求出平均等待队 长，对于一般的随机股务过程，燮求出任一瞬时 队长麴概率分糍是极獒匿难的然 而在诲多清形下，服务避程在遮行了定够长的时闻蒿，趋于统计平衡在统计平衡 状态下，服务过程的分审不再隧l l 寸矧变化，且过程轫始所处状悉( 顾客数、排队数) 斡影响也淆失在统计平衡状态下，概率分奄稿上述数麓指标部不再随时两变化+ 因而较易获得 强蘧祝鼹务蓬程理论中爝砖性囊褥( 缀； ) 平麓穗囊都禳重要，襁在多数虑 天津人学硕十学位论文第四章随机服务系统中的一般到达排队系统 用情况中，仅平衡性质怒必须考虑静程统计平蕊获态一f ，极疆 p 。= 1 i m p 。( ，) ，”= 0 ，1 ，2 ， p 2 l i m p ( f ) ，”q 2 0 ，l ，2 ， 存在，此对平均驮长和平均排队长与时刻f 无关，分别用五、三。袋示，朗 l = l i m l ( t ) = 彤。， l ，= l i m l 。( f ) = p 。， n 口 戴终我镪还关心以下几个数量掺耘： ( 1 ) 等待时间与逗留时间 从颁窖羝迭服务系统起煮到缝开始接受服务止遮段对闯稼为颞豢蛔等德瓣 间，记为由于服务过程是随机的，因此，任一顾客的等待时间都是随帆变量+ 等待 对翊怒鬏窖最关心的数量指橼嚣此，程实际廒耀中，誊弱统计平衡条绺下戆等待 时间分布 敬9 ) = p 乞f ，t o 以及平均等待时间 败= e 陵】 来作为衡量随机服务过程运营效果的个重要指标 从颓客到达系统越直到蚀接受服务完成止这段时闽称为顾客的遗塑时蒯，是 然，若以v 表示个顾客的服务时间( 般是髓机变量) ，以r 袋示他的逗留时脚， 则 r = 瓦+ v 自然地，我们也关心统计平衡条 孛下逗蹙对间的分布及其期望德，分别淑为 舻( f ) = p t s f ，t 0 ， w = e t ( 2 ) 忙辅与闲期 从顾客到达空闲暇务机构_ 丌始直至服务机构再一次变成窳闲状惑为止，这段 服务褫擒连续繁忙静时闻段称为忙耨，它也是个隧丰趸交量，冀分布及； | l 望值亦蹩 衡量随机服务过程运髓状况的重要指标 与忙期对应的是溺襄，瑟敝务移l 聿奄掰空静潜闰长发，夯为楚锟交爨+ 在疆务过 程中，忙期和闲期是相曩交替 _ h 现的 t 述吾数量携标与敬长期捧酞长一铎，在攫交程度土墩决予蕤撬避程 ( ，) ；，0 的概率特性 天泮人学硕十学位论文第四章随机服务系统中的一般刹达排队系统 4 2 嵌入马尔可夫链及其鸯关结槊 设蠢为第糟个颓客的到达时刻，莰m 为f 辩麴系统中的颥客数，令 n 。= n ，”l( 4 2 1 ) 表示第站个顾客至l 这系统时看弼已有的颓客数誊不失一般缝竣矗= 0 令r 。= l l 一。( h 1 ) 为相继顾客的到达间隔，曰。表示在r 。期间内服务究的 颓客数，粥显熬应有b 。蔓n 。+ l ，盈 n 。+ l = n 。+ l 一埠 ( 4 2 2 ) 出予黼隔霹淹辕互猿交，量鞭跌穗闲豹一般努京，赠记f ，菇f ，技嚣 p r t = 爿( f ) ( 4 2 3 ) 囊予藤务辩阕是撵数势鸯，蠢磊夔凝交羹织霞与嚣闺翘蕊宥关舔已有多少 顾客无关，因此在求风分布时，可将下标玎去之，于是有 鸯* 鑫 = 只 嚣= b | f = t d a ( t ) = f 争 求得转移概率为 p 。= p n 。= j | 虬= 鸯， f 只 b = f + t 一，) ，( f + 1 ，1 ) 1 0 ，( j + 1 i ) ( 4 ：- s ) l馥( f + l ，) 由p f = 1 ，得p 矿l p f 。1 一p f ， 由式( 4 2 5 ) & 口知，一步转移概率仅与状态i 和_ ，本身有关， 虬；珂= 0 , i ，2 ，) 是 一令齐次马尔w 夫链。 引入符号 b 。= 只 在一个到达闽隔时闽内究戏, 次服务 叫口圳= r 鼍竽幽) ， ( 4 2 6 ) 觚磊褥转移矩阵 天津人学硕十学位论文第四章随机服务系统中的一般剑达排队系统 p = 1 一b ob o 000 1 一轧b ，b 。0 0 1 一b b 2 b ib o 0