八年级数学下册 19.2 一次函数（第5课时）课件 （新版）新人教版.ppt

一次函数及应用 第4课时 问题 要把储水量为2000立方米的水池中的水抽干 现用每小时抽水50立方米的抽水机抽水 写出水池中剩余水量y与抽水时间t 时 之间的函数关系式 并求自变量t的取值范围 分析 t小时抽水50t立方米 从储水量中减去50t 得剩余水量 解 y 2000 50t 从实际问题的意义知 y 0 即2000 50t 0 解得t 40 又t 0 综上 得自变量t的取值范围是0 t 40 1 一次函数 如果y kx b k b 是常数 k 0 那么y叫做x的一次函数 特别地 当b 0时 得y kx k是常数 k 0 y叫做x的正比例函数 练习 列出下列函数关系式 判别其中哪些为一次函数 正比例函数 1 正方形周长p和一边的长a 2 圆的面积s与半径r 3 长s一定时矩形面积y与宽x 4 买15斤梨售价20元 售价y与斤数x 5 定期存100元本金 月利率1 8 本息y与所存月数x 6 水库原存水q立方米 现以每小时a立方米的流量开闸放水 同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水 求这时水库的蓄水量m与时间t的函数关系 1 p 4a 则p为a的一次函数 也是正比例函数 2 s r2 自变量r的次数是二次 所以不是一次函数 也不是正比例函数 3 y ax 自变量x为一次且系数a为长度 不为零 则y是x的一次函数 也是x的正比例函数 4 是一次函数 也是正比例函数 5 y 100 100 1 8 x 自变量x的次数为一次 又含有常数项 则y是x的一次函数但不是正比例函数 6 m q b a t 因为自变量t的次数为一次 当a b时 m是t的一次函数 若q 0时 m是t的正比例函数 若a b时 m是常量函数 不是t的一次函数 注意 1 叙述函数定义时 括号内的部分不能遗漏 它是定义的重要组成部分 要明确常数k b的取值范围 2 要熟悉x的一次函数的定义 能由解析式和文字语言结合转换成文字语言的叙述 即函数的解析式是x的一次二项式 其中x的系数k取非零实数 另一项是常数项b b取任意实数 另外 应明白正比例函数是一次函数的特例 即所有的正比例函数一定是一次函数 而一次函数y kx b中 b 0时这个一次函数不一定是正比例函数 例题 已知y p与x q成正比例 其中p q是常数 1 求证y是x的一次函数 2 如果x 1时 y 15 x 7时 y 1 求这个一次函数的解析式 证明 1 y p与x q成正比例 则y p k x q k为非零常数 整理 得y kx kq p 因为k p q均为常数 所以 kq p 也是常数 且k 0因此y是x的一次函数 2 y是x的一次函数 设y kx b k 0 将x 1 y 15 x 7 y 1代入 得 一次函数的解析式为y 2x 13 一次函数的图象 画出正比例函数y kx k 0 的图象的步骤 先选取两点 通常选点 0 0 与点 1 k 在坐标平面内描点 0 0 与点 1 k 过点 0 0 与点 1 k 画一条直线 这条直线就是正比例函数y kx k 0 的图象 2 正比例函数的性质观察下列两组图象 指出它们所在的象限 以及x与y值的变化情况 一般地 正比例函数y kx k 0 有下列性质 当k 0时 y随x的增大而增大 当k 0时 y随x的增大而减小 1 2 1 2 1 1 y 2x 1 x y y 2x 1 一次函数y kx b有下列性质 当k 0时 y随x的增大而增大 当k 0时 y随x的增大而减小 注意 一次函数y kx b图象 习惯上也称为直线y kx b 一次函数的图象和性质 小结 过 0 b 0 两点的直线 过 0 0 1 k 两点的直线 k 0 k 0 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 一次函数的图象 所有的一次函数的图象都是一条直线 逆向探索 图象是一条直线的函数一定是一次函数吗 不一定 如果这条直线与x轴 y轴都不平行 那么这条直线所对应的函数就一定是一次函数 如果这条直线平行于x轴或与x轴重合 即无论x取什么实数值时 y的值恒为b b为常数 那么这条直线表示的函数是y b 通常叫做常数函数 但不是一次函数 如果这条直线平行于y轴或与y轴重合 类似可求这条直线表示x a 但它不是函数 1 一次函数y kx k的图象大致是 c 2 正比例函数或一次函数 y kx b 的图象如图所示 请确定k b的情况 2 解 图 1 中k 0 b 0 图 2 中k 0 b 0 图 3 中k 0 b 0 图 4 中k 0 b 0 3 已知一次函数y a 2 x 1的图象不经过第三象限 化简 解 由题意知a 2 0即a 2 因而 2 a 3 a 5 2a 4 若一次函数y kx b的图象经过第一 二 四象限 则一次函数y bx k的图象不经过第 象限 a 一 b 二 c 三 d 四 d d 2 一次函数y kx b中k与b的功能是决定直线y kx b中坐标平面内的位置特征 结合图 列表说明如下 反之 根据已知直线 与两条坐标轴都不平行 在坐标平面内的位置 也能确定k与b的取值范围 练习 1 已知一次函数y 4m 1 x m 1 1 m取什么值时 y随x的增大而减小 2 m取什么值时 这条直线与y轴的交点在x轴下方 3 m取什么值时 这条直线不经过第三象限 3 条件即这条直线通过第一 二 四象限或第二 四象限和原点 那么由 解得m 1 2 已知y与x成正比例函数 其图象过第二 四象限 且过 2m 小结 一般地 如果y kx b k b是常数 k 0 那么 y叫做x的一次函数 对这个定义 要注意 1 x是变量 k b是常数 2 k 0 当k 0时 式子变形成y b的形式 b是x的0次式 y b叫做常数函数 由一次函数出发 当常数b 0时 一次函数kx b k 0 就成为 y kx k是常数 k 0 我们把这样的函数叫正比例函数 正比例函数是特殊的一次函数 一次函数的应用 我们学过一次函数y kx b的图象是一条直线 还学过一次函数的性质 直线是最简单 最常见的几何图形 也是线段 射线的概念的基础 而两点确定一条直线 两点之间线段最短 于是 与直线或线段有关的最大或最小值问题 最多或最少等问题 必然反映到现实生活 生产实践或商品经济大潮中 例1 如图 某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为线型函数 由图可知行李的重量只要不超过 公斤 就可免费托运 解 本题只给出了一次函数的图像 若能求得一次函数的解析式 问题即可解决 根据图像不难发现直线过以下三点 30 330 40 630 50 930 任选其中两点可求出一次函数解析式为y 30 x 570 于是 令y 0得一次函数与x轴交点为 19 0 可知当x 19时 行李就可免费托运 例2 如图所示 两村的坐标位置各为a 3 3 b