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文档简介

5 5哈密顿正则方程 5 5 1勒让德变换 广义动量 2 定义另外一个函数 称为哈密顿函数 其中的要用 3 代换 哈密顿函数的定义式 5 5 1勒让德变换 哈密顿函数的物理含义 若L不显含t 则 对于稳定约束系统 H即系统总能量 对于不稳定约束系统 H是广义能量 5 5 1勒让德变换 勒让德变换的规则 以上从到的变换称为勒让德变换 5 5 2正则方程 正则方程的推导 1 2 5 5 2正则方程 正则方程的推导 3 3 4 比较可得哈密顿正则方程 以及 若L不显含t 则H也不显含t 5 5 2正则方程 相空间 s个广义坐标 和s个广义动量 统称为正则变量 它们作为相互独立的变量 张开一个2s维空间 称为相空间 相空间的一点 代表系统可能存在的一个状态 称为相点 随时间变化 相点在相空间移动 划出一条曲线 代表系统状态的演化路径 5 5 3能量积分与循环积分 能量积分 5 5 3能量积分与循环积分 循环积分 若H不显含某个广义坐标 则根据正则方程可得 即相应的广义动量守恒 注 这里的能量积分与循环积分 与从拉氏函数得到的能量积分和循环积分 结果是一样的 例题1 5 5哈密顿正则方程 解 以平衡位置 即弹簧原长位置 为原点 建立一维x轴 动能 势能 拉氏函数 广义动量 例题1 5 5哈密顿正则方程 哈密顿函数 1 2 联立可得 即一维弹簧振子的运动微分方程 例题2 5 5哈密顿正则方程 解 采用球坐标描述 质点的速度 拉氏函数 广义动量 位矢 例题2 5 5哈密顿正则方程 例题2 5 5哈密顿正则方程 另一方面计算可得 可见 10 代表沿z方向的动量矩守恒 但是z轴的方向是任意选择的 故沿任何方向都有动量矩守恒 从而系统动量矩守恒 即 分析 一 动量矩守恒 例题2 5 5哈密顿正则方程 分析 二 平面运动 现在选择一个特殊的z轴方向 使初速度v0躺在z轴和初位矢r0所确定的平面内 10 则根据 10 式 可得初始时刻 以及后面任意时刻 都有 这意味着质点将始终保持在z轴和初位矢r0所确定的平面内运动 z轴就是平面极坐标的极轴 例题2 5 5哈密顿正则方程 分析 三 简化正则方程 例题2 5 5哈密顿正则方程 分析 四 最终的运动微分方程 即在垂直于运动平面方向上
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