度高中数学 3.4.1 基本不等式同步辅导与检测课件 新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 3 4 1基本不等式 一 不等式 1 通过实例探究抽象基本不等式 体会数学来源于生活 2 推导并掌握基本不等式 并从不同角度探索不等式的证明过程 3 理解基本不等式的几何意义 并掌握定理中的不等号 取等号的条件是 当且仅当这两个正数相等 4 熟练掌握基本不等式 a b r 会用基本不等式证明不等式 基础梳理 1 两个正数的算术平均数与几何平均数 设a b是任意两个正数 称为a b的 称为a b的 1和9的算术平均数是 而1和9的几何平均数是 2 重要不等式 设a b r a2 b2 2ab a b 2 0 当且仅当 时 等号成立 答案 1 算术平均数几何平均数练习1 532 a2 b2 2aba b 3 基本不等式 设a b是任意两个正数 那么 当且仅当 时 等号成立 基本不等式可叙述为 两个正数的 如果把看作是正数a b的等差中项 看作是正数a b的等比中项 那么基本不等式也可以叙述为 两个正数的 4 基本不等式几何意义是 答案 3 a b算术平均数不小于它们的几何平均数等差中项不小于它们的等比中项4 半径不小于半弦 5 已知x y都是正数 1 如果积xy是定值p 那么当x y时 和 有最小值 2 如果和x y是定值s 那么当x y时 积 有最大值 3 已知x y都是正数 如果xy 15 则x y的最小值是 如果x y 15 则xy的最大值是 6 求函数最值的两个基本步骤 1 先证y m m是与自变量无关的常数 或y m m是与自变量无关的常数 2 再证存在定义域中的x0 使f x0 m或f x0 m 有了这两步就可以下结论 y f x 的最小值是m或y f x 的最大值是m 自测自评 1 下列函数中 能取到最小值2的是 c 2 如果a2 b2 4 则ab的最 值是 如果ab 2 则a2 b2的最 值是 3 如果a 0 b 0 则的最小值是 如果ab 0 则的范围是 答案 2 大2小43 2 2 不等式的证明 跟踪训练 1 已知x y都是正数 求证 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 分析 用基本不等式时 注意条件a b均为正数 并结合不等式的性质 进行推证 证明 x y都是正数 x2 0 y2 0 x3 0 y3 0 由基本不等式有x y 2 0 x2 y2 2 0 x3 y3 2 0 再由不等式的性质有 x y x2 y2 x3 y3 2 2 2 8x3y3 即 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 当且仅当x y时取 利用基本不等式求最值 1 若x 0 求f x 3x的最小值 2 已知x 2 求x 的最小值 跟踪训练 2 1 已知0 x 求函数y x 1 3x 的最大值 2 已知x 1 求y 的最小值 3 已知x 0 y 0 1 求2x 3y的最小值 利用基本不等式解决应用问题 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比 如果在距车站10公里处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站多少公里处 跟踪训练 3 一批货物随17列货车从a市以vkm h的速度匀速直达b市 已知两地路线长400km 为了安全 两列货车的间距不得小于km 货车长度忽略不计 那么这批货物全部运到b市最快需要多少小时 解析 这批货物从a市全部运到b市的时间至少为故这批货物全部运到b市最快需要8小时 一 选择填空题1 已知x y均为正数 xy 8x 2y 则xy有 a 最大值64b 最大值c 最小值64d 最小值 解析 主要是理解算术平均数和几何平均数的意义 作差比较即可 答案 b 1 基本不等式的左式为和结构 右式为积的形式 该不等式表明两正数a b的和与两正数a b的积之间的大小关系 运用该不等式可作和与