高考数学 第二章 第六节对数函数课件 理.ppt

第六节对数函数 1 对数的定义 1 对数的定义如果 那么数x叫做以a为底n的对数 记作 其中 叫做对数的底数 叫做真数 ax n a 0且a 1 x logan a n 2 两种常见对数 10 lgn lnn e 即时应用 1 若2x 5 则x 若log3x 2 则x 2 将log23用常用对数表示为 用自然对数表示为 答案 1 log2532 2 2 对数的性质 换底公式与运算性质 0 1 n logab a c均大于零且不等于1 b 0 logam logan logam logan 即时应用 1 若a 0 a 1 x y 0 n n 判断下列各式的正误 请在括号内填 或 logax n logaxn 2 则x 3 计算 解析 1 是错误的 如 log24 3 8 log243 log226 6 是正确的 logax 1 logax 是错误的 如 是正确的 是正确的 设 则 an y xn 即 y logax 即 logax 2 由 得 x 3 原式 2 2 4 答案 1 2 3 4 3 对数函数的定义 图象与性质 1 对数函数的定义一般地 函数y a 0 且a 1 叫做对数函数 logax 2 对数函数的图象与性质 0 r 0 1 0 增函数 减函数 即时应用 1 判断下列函数是否是对数函数 请在括号中填 是 或 否 y log2 x 1 y log2x 1 y 2log3x y y y lnx 2 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的图象恒过一定点是 3 设p log23 q log32 r log2 log32 则p q r的大小关系为 4 函数y log2 3x 1 的值域为 解析 1 由对数函数的定义可知 是对数函数 2 依题意 当x 2时 函数y loga x 1 2 a 0 a 1 的值为2 所以其图象恒过定点 2 2 3 p log23 log22 1 即p 1 0 log31 q log32 log33 1 即0 q 1 0 log32 1 log2 log32 log21 0 即r 0 r q p 4 3x 1 1 函数y log2x在 0 上单调递增 y log21 0 答案 1 否 否 否 否 否 是 2 2 2 3 r q p 4 0 4 反函数指数函数y ax a 0且a 1 与对数函数 a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 即时应用 1 思考 指数函数和对数函数互为反函数 它们的定义域和值域有什么关系 提示 指数函数和对数函数互为反函数 它们的定义域和值域发生了交换 即原函数的定义域与反函数的值域相同 原函数的值域与反函数的定义域相同 2 设函数f x log2x的反函数为y g x 若g 则a等于 解析 由于f x log2x的反函数为y g x 2x 又g 即 2 2 2 解得 a 答案 热点考向1对数的运算 方法点睛 对数式的化简与求值的常用思路 1 先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算法则化简合并 2 先将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算法则 转化为同底对数真数的积 商 幂再运算 提醒 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 例1 1 计算 2 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 3 2012 三明模拟 已知函数f x 求证 f x1 f x2 若 1 f b 求f a 的值 解题指南 1 按对数式求值的常用思路进行计算 2 将已知对数式化为指数式 并将a2m n转化为 am 2 an 从而计算求解 3 根据对数运算性质 先从左到右证明 再根据此结论计算求值 规范解答 1 原式 2 loga2 m am 2 又 loga3 n an 3 a2m n a2m an am 2 an 22 3 12 3 f x1 f x2 f x1 f x2 由 的结论知f a f b 1 又 f b f a 1 f b 1 互动探究 本例 2 中条件不变 求loga12的值 解析 loga2 m loga3 n loga12 loga4 loga3 2loga2 loga3 2m n 反思 感悟 1 在对数运算中 首先对底数 真数进行变形 然后再利用对数的运算性质进行化简 若出现不同的 底 应利用换底公式换成相同的 底 2 在等比数列的计算中常涉及到对数的运算 要正确地用好对数的相关知识进行计算 变式备选 1 计算 2 计算 log32 log92 log43 log83 3 若数列 an 为各项均为正项的等比数列 且a12与a2001为一元二次方程x2 mx 8 0的两根 求 log2a1 log2a2 log2a2012的值 解析 1 2 原式 3 由已知得a12 a2001 8 且由等比数列的性质得 a1a2a3 a2012 a1a2012 1006 a12 a2001 1006 81006 原式 log2 a1a2a3 a2012 1006 3 3018 热点考向2对数函数的图象及其应用 方法点睛 用对数函数的图象可求解的问题的类型 1 对一些可通过平移 对称变换能作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用图象数形结合求解 2 一些不可解的对数型方程 不等式以及大小比较问题的求解 常转化为图象问题 利用数形结合法求解 例2 2013 厦门模拟 已知a b 函数f x x a x b 的图象如图所示 则函数g x loga x b 的图象可能为 解题指南 先根据二次函数f x 的图象判断a b的取值范围 再根据a b的取值范围及图象的平移法则识别g x 的图象 规范解答 选b 由二次函数的图象及a b知01 g x loga x b 是增函数 且是由y logax的图象向左平移b个单位得到 故b正确 变式训练 1 函数y log2 x 1 的单调递减区间为 单调递增区间为 解析 作出函数y log2x的图象 将其关于y轴对称得到函数y log2 x 的图象 再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y log2 x 1 的图象 如图所示 由图知 函数y log2 x 1 的递减区间为 1 递增区间为 1 答案 1 1 2 若不等式 x 1 2 logax对于x 1 2 恒成立 求实数a的取值范围 解析 设f1 x x 1 2 f2 x logax 要使当x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax恒成立 只需f1 x x 1 2在 1 2 上的图象在f2 x logax图象的下方即可 当0 a 1时 显然不成立 当a 1时 如图 要使f1 x x 1 2在 1 2 上的图象在f2 x logax的图象下方 只需f1 2 f2 2 即 2 1 2 loga2 loga2 1 1 a 2 即实数a的取值范围是 1 2 热点考向3对数函数性质的应用 方法点睛 1 利用对数函数的性质比较对数值大小的方法利用对数函数的性质 可直接比较同底数对数值的大小 而对于既不同底数 又不同真数的对数值的比较 则引入中间量 如 1 0 1等 利用对数函数性质进行比较 2 利用对数函数性质求解对数型函数性质问题的方法利用对数函数的性质求与对数函数有关的对数型函数的定义域 值域 最值 和单调性 奇偶性问题 求解方法与一般函数这些性质的求解方法一致 但要注意三方面的问题 一是定义域 所有问题都必须在定义域内讨论 二是底数与1的大小关系 三是复合函数的构成 即它是由哪些基本初等函数复合而成的 例3 1 如果那么 a y x 1 b x y 1 c 1 x y d 1 y x 2 函数y 在区间 2 4 上的最小值是 3 已知函数f x 求函数f x 的定义域 若函数f x 的定义域关于坐标原点对称 试讨论它的奇偶性和单调性 解题指南 1 利用单调性求解 2 利用换元法转化为二次函数最值求解 3 利用真数大于0构建不等式 但要注意分类讨论 先由条件求出a的值 再讨论奇偶性和单调性 规范解答 1 选d 因为y 为 0 上的减函数 所以x y 1 2 y 令t 2 x 4 则 1 t 且y t2 t 5 当t 时 ymin 5 答案 3 x 3a 1 x 2a 1 0 所以 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 2a 1 3a 1 当3a 1 2a 1 即a 0时 定义域为 3a 1 2a 1 函数f x 的定义域关于坐标原点对称 当且仅当 2a 1 3a 1 a 2 此时 f x 对于定义域d 5 5 内任意x x d 所以f x 为奇函数 当x 5 对任意5 x1 x2 有f x1 f x2 而 x1 5 x2 5 x1 5 x2 5 10 x2 x1 0 所以f x1 f x2 0 f x 在 5 内单调递减 由于f x 为奇函数 所以f x 在 5 内单调递减 互动探究 在本例 3 的条件下将f x 的底数改为m m 0且m 1 求函数f x 在 10 15 上的值域 解析 由 3 求解得 当m 1时 函数f x 在 5 内单调递减 所以在 10 15 上亦单调递减 f 15 f x f 10 即 logm2 f x logm3 值域为 logm2 logm3 同理当0 m 1时 值域为 logm3 logm2 综上所述 当0 m 1时 值域为 logm3 logm2 当m 1时 值域为 logm2 logm3 反思 感悟 在求解对数函数有关问题时 无论讨论函数的性质 还是利用函数的性质都要注意以下几点 1 要分清函数的底数a 0 1 还是a 1 2 确定函数的定义域 无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质 都要在其定义域上进行 3 如果需将函数解析式变形 一定要保证其等价性 否则结论错误 变式备选 是否存在实数a 使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 如果存在 求出a的取值范围 如果不存在 请说明理由 解析 假设符合条件的实数a存在 设g x ax2 x 当a 1时 为使函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 需g x ax2 x在区间 2 4 上是增函数 故应满足 即 解得a 又 a 1 a 1 当01时 函数f x loga ax2 x 在区间 2 4 上是增函数 1 2012 安徽高考 log29 log34 a b c 2 d 4 解析 选d log29 log34 4 2 2012 龙岩模拟 函数f x logax a 0 a 1 对任意的正实数x y都有 a f x y f x f y b f x y f x f y c f x y f x f y d f x y f x f y 解析 选b f x y loga x y logax logay f x f y 3 2012 福州模