高考数学 第八章 第五节椭 圆课件 理.ppt

第五节椭圆 1 椭圆的定义 1 满足条件 在平面内 点p到两个定点f1 f2的距离之 为定值 定值大于 2 焦点 两定点f1 f2 3 焦距 两 间的距离 和 f1f2 焦点 即时应用 1 思考 椭圆定义中能去掉 定值大于 f1f2 吗 提示 不能 因为当定值等于 f1f2 时 点的轨迹是线段f1f2 当定值小于 f1f2 时 点的轨迹不存在 2 判断下列点的轨迹是否为椭圆 请在括号内填 是 或 否 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于2的点的轨迹 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于4的点的轨迹 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于6的点的轨迹 解析 由椭圆的定义可知 距离之和小于 ab 所以点的轨迹不存在 距离之和等于 ab 点的轨迹是以a b为端点的一条线段 符合椭圆定义 点的轨迹是以a b为焦点 长轴长为6的椭圆 答案 否 否 是 2 椭圆的标准方程和几何性质 a a b b b b a a 坐标轴 原点 a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2a 2b 0 1 a2 b2 2c 即时应用 1 思考 椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系 提示 因为离心率 所以 离心率越接近于1 b就越接近于0 即短轴的长接近于0 椭圆就越扁 离心率越接近于0 a b就越接近 即椭圆的长 短轴长越接近相等 椭圆就越接近于圆 但永远不会为圆 2 已知椭圆的焦点在y轴上 若椭圆的离心率为 则m的值为 解析 的焦点在y轴上 所以a2 m b2 2 离心率为 又离心率为 所以 解得m 答案 3 已知椭圆的短轴长为6 离心率为 则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为 所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 热点考向1椭圆的定义 标准方程 方法点睛 1 椭圆定义应用时的两点注意利用椭圆的定义解题时 一方面要注意常数2a f1f2 这一条件 另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 椭圆的标准方程的理解 1 当已知椭圆的焦点在x轴上时 其标准方程为 a b 0 当已知椭圆的焦点在y轴上时 其标准方程为 2 当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 m 0 n 0 m n 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 这种形式 在解题时更简便 例1 1 已知 abc的顶点b c在椭圆上 顶点a是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外一个焦点在bc边上 则 abc的周长为 2 已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上 且p到两焦点的距离分别为5 3 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆的方程 解题指南 1 注意a为椭圆的一个焦点 且bc边过椭圆的另一个焦点 因此 可借助于椭圆的定义求 abc的周长 2 可先设椭圆的方程为 再根据题设条件求出相应的系数值即可 规范解答 1 因为a为椭圆的一个焦点 且bc边过椭圆的另一个焦点 设该焦点为f 所以由椭圆的定义得 ba bf ca cf 因此 abc的周长为 答案 2 设椭圆方程为 因为p到两焦点的距离分别为5 3 所以2a 5 3 8 即a 4 又因为过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 所以 2c 2 52 32 16 所以c2 4 因此b2 a2 c2 12 所以椭圆方程为 互动探究 本例 2 将条件 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 改为 点p和两焦点构成的三角形为直角三角形 结果如何 解析 当其中一个焦点为直角顶点时 与例题条件相同 所以 椭圆方程为当直角顶点为点p时 则有 2c 2 52 32 34 所以c2 又因为a 4 所以b2 a2 c2 所以椭圆方程为 综上可知 所求椭圆方程为 或 反思 感悟 1 从两个题目求解可以看出 在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时 经常联想到椭圆的定义 进而得出长轴的长 2 在求椭圆方程时 若已知椭圆上的点到两焦点的距离 可先求出椭圆长轴长 再想法求短轴长 从而得出方程 若已知点的坐标 可先设出椭圆的标准方程 再利用待定系数法求解 当椭圆的焦点不确定时 应考虑焦点在x轴 在y轴两种情形 无论哪种情形 始终有a b 0 变式备选 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且 若 pf1f2的面积为9 则b 解析 设 pf1 r1 pf2 r2 则 4a2 4c2 4b2 b 3 答案 3 热点考向2椭圆的几何性质及应用 方法点睛 1 几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者求这些量的最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 提醒 椭圆离心率的范围 0 e 1 例2 1 若点o和点f分别为椭圆的中心和左焦点 点p为椭圆上的任意一点 则的最大值为 a 2 b 3 c 6 d 8 2 2012 漳州模拟 设椭圆 a b 0 的两个焦点分别为f1 f2 点p在椭圆上 且 tan pf1f2 2 则该椭圆的离心率等于 解题指南 1 关键是将用点p的坐标表示 再利用点p在椭圆上 转化成一个变量的函数求最大值 但要注意点p的坐标的取值范围 2 由得 f1pf2为直角三角形 再由tan pf1f2 2得出两直角边的比为2 而斜边长为2c 由勾股定理及椭圆的定义即可求出离心率 规范解答 1 选c 由椭圆可得点f 1 0 点o 0 0 设p x y 2 x 2 则 x2 x y2 x2 x 3 1 x2 x 3 x 2 2 2 当且仅当x 2时 取得最大值6 2 因为 所以pf1 pf2 得 f1pf2为直角三角形 又因为tan pf1f2 2 所以可设 pf1 m 则 pf2 2m 2a 3m 所以离心率答案 反思 感悟 1 求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析 即使不画出图形 思考时也要联想到图形 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的关系 挖掘出它们之间的内在联系 2 本例 2 是依据题设条件求椭圆的离心率 通过求解过程 我们可以看出 求椭圆的离心率的值 关键是寻找关于a c的一个等式 或解方程求出离心率 或直接求出离心率 3 在解方程求椭圆离心率的值时 要注意椭圆离心率的范围 有增根要舍去 变式训练 定义 离心率的椭圆为 黄金椭圆 已知e a b 0 的一个焦点为f c 0 c 0 则e为 黄金椭圆 是 a b c成等比数列 的 a 既不充分又不必要条件 b 充要条件 c 充分而不必要条件 d 必要而不充分条件 解析 选b 若e为黄金椭圆 则 b2 a2 c2 ac所以a b c成等比数列 若a b c成等比数列 则b2 ac a2 c2 ac e2 e 1 0 又0 e 1 所以 故e为黄金椭圆 变式备选 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a为椭圆e a b 0 的左顶点 b c在椭圆e上 若四边形oabc为平行四边形 且 oab 30 则椭圆e的离心率等于 解析 依题设知 点c的坐标为 又因为点c在椭圆e上 所以有 解得a2 9b2 因此 a2 9 a2 c2 即所以椭圆e的离心率等于 答案 热点考向3直线与椭圆的位置关系 方法点睛 1 直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立 通过讨论此方程组的实数解的组数来确定 即用消元后的关于x 或y 的一元二次方程的判别式 的符号确定 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则 k为直线斜率 3 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 1 涉及弦长问题 常用 根与系数的关系 设而不求 利用弦长公式计算弦长 2 涉及求弦中点的轨迹 求过定点的弦的轨迹和被定点平分的弦所在的直线方程问题 常用 点差法 设而不求 3 将动点的坐标 弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的 不要忽略判别式 例3 2012 福建高考 如图 椭圆e 的左焦点为f1 右焦点为f2 离心率过f1的直线交椭圆于a b两点 且 abf2的周长为8 1 求椭圆e的方程 2 设动直线l y kx m与椭圆e有且只有一个公共点p 且与直线x 4相交于点q 试探究 在坐标平面内是否存在定点m 使得以pq为直径的圆恒过点m 若存在 求出点m的坐标 若不存在 说明理由 规范解答 方法一 1 因为 ab af2 bf2 8 即 af1 f1b af2 bf2 8 又 af1 af2 bf1 bf2 2a 所以4a 8 a 2 又因为所以c 1 所以故椭圆e的方程是 2 由得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 因为动直线l与椭圆e有且只有一个公共点p x0 y0 所以m 0且 0 即64k2m2 4 4k2 3 4m2 12 0 化简得4k2 m2 3 0 此时所以由得q 4 4k m 假设平面内存在定点m满足条件 由图形对称性可知 点m必在x轴上 设m x1 0 则对满足 式的m k恒成立 因为由得整理 得 由于 式对满足 式的m k恒成立 所以解得x1 1 故存在定点m 1 0 使得以pq为直径的圆恒过点m 方法二 1 同方法一 2 由得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 因为动直线l与椭圆e有且只有一个公共点p x0 y0 所以m 0且 0 即64k2m2 4 4k2 3 4m2 12 0 化简得4k2 m2 3 0 此时所以 由得q 4 4k m 假设平面内存在定点m满足条件 由图形对称性可知 点m必在x轴上 取k 0 此时以pq为直径的圆为交x轴于m1 1 0 m2 3 0 取m 2 此时以pq为直径的圆交x轴于点m3 1 0 m4 4 0 所以若符合条件的点m存在 则m的坐标必为 1 0 以下证明m 1 0 就是满足条件的点 因为m的坐标为 1 0 所以从而故恒有即存在定点m 1 0 使得以pq为直径的圆恒过点m 变式训练 已知椭圆 1 a b 0 的焦距为 离心率为 1 求椭圆方程 2 设过椭圆顶点b 0 b 斜率为k的直线交椭圆于另一点d 交x轴于点e 且 bd be de 成等比数列 求k2的值 解析 1 由已知解得a 2 c 所以b2 a2 c2 1 椭圆的方程为 2 由 1 得过b点的直线为y kx 1 由得 4k2 1 x2 8kx 0 所以 依题意k 0 k 因为 bd be de 成等比数列 所以 be 2 bd de 所以b2 1 yd yd 即 1 yd yd 1 当yd 0时 无解 当yd 0时 解得所以 解得所以 当 bd be de 成等比数列时 1 2012 新课标全国卷 设f1 f2是椭圆e 的左 右焦点 p为直线上一点 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a b c d 解析 选c 设直线与x轴交于点m 则 pf2m 60 在rt pf2m中 pf2 f1f2 2c f2m 故cos6