高考数学总复习 第七章 第二节两条直线的位置关系课件 文.ppt

第二节两条直线的位置关系 第七章平面解析几何 考纲要求 1 在平面直角坐标系中 结合具体图形 确定直线位置的几何要素 2 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 3 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 4 掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 5 了解中心对称 对称轴图形的几何特性 6 能利用几何图形的对称性解决简单的点关于点对称 点关于线对称 线关于点对称 线关于线对称的问题 课前自修 知识梳理 一 直线与直线的位置关系1 平行与垂直 1 若直线l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则 直线l1 l2的充要条件是 直线l1 l2的充要条件是 2 若l1和l2都没有斜率 则l1与l2 3 若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0 则 k1 k2且b1 b2 k1 k2 1 平行或重合 l1 l2 2 两直线相交 若直线l1 a1x b1y c1 0和l2 a2x b2y c2 0的公共点的坐标与方程组的解一一对应 相交 平行 重合 二 点与直线的位置关系若点p x0 y0 在直线ax by c 0上 则有ax0 by0 c 0 若点p x0 y0 不在直线ax by c 0上 则有ax0 by0 c 0 方程组有唯一解 交点坐标就是方程组的解 方程组无解 方程组有无穷多个解 三 两点间的距离公式已知a x1 y1 b x2 y2 则 ab 四 点p x0 y0 到直线l ax by c 0的距离d 两平行线l1 ax by c1 0和l2 ax by c2 0之间的距离 d 五 中点坐标公式设a x1 y1 b x2 y2 则线段ab的中点p x0 y0 的坐标公式为 六 对称问题1 中心对称问题 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点 因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题 设p x0 y0 对称中心为a a b 则p关于a的对称点为p 2 点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知 对称轴即为两对称点连线的 垂直平分线 利用 垂直 平分 这两个条件建立方程组 就可求出对称点的坐标 一般情形如下 2a x0 2b y0 特殊地 点p x0 y0 关于直线x a的对称点为p 2a x0 y0 点p x0 y0 关于直线y b的对称点为p x0 2b y0 点p x0 y0 关于直线x y 0 即y x 的对称点为p y0 x0 点p x0 y0 关于直线x y 0 即y x 的对称点为p y0 x0 3 曲线关于点 曲线关于直线的中心或轴对称问题 一般是转化为点的中心对称或轴对称 这里既可选特殊点 也可选任意点实施转化 一般结论如下 1 曲线f x y 0关于已知点a a b 的对称曲线的方程是f 2a x 2b y 0 2 曲线f x y 0关于直线y kx b的对称曲线的求法 设曲线f x y 0上任意一点为p x0 y0 点p关于直线y kx b的对称点为p x y 则由上面第三点知 p与p 的坐标满足从中解出x0 y0 代入已知曲线f x y 0 应有f x0 y0 0 利用坐标代换法就可求出曲线f x y 0关于直线y kx b的对称曲线方程 4 两点关于点对称 两点关于直线对称的常见结论 1 点 x y 关于x轴的对称点为 2 点 x y 关于y轴的对称点为 3 点 x y 关于原点的对称点为 4 点 x y 关于直线x y 0的对称点为 5 点 x y 关于直线x y 0的对称点为 x y x y x y y x y x 基础自测 1 2012 江西师大附中开学考卷 a 3 是 直线ax 2y 2a 0和直线3x a 1 y a 7 0平行 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 2 2012 阳江市模拟 已知直线l1 y 2x 3 直线l2与l1关于直线y x对称 则直线l2的斜率为 a b c 2d 2 3 已知l1 2x my 1 0与l2 y 3x 1 若两直线垂直 则m的值为 解析 l2 3x y 1 0 且l1 l2 2 3 m 0 m 6 答案 6 4 经过直线3x 2y 1 0和x 3y 4 0的交点 且垂直于直线x 3y 4 0的直线l的方程为 考点探究 考点一 判定两直线的位置关系 例1 1 已知两条直线y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 则a等于 a 2b 1c 0d 1 2 已知两直线l1 x m2y 6 0 l2 m 2 x 3my 2m 0 当m为何值时 l1与l2 相交 平行 重合 思路点拨 依据两直线位置关系判断方法便可解决 解析 1 两条直线y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 则a a 2 1 a 1 故选d 2 当m 0时 l1 x 6 0 l2 x 0 l1 l2 当m 2时 l1 x 4y 6 0 l2 3y 2 0 l1与l2相交 当m 0且m 2时 由得m 1或m 3 由得m 3 故 当m 1 m 3且m 0时 l1与l2相交 当m 1或m 0时 l1 l2 当m 3时 l1与l2重合 点评 1 若直线l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则直线l1 l2的充要条件是k1 k2 1 直线l1 l2的充要条件是k1 k2 且b1 b2 2 设l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1 l2 a1a2 b1b2 0 l1 l2 a1b2 a2b1 0 a1c2 a2c1 0 3 对系数含参这类问题 要从直线有斜率 没有斜率两个方面进行分类讨论 在确定参数的值时 应注意先讨论x y系数为0的情况 变式探究 1 1 2012 深圳市松岗中学模拟 已知直线l1 3 m x 4y 5 3m与l2 2x 5 m y 8平行 则实数m的值为 a 7b 1c 1或 7d 2 abc的三边a b c分别对应角a b c 若lgsina lgsinb lgsinc成等差数列 则直线l1 xsin2a ysina a与直线l2 xsin2b ysinc c的位置关系是 a 不垂直的相交b 平行c 垂直相交d 重合 3 2012 杭州市第十四中学月考 若存在直线l平行于直线3x ky 6 0 且与直线kx y 1 0垂直 则实数k 解析 1 依题意 有 解得m 7 舍去m 1 故选a 2 提示 结合正弦定理考虑 3 依题意 直线3x ky 6 0与直线kx y 1 0互相垂直 可得k 0 答案 1 a 2 d 3 0 考点二 求与已知直线平行或垂直的直线方程 例2 求过直线l1 5x 2y 3 0和l2 3x 5y 8 0的交点p 且 1 与直线x 4y 7 0平行的直线l的方程 2 与直线x 4y 7 0垂直的直线l 的方程 思路点拨 根据所求的直线与已知直线的位置关系 灵活选择直线方程的形式 解析 1 法一 由求得l1与l2的交点p的坐标为 1 1 因为直线x 4y 7 0的斜率为 所以所求的直线l的斜率为 因此所求的直线方程为y 1 x 1 即x 4y 3 0 法二 因为所求直线l与直线x 4y 7 0平行 故设所求的直线方程为x 4y m 0 由求得l1与l2的交点p的坐标为 1 1 将x 1 y 1代入上式得1 4 m 0 所以m 3 所以所求的直线l的方程为x 4y 3 0 2 法一 由求得l1与l2的交点p的坐标为 1 1 因为直线x 4y 7 0的斜率为 所以直线l 的斜率为4 因此满足条件的直线l 的方程为y 1 4 x 1 即4x y 5 0 法二 由直线l 垂直于直线x 4y 7 0 则可设直线l 的方程为4x y t 0 因为l1与l2的交点为p 1 1 所以4 1 1 t 0 从而t 5 所以直线l 的方程为4x y 5 0 法三 由于直线l 过l1与l2的交点 所以直线l的方程为 5x 2y 3 3x 5y 8 0 即 5 3 x 2 5 y 3 8 0 因为l 与直线x 4y 7 0垂直 所以 4 从而 所以直线l 的方程为4x y 5 0 点评 与直线l ax by c 0平行的直线可表示为ax by c1 0 与直线l ax by c 0垂直的直线可表示为bx ay c1 0 变式探究 2 已知 abc三个顶点a 2 0 b 4 8 c 0 6 则ab边上的高线所在的直线方程是 与边bc平行的三角形中位线所在的直线方程是 解析 1 kab 4 对应的高线所在的直线斜率为k 由点斜式可得高线所在的直线方程为y 6 x 0 即x 4y 24 0 2 kbc 线段ac的中点为 1 3 所求中位线所在的直线方程为y 3 x 1 即x 2y 5 0 答案 x 4y 24 0 x 2y 5 0 考点三 直线恒过定点问题 解析 将方程 2l 3 x l 4 y 2l 2 0 l r 整理为 2x y 2 l 4x 3y 2 0 因为l r 所以必须有 代入直线方程得 左边 2l 3 x l 4 y 2l 2 0 右边 所以直线 2l 3 x l 4 y 2l 2 0 l r 过定点 2 2 例3 已知不论取任何实数 直线 2 3 x 4 y 2 2 0都恒过一定点 求这个定点的坐标 点评 直线的点斜式方程y y0 k x x0 表明不论k取何值 该方程表示的直线恒过定点 x0 y0 一般情况是形如a1x b1y c1 l a2x b2y c2 0的直线 若对任意的l值恒成立 则该直线恒过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点 该直线系方程中 当l 0时 表示直线l1 但是 不论l取何值 都不能表示直线l2 变式探究 3 1 不论k取何值 直线l k 1 x y 2 k 0恒过定点 这个定点是 a 1 3 b 1 3 c 3 1 d 3 1 2 若k 1 b成等差数列 则直线y kx b必过定点 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 解析 1 法一 取k 0 得x y 2 0 取k 1 得2x y 1 0 解 构成的方程组 得x 1 y 3 将该点坐标代入直线l方程 则方程恒成立 说明不论k取何值 直线l都经过点 1 3 故选b 法二 将直线方程化为 x 1 k x y 2 0 因为k取任意实数 即关于k的方程有无数组解 所以x 1 0且x y 2 0 解得x 1 y 3 故选b 2 由已知得k b 2 所以直线方程变为y kx k 2 即y k x 1 2 此为直线的点斜式方程 所以直线过定点 1 2 故选a 答案 1 b 2 a 考点四 距离问题 例4 已知点p 2 1 求 1 过点p与原点距离为2的直线l的方程 2 过点p与原点距离最大的直线l的方程 最大距离是多少 3 是否存在过点p与原点距离为6的直线 若存在 求出方程 若不存在 请说明理由 思路点拨 已知直线过定点求方程 首先想到的是求斜率或设方程的点斜式 但不要忘记考虑斜率不存在的直线是否满足题意 若满足 可先把它求出 然后再考虑斜率存在的一般情况 图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决 解析 1 过点p的直线l与原点的距离为2 而点p坐标为 2 1 可见过p 2 1 垂直于x轴的直线满足条件 其方程为x 2 若斜率存在 设直线l的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 由已知 得 2 解得k 这时直线l的方程为3x 4y 10 0 综上 可得直线l的方程为x 2或3x 4y 10 0 法二 由于斜率不存在且过点p的直线到原点距离不是6 因此 设过点p到原点距离为6的直线的斜率存在时方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 原点o到它的距离d 6 即32k2 4k 35 0 因d 16 4 32 35 0 故方程无解 所以不存在这样的直线 点评 1 求直线方程时一定要注意斜率不存在的情况 2 第 3 题是判断存在性问题 通常的解决方法是先假设判断对象存在 令其满足应符合的条件 若有解 则存在 并求得 若无解 则不存在 判断无解的过程就是结论的理由 变式探究 考点五 中心对称问题 例5 1 已知点a 3 4 求点a关于点p 2 1 对称的点b 2 求直线l1 2x y 2 0关于定点m 1 2 对称的直线m的方程 思路点拨 因为关于中心对称的两点连线段被对称中心平分 因此用中点坐标公式来解决 设直线m上的动点p x y 关于点m 1 2 的对称点为q x0 y0 则q必在直线l1上 结合中点坐标公式即可求得 点评 因为已知直线上的点关于定点的对称点均在其对称直线上 所以关于定点对称的两条直线是互相平行的 变式探究 5 点p 2 3 q 6 5 关于点m对称 则直线l1 2x y 1 0关于点m对称的直线l2的方程是 考点六 轴对称问题 例6 1 求直线a 2x y 4 0关于直线l 3x 4y 1 0对称的直线b的方程 2 光线沿直线l1 x 2y 5 0射入 遇直线l 3x 2y 7 0后反射 求反射光线所在的直线方程 思路点拨 轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴 根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决 代入方程x 2y 5 0中 化简得29x 2y 33 0 即为所求反射光线所在的直线方程 点评 由平面几何知识可知 若直线a b关于直线l对称 则应有下列几何性质 1 若a与b相交 则l是a b交角的平分线 若a与l平行 则b l 且a b与l距离相等 2 点a在直线a上 则a点关于l的对称点b一定在直线b上 并且ab l ab的中点在l上 3 设p x y 是所求直线b上一点 则p为关于l的对称点p 的坐标适合a的方程 变式探究 6 1 2012 大庆市铁人中学期末 将一张坐标纸折叠一次 使点p 10 0 与q 6 8 重合 则与点m 4 2 重合的点是 a 4 2 b 4 3 c d 3 1 2 直线l1 3x y 0关于直线l x y 4 0对称的直线l2的方程是 1 要认清直线平行 垂直的充要条件 应特别注意对x y的系数中一个为零的情况的讨论 2 在判断两直线的位置关系时 也可利用直线方程的一般式 由系数间的关系直接得出结论 设l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 3 判断两直线的位置关系时 要注意斜率不存在的情况 4 点到直线的距离公式是一个基本公式 它涉及绝对值 直线垂直 最小值等内容 5 在运用公式d 求平行直线间的距离时 一定要把x y前面的系数化成相等 6 直线系 属知识拓展