高考数学总复习 第七章 第三节圆的方程课件 理.ppt

第三节圆的方程 第七章平面解析几何 考纲要求 掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方程与一般方程 课前自修 知识梳理 一 圆的标准方程设圆心c坐标为 a b 半径是r 则圆c的标准方程是 特别地 圆心为o 0 0 时 标准方程为 二 圆的一般方程当d2 e2 4f 0时 方程x2 y2 dx ey f 0叫做圆的 其圆心为 半径r x a 2 y b 2 r2 一般方程 x2 y2 r2 三 圆的直径式方程以 x1 y1 x2 y2 为直径的圆的方程可写为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 四 二元二次方程表示圆的充要条件设二元二次方程为ax2 bxy cy2 dx ey f 0 该方程表示圆的充要条件为 a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 而a c 0 b 0只是方程表示圆的必要条件 五 常见的圆系方程及其应用1 过定直线l ax by c 0和定圆x2 y2 dx ey f 0的交点的圆系 x2 y2 dx ey f l ax by c 0 2 过两定圆x2 y2 d1x e1y f1 0和x2 y2 d2x e2y f2 0的交点的圆系 x2 y2 d1x e1y f1 l x2 y2 d2x e2y f2 0 当l 1时 方程表示两圆公共弦所在直线的方程 1 圆x2 y2 2ax 4y a 0的面积为4p 则a a 0或 1b 1或1c 0或1d 1或1 解析 依题意知圆的半径为r 2 解得a 0或a 1 且都满足a2 a 4 0 a 0或a 1 故选c 答案 c 基础自测 2 已知圆c的方程为x2 y2 2x 2y 1 0 当圆心c到直线l kx y 4 0的距离最大时 k的值为 解析 由已知圆的方程得圆心c的坐标为 1 1 又直线kx y 4 0恒过点a 0 4 当圆心c到直线kx y 4 0的距离最大时 直线ca应垂直于直线kx y 4 0 直线ca的斜率为 5 k k 故选d 答案 d 3 2011 辽宁卷 已知圆c经过a 5 1 b 1 3 两点 圆心在x轴上 则c的方程为 4 2012 桂林市模拟 如图 已知圆c的圆心与点p 2 1 关于直线y x 1对称 直线3x 4y 11 0与圆c相交于a b两点 且 ab 6 则圆c的方程为 解析 圆心的坐标为 0 1 所以r2 32 18 圆的方程为x2 y 1 2 18 答案 x2 y 1 2 18 考点探究 考点一 求圆的方程 例1 根据下列条件 求圆的方程 1 和圆x2 y2 4相外切于点p 1 且半径为4 2 经过坐标原点和点p 1 1 并且圆心在直线2x 3y 1 0上 3 已知一圆过p 4 2 q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为4 思路点拨 在用待定系数法求圆的方程时 若已知条件与圆心 半径有关 则设圆的标准方程 若已知条件与圆心 半径的关系不大 则设圆的一般方程 点评 无论是圆的标准方程或是圆的一般方程 都有三个待定系数 因此求圆的方程 应有三个条件来求 一般地 已知圆心或半径的条件 选用标准式 否则选用一般式 变式探究 1 1 圆c的半径为1 圆心在第一象限 与y轴相切 与x轴相交于点a b 若 ab 则该圆的一般方程是 2 已知f x x 1 x 2 的图象与x轴 y轴有三个不同的交点 有一个圆恰好经过这三个点 则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是 2 f x 的图象与x轴交于点a 1 0 b 2 0 与y轴交于点c 0 2 设过a b c三点的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 则有解得d 1 e 1 f 2 所以圆的方程为x2 y2 x y 2 0 设圆与y轴另一个交点为m 0 a 易知a 1 所以交点坐标为m 0 1 答案 1 4x2 4y2 8x 4y 1 0 2 0 1 考点二 圆的综合问题 例2 设圆满足 截y轴所得的弦长为2 被x轴分成两段圆弧 其弧长的比为3 1 在满足条件 的所有圆中 求圆心到直线l x 2y 0的距离最小的圆的方程 解析 法一 设圆的圆心为p a b 半径为r 则点p到x轴y轴的距离分别为 b a 由题设条件知圆p截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90 圆p截x轴所得的弦长为r 故r2 2b2 又圆p截y轴所得的弦长为2 所以有r2 a2 1 从而得2b2 a2 1 点p到直线x 2y 0的距离为d 5d2 a 2b 2 a2 4b2 4ab 2a2 2b2 4ab 1 2 a b 2 1 1 当且仅当a b时取等号 此时 5d2 1 d取得最小值 由a b及2b2 a2 1得或进而得r2 2 所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2或 x 1 2 y 1 2 2 法二 同法一 得d 所以a 2b d a2 4b2 4bd 5d2 将a2 2b2 1代入整理得2b2 4bd 5d2 1 0 把 看成关于b的二次方程 由于方程有实数根 故 0即8 5d2 1 0 5d2 1 可见5d2有最小值1 从而d有最小值 将其代入 式得2b2 4b 2 0 b 1 r2 2b2 2 a2 2b2 1 1 a 1 由 a 2b 1知a b同号 故所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2或 x 1 2 y 1 2 2 变式探究 2 已知圆c x 3 2 y 4 2 1 点a 1 0 b 1 0 点p为圆上的动点 求d pa 2 pb 2的最大值 最小值及对应的点p的坐标 解析 若设p x0 y0 则d pa 2 pb 2 x0 1 2 y x0 1 2 y 2 x y 2 欲求d的最值 只需求 x y的最值 即求圆c上的点到原点距离的平方的最值 故过原点o与圆心c的直线与圆的两个交点p1 p2即为所求 设过o c两点的直线交圆c于p1 p2两点 直线oc的方程为y x 代入圆的方程中 可解得p1 p2两点的坐标为p1 p2 min oc 1 2 16 op1 2 此时dmin 2 16 2 34 p1 max oc 1 2 36 op2 2 此时dmax 2 36 2 74 p2 考点三 求点的轨迹 例3 设a c 0 b c 0 c 0 为两定点 动点p到a点的距离与到b点的距离的比为定值a a 0 求点p的轨迹 思路点拨 根据题设 可直接由题中条件建立方程关系 然后化简方程 点评 本题的解法是直接由题中条件 建立方程关系 然后化简方程 这种求曲线方程的方法称为直接法 主要考查直线 圆 曲线和方程等基本知识 考查运用解析几何的方法解决问题的能力 对代数式的运算化简能力有较高要求 同时也考查了分类讨论这一数学思想 变式探究 3 1 若圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称 过点c a a 的圆p与y轴相切 则圆心p的轨迹方程为 解析 由圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y x 1上 故可得a 2 即点c 2 2 所以过点c 2 2 且与y轴相切的圆p的圆心的轨迹方程为 x 2 2 y 2 2 x2 整理即得y2 4x 4y 8 0 答案 y2 4x 4y 8 0 2 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹 思路点拨 本题关键是找出动点p与定点m及已知动点n之间的联系 用平行四边形对角线互相平分这一定理即可 1 不论圆的标准方程还是一般方程 都有三个字母 a b r或d e f 的值需要确定 因此需要三个独立的条件 利用待定系数法得到关于a b r 或d e f 的三个方程组成的方程组 解之得到待定字母系数的值 2 求圆的方程的一般步骤 1 选用圆的方程两种形式中的一种 若知圆上三个点的坐标 通常选用一般方程 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系 通常选用标准方程 2 根据所给条件 列出关于d e f或a b r的方程组 3 解方程组 求出d e f或a b r的值 并把它们代入所设的方程中 得到所求圆的方程 3 解析几何中与圆有关的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 4 在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项只是表示圆的必要条件而不是充分条件 5 在一般方程中 当d2 e2 4f 0时 方程表示一个点 当d2 e2 4f 0时 无轨迹 6 数形结合 分类讨论 函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用 应熟练掌握 7 与圆有关的轨迹问题 可根据题设条件选择适当方法 如直接法 定义法 动点转移法等 有时还需要结合运用其他方法 如交轨法 参数法等 感悟高考 品味高考 1 2012 陕西卷 已知圆c x2 y2 4x 0 l是过点p 3 0 的直线 则 a l与c相交b l与c相切c l与c相离d 以上三个选项均有可能 解析 将点p 3 0 的坐标代入圆的方程 得32 02 4 3 3 0 点p 3 0 在圆c的内部 过点p的直线l定与圆c相交 故选a 答案 a 2 在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 1 求圆c的方程 2 若圆c与直线x y a 0交于a b两点 且oa ob 求a的值 2 设a x1 y1 b x2 y2 其坐标满足方程组消去y 得方程2x2 2a 8 x a2 2a 1 0 由已知可得 判别式 56 16a 4a2 0 从而x1 x2 4 a x1x2 由于oa ob 可得x1x2 y1y2 0 又y1 x1 a y2 x2 a 所以2x1x2 a x1 x2 a2 0 由 得a 1 满足 0