高考数学总复习 第二章 第十三节导数在研究函数中的应用(一)课件 文.ppt

第十三节导数在研究函数中的应用 一 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 对多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 对多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 对多项式函数一般不超过三次 课前自修 知识梳理 一 函数的导数与函数的单调性的关系1 函数单调性的充分条件 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果在这个区间内y 0 那么函数y f x 在这个区间内为 如果在这个区间内y 0 那么函数y f x 在这个区间内为 2 函数单调性的必要条件 设函数y f x 在某个区间内有导数 如果函数y f x 在这个区间内为增函数 那么在这个区间内 如果函数y f x 在这个区间内为 那么在这个区间内 增函数 减函数 y 0 减函数 y 0 3 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 计算导数 令 解此方程 求出它们在定义域区间内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义的点 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把f x 的定义域分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小区间的增减性 若f x 0 则f x 在相应区间内为增函数 若f x 0 则f x 在相应区间内为减函数 f x f x 0 二 函数的极值1 函数极值的定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是 记作 x0是 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是 记作 x0是极小值点 极大值与极小值统称为 2 判别f x0 是极大 极小值的方法 若x0满足f x0 0 且在x0的两侧f x 的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 并且如果f x 在x0两侧满足 左正右负 那么x0是f x 的 f x0 是 如果f x 在x0两侧满足 那么x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 函数f x 的一个极大值 y极大值 f x0 极大值点 函数f x 的一个极小值 y极小值 f x0 极值 极大值点 极大值 左负右正 3 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数 2 求方程 的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义域分成 并列成表格 检查f x 在 如果 那么f x 在这个根处取得极大值 如果 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右 那么f x 在这个根处 f x f x 0 若干小开区间 方程根左右的值的符号 左正右负 左负右正 不改变符号 无极值 三 函数的最大值与最小值1 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上图象连续不断的函数f x 在 a b 上 最大值与最小值 2 利用导数求函数的最值的步骤 设函数f x 在 a b 内可导 在闭区间 a b 上图象连续不断 求函数f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的 2 将f x 的各 与 比较 得出函数f x 在 a b 上的最值 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 必有 极值 极值 f a f b 基础自测 2 2012 济宁市质检 函数f x ax3 x 1有极值的充要条件是 a a 0b a 0c a 0d a 0 4 2011 广东卷 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 2 考点探究 考点一 求不含参数的函数的单调区间 例1 2011 佛山一中模拟 求函数f x xlnx的单调区间 自主解答 变式探究 1 2012 南京市 盐城市模拟 函数f x x2 x 1 ex x r 的单调递减区间为 解析 因f x 2x 1 ex x2 x 1 ex x2 3x 2 ex 令f x 0 则x2 3x 2 0 解得 2 x 1 单调递减区间为 2 1 答案 2 1 写成闭区间也对 考点二 讨论含参数的函数的单调性 例2 2012 北京市东城区期末 已知函数f x x3 mx2 3m2x 1 m 0 1 若m 1 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 若函数f x 在区间 2m 1 m 1 上单调递增 求实数m的取值范围 思路点拨 1 求导数f x 导数值f 2 切点坐标 2 f 2 根据点斜式写出切线方程 2 求导数f x 求极值点 因为函数f x 在区间 2m 1 m 1 上单调递增 所以极值点的横坐标不在这个区间内 由此可得不等式 解不等式可得结果 由于m 0 得f x f x 的变化情况见下表 所以函数f x 的单调递增区间是 3m 和 m 要使f x 在区间 2m 1 m 1 上单调递增 应有m 1 3m或2m 1 m 解得m 或m 1 又m 0且m 1 2m 1 所以1 m 2 即实数m的取值范围是 m 1 m 2 变式探究 2 2011 广东卷 设a 0 讨论函数f x lnx a 1 a x2 2 1 a x的单调性 考点三 求函数的极值 变式探究 3 2012 佛山市模拟改编 已知函数f x x2 2 b x blnx 实数b为常数 1 若b 1 求函数f x 的极值 2 若b 0 讨论函数f x 的单调性 考点四 求函数的最值 例4 2013 广东六校联考 已知f x 3x2 x m x r g x lnx 1 若函数f x 与g x 的图象在x x0处的切线平行 求x0的值 2 求当曲线y f x 与y g x 有公共切线时 实数m的取值范围 并求此时函数f x f x g x 在区间上的最值 用m表示 思路点拨 1 由两函数在x x0处的导数相等可解得x0 2 先由 1 得公共切点的横坐标 从而求得公共切点的纵坐标 再用数形结合法求有公共切线时 实数m的范围 求导数f x 根据f x 的符号和给定区间求极值 进而求得最值 点评 函数的最大 小 值是在函数极大 小 值基础上的发展 从函数图象上可以直观地看出 如果在闭区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 只要把函数y f x 的所有极值连同端点处的函数值进行比较 就可以求出函数的最大 小 值 变式探究 4 2012 湛江一中月考 已知函数f x x3 3x2 9x a 定义域为d 1 若d 求f x 的单调递减区间 2 若d 3 2 且f x 的最大值为19 求f x 的最小值 课时升华 1 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上单调递增 或递减 的充分条件 在区间 a b 内可导的函数f x 在 a b 上单调递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只是这样的点不能充满所给区间的任何子区间 因此在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 x a b 恒成立解出的参数的取值范围确定 2 用导数求函数的单调区间也可按如下步骤进行 1 求函数f x 的导数f x 2 令f x 0 解不等式得x的取值范围就是单调递增区间 3 令f x 0 解不等式得x的取值范围就是单调递减区间 3 讨论含参数的函数的单调性时 必须注意分类讨论 4 由极值的定义可知 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 此外请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义可知 极值只是某个点的函数值 与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 5 可导函数的极值点的导数为0 但是导数为0的点不一定是极值点 如函数y x3在x 0处的导数为0 但x 0不是极值点 6 函数在一点x0处有极值 不一定在该点可导 如函数y x 在x 0有极小值 但在x 0处不可导 即导数不存在 5 对于函数的最值问题 应注意以下几点 1 在闭区间 a b 上图象连续不断的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 在开区间 a b 内图象连续的函数f x 不一定有最大值与最小值 如函数f x 在 0 内连续 但没有最大值与最小值 3 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的 而函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 4 函数f x 在闭区间 a b 上的图象连续不断 是f x 在闭区间 a b 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 如函数f x 在 1 1 上有最大值 最小值 最大值是0 最小值是 2 但其图象却不是连续不断的 如下图 5 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能一个也没有 6 若函数f x 只有一个极值 则必为最值 若函数f x 在闭区间 a b 上单调递增 则f x min f a f x max f b 若函数f x 在闭区间 a b 上单调递减 则f x min f b f x max f a 感悟高考 品味高考 1 2012 陕西卷 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值