高考数学总复习 第五章 第二节等差数列及其前n项和课件 文.ppt

第二节等差数列及其前n项和 第五章数列 考纲要求 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 课前自修 知识梳理 一 等差数列的概念1 定义 如果一个数列从第二项开始 每一项与前一项的差都是同一个常数 那么这样的数列叫做等差数列 记作数列 首项记作a1 公差记作d 2 符号表示 an 1 an d n n 二 通项公式若数列为等差数列 则an a1 n 1 d am n m d 三 前n项和公式sn na1 四 等差中项如果三数a a b成等差数列 则a叫做a和b的等差中项 即a 五 等差数列的判定方法1 定义法 an 1 an d 常数 n n 是等差数列 2 中项公式法 2an 1 an an 2 n n 是等差数列 3 通项公式法 an kn b k b是常数 n n 是等差数列 4 前n项和公式法 sn an2 bn a b是常数 n n 是等差数列 六 用函数观点认识等差数列1 an dn a1 d d 0时是关于n的一次函数 2 sn n2 d 0时是关于n的常数项为零的二次函数 七 等差数列的重要性质1 在等差数列中 若p q m n 则有ap aq am an 若2m p q 则有2am ap aq p q m n n 简称为下标和性质 2 在等差数列中 等距离取出若干项也构成一个等差数列 即an an k an 2k an 3k 为等差数列 公差为kd 3 若数列是等差数列 sn是其前n项的和 k n 那么sk s2k sk s3k s2k也成等差数列 公差为k2d 基础自测 1 2012 重庆卷 在等差数列 an 中 a2 1 a4 5则 an 的前5项和s5 a 7b 15c 20d 25 解析 a2 1 a4 5 a1 a5 a2 a4 6 数列的前5项和为s5 6 15 故选b 答案 b 2 2012 大连 沈阳联考 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a2 a4是方程x2 x 2 0的两个实数根 则s5的值是 a b 5c d 5 解析 因为a2 a4 1 所以s5 故选a 答案 a 3 2012 湖南师大附中模拟 各项不为零的等差数列 an 中 2a3 2a11 0 则a7的值为 解析 由2a3 2a11 0 得2 a3 a11 0 4a7 0 a7 4 a7 0 a7 0 a7 4 答案 4 4 2012 南京市二模 设sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 考点探究 考点一 等差数列基本量的计算 例1 2011 福建卷 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 思路点拨 先运用等差数列的通项公式求出公差 进而求得通项公式及前n项和公式 再将n用k代换 得到关于k的方程 解方程即可求得项数k 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 2 由 1 可知an 3 2n 所以sn 2n n2 由sk 35可得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7为所求 点评 解决等差数列的问题时 通常考虑两类方法 1 基本量法 即运用条件转化成关于a1和d的方程 2 巧妙运用等差数列的性质 可化繁为简 变式探究 1 1 2012 唐山市三模 等差数列 an 的前n项和为sn 已知s7 21 s11 121 则该数列的公差d a 5b 4c 3d 2 2 2012 江西卷 设数列 an bn 都是等差数列 若a1 b1 7 a3 b3 21 则a5 b5 解析 1 依题意有7a1 21d 21 11a1 55d 121 解得a1 9 d 4 故选b 2 设数列 an bn 的公差分别为d b 则由a3 b3 21 得a1 b1 2 b d 21 即2 b d 21 7 14 b d 7 a5 b5 a1 b1 4 b d 7 4 7 35 答案 1 b 2 35 考点二 等差数列性质的运用 例2 1 2011 富阳市模拟 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则2a10 a12的值为 2 2011 广州市一模 已知数列 an 是等差数列 若a4 2a6 a8 12 则该数列前11项的和为 解析 1 a4 a12 a6 a10 2a8 由a4 a6 a8 a10 a12 120得5a8 120 a8 24 于是2a10 a12 2 a8 2d a8 4d a8 24 2 由a4 2a6 a8 12 得4a6 12 a6 3 s11 11 3 33 答案 1 24 2 33 点评 本题根据题设条件巧妙运用了等差数列的下标和性质 通项公式的变式 使解答过程很简捷 变式探究 2 1 2012 汕头市教学质量测评 已知正项组成的等差数列 an 的前20项的和为100 那么a6 a15的最大值为 a 25b 50c 100d 不存在 2 2012 凯里市二模 等差数列 an 中 an 0 且a1a2 a1a4 a2a5 a4a5 36 则a3 考点三 求等差数列前n项和的各种方法 例3 1 已知 an 为等差数列 前10项的和s10 100 前100项的和s100 10 求前110项的和s110 2 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足an 2 2an 1 an 0 n n 求数列 an 的通项 设sn a1 a2 an 求sn 思路点拨 对于题 1 常用的思路有三条 思路一 运用方程的思想 将题目条件应用公式表示成关于首项a1与公差d的两个方程 思路二 运用前n项和公式sn an2 bn去求 先求出待定系数a b 思路三 巧妙运用前n项和 等差数列的性质 下标和的性质 可化繁为简 对于题 2 易知 an 为等差数列 先求出通项an 然后再由通项an判断哪些项为正 哪些项为负 进而可将的绝对值符号去掉 将求数列的前n项和转化为求数列的前n项和的问题 2 由an 2 2an 1 an 0 得2an 1 an an 2 an 1 an an 2 an 1 所以数列 an 是等差数列 d 2 an 2n 10 n n 点评 1 解决等差 比 数列的问题时 通常考虑两类方法 基本量法 即运用条件转化成关于a1和d q 的方程 巧妙运用等差 比 数列的性质 如下标和的性质 子数列的性质 和的性质 可化繁为简 2 数列求和问题先由an的正负去掉绝对值符号 然后分类讨论转化成 an 的求和问题 变式探究 3 1 2012 海南嘉积中学期末 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前n项和为sn 则数列的前10项和为 a 70b 75c 100d 120 2 2012 南昌市调研 等差数列 an 中 a50且a6 a5 sn是数列的前n项的和 则下列正确的是 a s1 s2 s3均小于0 s4 s5 s6 均大于0b s1 s2 s5均小于0 s6 s7 均大于0c s1 s2 s9均小于0 s10 s11 均大于0d s1 s2 s11均小于0 s12 s13 均大于0 解析 1 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 sn n2 2n n 2 3 4 5 12 75 故选b 答案 1 b 2 c 考点四 等差数列的证明 点评 判断或证明数列是等差数列的方法有 1 定义法 an 1 an d 常数 n n an 是等差数列 2 中项公式法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式法 an kn b k b是常数 n n an 是等差数列 4 前n项和公式法 sn an2 bn a b是常数 n n an 是等差数列 变式探究 考点五 等差数列中的最值问题 例5 2012 北京市东城区期末 在等差数列 an 中 若a5 a7 4 a6 a8 2 则数列 an 的公差等于 其前n项和sn的最大值为 法三 将已知两式相减 得 2d 4 2 d 3 又由中项公式得a6 2 0 a7 1 0 根据等差数列的单调性知 该数列的前6项都大于0 从第7项起都是负值 前6项和最大 又可得a1 17 s6 57 点评 由于公差不等于零的等差数列不是单调递增的就是单调递减的 求其前n项和sn的最值时 可以建立sn关于项数n的函数关系 用二次函数的方法求解 如法一 也可以通过数列中的项的正负变化 也要考虑可能等于零的项 确定何时sn取得最值 如法二 法三 变式探究 5 2012 厦门市模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s4 10 s5 15 则a4的最大值为 考点六 与等差数列有关的创新问题 变式探究 6 2012 上海五校联合调研 对于实数x 用 x 表示不超过x的最大整数 如 0 98 0 1 2 1 若n n an sn为数列 an 的前n项和 则s4n等于 a 2n2 nb 2n2 2nc 2n2 nd 2n2 2n 解析 当n 1 2 3时 数列的前3项都为0 当n 4 5 6 7时 数列的第4到第7项都为1 当n 8 9 10 11时 数列的第8到第11项都为2 以此类推 a4n 4 a4n 3 a4n 2 a4n 1 n 1 a4n n s4n 3 0 4 1 2 n 1 n 即s4n 2n2 n 故选a 答案 a 1 理解等差数列的定义与特征确定等差数列通项 前n项和解析式的关键是确定首项a1和公差d 2 通项的拓展 an am n m d 3 等差数列中的巧妙设元 三个数成等差数列可设为a d a a d 四个数成等差数列可设为a 3d a d a d a 3d 4 等差数列 an 中 若能灵活运用以下性质 即下标和性质 若p q m n 则有ap aq am an 若2m p q 则有2am ap aq p q m n n 可使解题过程简洁明快 5 方程思想的应用 利用公式列方程 组 解决 知三求二 即知道an a1 n d sn这五个量中的任意三个就可以求出其余的两个 问题 要求选用公式要恰当 特别要注意运用函数 方程的观点和方法 揭示等差数列的特征及基本量之间的关系 感悟高考 品味高考 1 2012 辽宁卷 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则a2 a10 a 12b 16c 20d 24 解析 由等差数列的性质m n i j m n i j n 则am an ai aj 故而a4 a8 a2 a10 16 故选b 答案 b 2 2012 湖北卷 已知等差数列 an 前三项的和为 3 前三项的积为8 1 求等差数列 an 的通项公式 2 若a2 a3 a1成等比数列 求数列 an 的前n项和 所以由等差数列通项公式可得an 2 3 n 1 3n 5或an 4 3 n 1 3n 7 故an 3n 5或an 3n 7 记数列 an 的前n项和为sn 当n 1时 s1 a1 4 当n 2时 s