高考数学总复习 第八章 第一节空间简单几何体的结构课件 文.ppt

第一节空间简单几何体的结构 第八章立体几何初步 考纲要求 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 课前自修 知识梳理 一 空间简单几何体及其结构 一 柱 锥 台 球的结构特征 1 柱体 1 棱柱 一般的 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的几何体叫做棱柱 棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面 简称为底 其余各面叫做棱柱的侧面 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 如图a 底面是三角形 四边形 五边形 的棱柱分别叫做三棱柱 四棱柱 五棱柱 2 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱 旋转轴叫做圆柱的轴 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面 无论旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 如图b 棱柱与圆柱统称为柱体 2 锥体 1 棱锥 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体叫做棱锥 这个多边形面叫做棱锥的底面或底 有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱 如图c 底面是三角形 四边形 五边形 的棱柱分别叫做三棱锥 四棱锥 五棱锥 2 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 旋转轴为圆锥的轴 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面 如图d 棱锥与圆锥统称为锥体 3 台体 1 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥 底面和截面之间的部分叫做棱台 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面 棱台也有侧面 侧棱 顶点 如图e 2 圆台 用一个平行于底面的平面去截圆锥 底面和截面之间的部分叫做圆台 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面 圆台也有侧面 母线 轴 如图f 圆台和棱台统称为台体 4 球及其有关概念 以半圆的直径所在的直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体 简称为球 半圆的圆心叫做球的球心 半圆的半径叫做球的半径 半圆的直径叫做球的直径 如图g 用一个平面去截一个球 截面是圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 球的任意截面 不是大圆面 的圆心与球心的连线垂直于截面 若设球的半径为r 截面圆的半径为r 截面圆的圆心与球心的连线长为d 则d2 r2 r2 5 组合体 由柱 锥 台 球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体 如图h 二 特殊的棱柱 棱锥 棱台 直棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱 正棱柱 底面是正多边形的直棱柱 正棱锥 底面是正多边形 棱锥的顶点在底面上的射影是正多边形的中心 各侧面是全等的等腰三角形 正棱台 两底是正多边形 且两底中心连线垂直于底面的棱台叫做正棱台 也可以认为它是由正棱锥截得的棱台 正棱台各侧面是全等的等腰梯形 三 几种常见凸多面体间的关系 四 一些特殊棱柱 棱锥 棱台的概念和主要性质 基础自测 1 下列命题中正确的是 a 棱柱的底面一定是平行四边形b 棱锥的底面一定是三角形c 棱台的底面是两个相似的正方形d 棱台的侧棱延长后必交于一点 解析 棱柱 棱锥 棱台的底面是任意多边形 答案 d 2 2012 杭州市模拟 用任意一个平面截一个几何体 各个截面都是圆面 则这个几何体一定是 a 圆柱b 圆锥c 球体d 圆柱 圆锥 球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时 截面分别为矩形和三角形 只有球满足任意截面都是圆面 故选c 答案 c 3 在下图的几何体中 有 个是柱体 解析 柱体包括棱柱与圆柱 图中 都是柱体 故填4 答案 4 4 由7个面围成 其中两个面是互相平行且全等的正五边形 其他面都是全等的矩形 则这个几何体的名称是 解析 根据棱柱的定义可知 该几何体是正五棱柱 答案 正五棱柱 考点探究 考点一 简单几何体概念的辨析 例1 1 在棱柱中 a 只有两个面平行b 所有的棱都平行c 所有的面都是平行四边形d 两底面平行 且各侧棱也互相平行 2 下列关于简单几何体的说法 斜棱柱的侧面中不可能有矩形 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥 圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截得截面与底面之间的部分 其中正确的个数是 a 0b 1c 2d 3 思路点拨 解决关于简单几何体的概念性的问题时要紧扣简单几何体的定义 不可想当然 解析 1 由棱柱的概念知 d正确 2 斜棱柱的侧面中也可能有矩形 想象将侧面正对我们的长方体 向前 后 压斜时 正对我们的侧面及其对面可保持是矩形 可见斜棱柱的侧面中可能有0个 1个或2个矩形 但可以证明不可多于两个 棱柱的定义是 有两个面互相平行 其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫棱柱 每相邻两个四边形的公共边互相平行 条件不能少 否则就可能不是棱柱 如右图 正棱锥的定义中有两个本质要素 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 侧面是等腰三角形并不能保证上述两个条件成立 这样的反例也好找 比如底面是任意三角形 但三条侧棱长都相等的三棱锥 类似于棱台与棱锥的关系 圆台也可看成是圆锥被平行于底面的截面所截得 故只有说法 正确 答案 1 d 2 b 点评 在判断概念性命题时 要紧扣定义 完全满足定义要求 才能断定命题为真 要断定命题为假时 只需找到一个反例即可 变式探究 1 给出如下四个命题 棱柱的侧面都是平行四边形 棱锥的侧面为三角形 且所有侧面都有一个共同的公共点 多面体至少有四个面 棱台的侧棱所在直线均相交于同一点 其中正确的命题有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 根据棱柱 棱锥 多面体和棱台的概念可以判断四个命题都正确 故选d 答案 d 考点二 多面体表面上两点的最短距离问题 例2 在三棱锥pabc中 pa pb pc 2 apb bpc apc 30 一只蚂蚁从a点出发沿四面体表面绕一周 再回到a点 问 蚂蚁经过的最短路程是多少 解析 如下图 1 三棱锥pabc 沿棱pa展开得右图 2 蚂蚁经过的最短路程应是aa 又 apb bpc apc 30 aa 2 变式探究 2 如图 在正三棱柱abca1b1c1中 ab aa1 4 m在aa1上 am 3 p在bc上 p沿棱柱的侧面经过棱cc1到m的最短路线的长为3 设这条路线与cc1的交点为n 求pc与cn的长 解析 如图 将矩形bb1c1c绕棱cc1旋转 使其与侧面aa1c1c在同一平面内 点p运动到p1 连接mp1 则mp1就是点p沿棱柱侧面经过棱cc1到m的最短路线 设pc x 则p1c x 在rt map1中 有 4 x 2 32 3 2 解得x 2 舍去x 10 pc p1c 2 由rt p1cn rt p1am 得 解得cn 1 考点三 与正方体的表面展开图相关的问题 例3 图1是正方体的表面展开图 a b c d是展开图上的四点 在正方体中 acb和 dca的度数分别为多少 当正方体的棱长为2时 acd的面积等于多少 图1图2 解析 将正方体的表面展开图还原成正方体 如图2所示 正方体的各个面均为正方形 acb是以 abc为直角的等腰直角三角形 acb 45 又 ac cd ad均为全等正方形的对角线 ac cd da dca 60 当正方体的棱长为2时 则ac cd da 2 即 acd是以2为边长的正三角形 s acd 2 2 2 变式探究 3 2012 江门市一模 如图是某个正方体的表面展开图 l1 l2是两条侧面对角线 则在正方体中 l1与l2 a 互相平行b 异面且互相垂直c 异面且夹角为d 相交且夹角为 解析 将展开图恢复成正方体 可以看出l1与l2相交且夹角为 故选d 答案 d 考点四 旋转体与多面体的内接 外接 相关的问题 例4 如图 一个正方体内接于高为40 底面半径为30的圆锥 则正方体的棱长是多少 思路点拨 利用轴截面来分析正方体的棱长 圆锥母线等相互间的关系 解析 如图 作过正方体对角面的轴截面 po 40 oa 30 设正方体棱长bc x 则o1c x 即 解得x 120 3 2 正方体的棱长是120 3 2 点评 此题考查柱锥结构特点及基本量的计算 对于旋转体 一般利用它们的轴截面求解问题 变式探究 4 2012 潍坊市一模 已知矩形abcd的面积为8 当矩形周长最小时 沿对角线ac把 acd折起 则三棱锥dabc的外接球的表面积等于 a 4 b 8 c 16 d 24 解析 设矩形的长和宽分别为a b 则ab 8 周长最小值为2a 2b 4 8 当且仅当a b 2时取等号 周长最小时 矩形为正方形 正方形对角线长为4 易知不论 acd折起到什么位置 正方形的中心总是球心 r 2 外接球表面积为4 r2 16 故选c 答案 c 考点五 与长方体棱长 对角线长相关的问题 例5 一个长方体全面积是20cm2 所有棱长的和是24cm 求长方体的对角线长 由 2得 x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz 36 由 得x2 y2 z2 16 即l2 16 所以l 4 cm 解析 设长方体的长 宽 高 对角线长分别为xcm ycm zcm lcm 变式探究 1 几类特殊的多面体及它们之间的关系 2 柱体 圆柱与棱柱 台体 圆台与棱台 锥体 圆锥与棱锥 的联系 3 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 4 对几何体定义的理解要准确 要想真正把握几何体的结构特征 必须多角度 全面地去分析 多观察实物 提高空间想象能力 现实世界中的物体表示的几何体 除柱体 锥体 台体和球体等简单几何体外 还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的 这些几何体称为简单组合体 它们的构成有两种基本形式 一是由简单几何体拼接而成 简称拼接法 二是由简单几何体截去或挖去一部分而成 简称截挖法 在常见几何体中 要特别注意直棱柱 正棱柱 正棱锥的概念 特别是长方体 正方体 四面体 四棱锥中线面关系 常作为考查的模型载体 感悟高考 品味高考 1 到正方体abcd a1b1c1d1的三条棱ab cc1 a1d1所在直线的距离相等的点 a 有且只有1个b 有且只有2个c 有且只有3个d 有无数个 解析 到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆柱面上 三个圆柱面有无数个交点 故选d 答案 d 2 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 那么一个正五棱柱对角线的条数共有 a 20b 15c 12d 10 解析 一个下底面5个点 每个下底面的点对于5个上底面的点 满足条件的对角线有2条 所以共有5 2 10条 答案 d 高考预测 1 如图 已知正三棱柱abc a1b1c