高考数学总复习 第六章 第六节直接证明与间接证明课件 理.ppt

第六节合情推理与演绎推理 第六章不等式 推理与证明 考纲要求 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 课前自修 知识梳理 一 推理的概念根据一个或几个已知事实 或假设 得出一个判断 这种思维方式叫做推理 从结构上说 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做前提 一部分是由已知推出的判断 叫做结论 二 合情推理根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理称为合情推理 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类 1 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 简言之 归纳推理是由部分到整体 个别到一般的推理 归纳推理简称归纳 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理简称类比 三 演绎推理从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 三段论是演绎推理的一般模式 它包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情况 3 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 基础自测 1 2012 江门市调研 定义a b b c c d d a的运算结果分别对应下图中的 1 2 3 4 那么下图中的 m n 所对应的运算结果可能是 a b d a db b d a cc b c a dd c d a d 解析 根据图 1 2 3 4 和定义的运算知 a对应竖线 b对应正方形 c对应横线 d对应圆 m 对应b d n 对应a c 故选b 答案 b 2 2011 巢湖市模拟 给出下面类比推理命题 其中q为有理数集 r为实数集 c为复数集 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 若a b c d r 则复数a bi c di a c b d 类比推出 若a b c d q 则a b c d a c b d 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 其中类比结论正确的个数是 a 0b 1c 2d 3 答案 c 4 2011 合肥市调研 图 1 2 3 4 分别包含1个 5个 13个 25个第二十九届北京奥运会吉祥物 福娃迎迎 按同样的方式构造图形 设第n个图形包含f n 个 福娃迎迎 则f 5 f n f n 1 答案用数字或n的解析式表示 41 4 n 1 考点探究 考点一 归纳推理 例1 2012 湖北荆门 天门等八市联考 如图所示 有三根针和套在一根针上的n个金属片 按下列规则 把金属片从一根针上全部移到另一根针上 1 每次只能移动一个金属片 2 在每次移动过程中 每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面 将n个金属片从1号针移动到3号针最少需要移动的次数记为f n 则f 3 f n 思路点拨 通过具体操作 先求f 1 f 2 再求f 3 从中找到规律 解析 n 1时 直接由1号针移到3号针 f 1 1 n 2时 先把较小的移到2号针 把较大的移到3号针 再把较小的移到3号针 f 2 3 n 3时 按照1 3 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 1 3的顺序移动 f 3 7 归纳可得f n 2n 1 答案 72n 1 点评 应用归纳推理解题时 一是要通过观察个别情况发现某些相同的性质 二是要从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 变式探究 1 2011 上海市奉贤区调研 下图都是由棱长为1的正方体叠成的图形 例如 第 1 个图形的表面积为6个平方单位长度 第 2 个图形的表面积为18个平方单位长度 第 3 个图形的表面积是36个平方单位长度 依此规律 则第n个图形的表面积是 个平方单位长度 解析 设第n个图的表面积记为f n 则f 1 6 f 2 18 f 1 6 2 f 3 36 f 2 6 3 f n f n 1 6n f n f n 1 6n n 2 3 4 f n 6 6 2 6 3 6n 6 1 2 3 n 3n n 1 答案 3n n 1 例2 2011 汕头市期末 设直角三角形的两条直角边的长分别为a b 斜边长为c 斜边上的高为h 则有 a2 b2 c2 h2 a3 b3c4 h4 a5 b5 c5 h5其中正确结论的序号是 进一步得到的一般结论是 解析 在直角三角形中 a csina b ccosa ab ch 故h csinacosa an bn cn sinna cosna an bn cn hn cn sinna cosna 1 sinnacosna cn sinna 1 1 cosna 0 所以an bn cn hn 故填 答案 an bn cn hn n n 变式探究 解析 观察1 3 7 15 与对应项的关系 显然满足2n 1 观察2 4 8 16 与对应项的关系 显然满足2n 故fn x 答案 考点二 类比推理 例3 已知命题 若数列 an 为等差数列 且am a an b m n m n n 则am n 现已知等比数列 bn bn 0 n n bm a bn b m n m n n 若类比上述结论 则可得到bm n 解析 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am 等差数列中的bn am可以类比等比数的 等差数列中的可以类比等比数列中的 故bm n 答案 变式探究 例4 若三角形的内切圆半径为r 三边的长分别为a b c 则三角形的面积s r a b c 根据类比思想 若四面体的内切球半径为r 四个面的面积分别为s1 s2 s3 s4 则此四面体的体积v 解析 设四面体的内切球的球心为o 则球心o到四个面的距离都是r 所以四面体的体积等于以o为顶点 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和 答案 r s1 s2 s3 s4 点评 关于空间问题与平面问题的类比 通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比 多面体 多边形 线 点 面 边 体积 面积 二面角 平面角 面积 线段长 变式探究 4 2012 常德市模拟 在 abc中 若bc ac ac b bc a 则 abc的外接圆半径r 将此结论拓展到空间 可得出的正确结论是 在四面体sabc中 若sa sb sc两两垂直 sa a sb b sc c 则四面体s abc的外接球半径r 考点三 演绎推理 例5 证明 函数f x x2 2x在 1 上是减函数 思路点拨 证明本题的大前提是减函数的定义 即函数f x x2 2x满足 在给定的区间内任取自变量的两个值x1 x2 x1f x2 小前提是函数f x x2 2x x 1 满足减函数的定义 证明 任取x1 x2 1 且x11 x2 x1 x2 x1 0 x1 x2 2 0 f x1 f x2 x2 x1 x1 x2 2 0 函数f x x2 2x在 1 上是减函数 点评 演绎推理是证明数学问题的基本推理形式 因此在高考中经常出现 三段论 推理是演绎推理的一种重要的推理形式 是由一般到特殊的推理 在前提真实并且推理形式正确的前提下 其结论就必然真实 变式探究 5 2012 江苏卷 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de f为b1c1的中点 求证 1 平面ade 平面bcc1b1 2 直线a1f 平面ade 证明 1 abc a1b1c1是直三棱柱 cc1 平面abc 又 ad 平面abc cc1 ad 又 ad de cc1 de 平面bcc1b1 cc1 de e ad 平面bcc1b1 又 ad 平面ade 平面ade 平面bcc1b1 2 a1b1 a1c1 f为b1c1的中点 a1f b1c1 又 cc1 平面a1b1c1 且a1f 平面a1b1c1 cc1 a1f 又 cc1 b1c1 平面bcc1b1 cc1 b1c1 c1 a1f 平面bcc1b1 由 1 知ad 平面bcc1b1 a1f ad 又 ad 平面ade a1f 平面ade 直线a1f 平面ade 1 归纳推理的几个特点 1 归纳是依据特殊现象推断一般现象 因而 由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围 2 归纳是依据若干已知的 没有穷尽的现象推断尚属未知的现象 因而结论具有猜测性 3 归纳的前提是特殊的情况 因而归纳是立足于观察 经验 实验和对有限资料分析的基础之上 提出带有规律性的结论 2 归纳推理的一般步骤 1 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 2 提出带有规律性的结论 即猜想 3 检验猜想 3 类比推理的几个特点 1 类比是从人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究的事物的属性 是以旧有的认识为基础 类比出新的结果 2 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 3 类比的结果是猜测性的 不一定可靠 但它却有发现的功能 4 类比推理的一般步骤 1 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 2 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 3 检验猜想 5 合情推理与演绎推理的区别 1 归纳是由特殊到一般的推理 2 类比是由特殊到特殊的推理 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 是证明数学问题的基本推理形式 数学结论 证明思路的发现 主要靠合情推理 也就是说 在具体问题中 常用合情推理猜测发现结论 而利用演绎推理去验证或证明发现的结论 6 三段论 推理的依据 可用集合的观点来理解 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的一个子集 那么s中所有元素也都具有性质p 感悟高考 品味高考 1 2012 江西卷 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 a 28b 76c 123d 199 解析 观察各等式的右边 它们分别为1 3 4 7 11 发现从第3项开始 每一项就是它的前两项之和 故等式的右边依次为1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 故a10 b10 123 故选c 答案 c 2 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间内 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 解析 两个正四面体的体积比应等于它们的棱长比的立方 故应为1 8 答案 1 8 高考预测 1 2012 广东执信中学测试 观察下列等式 1 x x2 1 1 x x2 1 x x2 2 1 2x 3x2 2x3 x4 1 x x2 3 1 3x 6x2 7x3 6x4 3x5 x6 1 x x2 4 1 4x