高考数学总复习 第十章 第七节几何概型课件 理.ppt

第七节几何概型 第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 考纲要求 1 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 2 了解几何概型的意义 会求较简单的几何概型问题的概率 课前自修 知识梳理 一 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成正比 则这样的概率模型叫做几何概型 也就是说 事件a为区域 的某一子区域a a的概率只与子区域a的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与a的位置和形状无关 满足以上条件的试验称为几何概型 二 在几何概型中 事件a发生的概率的计算公式其中 表示区域 的几何度量 a表示子区域a的几何度量 三 几何概型的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 四 均匀随机数均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用 我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数 从而来模拟随机试验 其具体方法是 建立一个概率模型 它与某些我们感兴趣的量 如概率值 常数 有关 然后设计适当的试验 并通过这个试验的结果来确定这些量 基础自测 1 2012 北京卷 设不等式组表示的平面区域为d 在区域d内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 解析 设事件a 点到坐标原点的距离大于2 如图 p a 故选d 答案 d 2 2011 福州市质检 在区间 内随机取两个数分别记为a b 则使得函数f x x2 2ax b2 2有零点的概率为 a 1 b 1 c 1 d 1 答案 b 3 方程x2 x n 0 n 0 1 有实根的概率为 a b c d 解析 由 1 4n 0得n 又n 0 1 故所求事件的概率为p 故选c 答案 c 4 2011 徐州市一调 在区间 5 5 内随机地取出一个数a 使得1 x 2x2 ax a2 0 的概率为 解析 由1 x 2x2 ax a2 0 得a2 a 2 0 1 a 2 所以所求概率为 答案 0 3 考点探究 考点一 与长度有关的几何概型 例1 1 一只蚂蚁在三边长分别为3 4 5的三角形的边上爬行 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 2 已知m 1 7 则函数f x 4m 1 x2 15m2 2m 7 x 2在实数集r上是增函数的概率为 解析 1 如图 该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为 1 2 3 6 故所求概率为p 2 f x x2 2 4m 1 x 15m2 2m 7 依题意 知f x 在r上恒大于或等于0 所以 4 m2 6m 8 0 得2 m 4 又m 1 7 所以所求的概率为答案 1 2 点评 解决概率问题先判断概型 本题属于几何概型 满足两个条件 1 每次试验的结果有无限多个 且全体结果可用一个有度量的几何区域表示 2 每次试验的各种结果是等可能的 解答本题要抓住它的本质特征 即与长度有关 变式探究 1 1 两根相距6m的木杆上系一根绳子 并在绳子上挂一盏灯 则灯与两端距离都大于2m的概率为 2 2011 湖南十二校联考 在区间 3 5 上随机取一个数x 则x 1 3 的概率为 a b c d 解析 1 记 灯与两端距离都大于2m 为事件a 则p a 2 p x 1 3 故选c 答案 1 2 c 考点二 与面积有关的几何概型 例2 在可行域内任取一点 规则如程序框图所示 求能输出数对 x y 的概率 思路点拨 即在可行域内取点 x y 求它在x2 y2 内的概率 解析 由题意 求输出的数对 x y 的概率 即求x2 y2 所表示的平面区域与不等式组所表示的平面区域面积的比 如图所示 所求概率p a 点评 本题是与区域有关的概率问题 而区域是用面积表示的 所以 可用面积比来表示所求概率 变式探究 2 1 2012 山东实验中学第一次诊断 已知函数f x 3x2 ax b 若a b都是在区间 0 4 内任取一个数 则f 1 0的概率为 2 2011 吉安市二模 如图 设t是直线x 1 x 2与函数y x2的图象在x轴上方围成的直角梯形区域 s是t内函数y x2图象下方的点构成的区域 图中阴影部分 向t中随机投一点 则该点落入s中的概率为 a b c d 解析 1 根据已知条件 我们把a b作为横坐标和纵坐标 然后在直角坐标系内作图 来利用面积比来求几何概型的概率值 如图所示 a b满足的范围就是边长为4的正方形 而f 1 0即a b 3 表示直线的右上方 即阴影部分的区域 故所求的概率答案 1 2 b 考点三 与体积有关的几何概型 例3 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 点o为底面abcd的中心 在正方体abcd a1b1c1d1内随机取一点p 则点p到点o的距离大于1的概率为 a b 1 c d 1 解析 依题意知 这是一个与体积有关的几何概型问题 在正方体abcda1b1c1d1内随机取一点p 因点p到点o的距离大于1 因此点p应在以o为球心 以1为半径的半球之外 但又在正方体内 设所求的概率为p a 则故选b 答案 b 变式探究 3 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 在正方体内随机取一点m 则使四棱锥mabcd的体积小于的概率是 考点四 几何概型的实际应用题 例4 甲 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头 它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的 1 如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率 2 如果甲船的停泊时间为4小时 乙船的停泊时间为2小时 求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率 思路点拨 将两艘船的到达时间分别设为x y 依据题设条件得到关于x y的不等式 在坐标系中表示区域 用面积关系求得概率 变式探究 4 甲 乙两人约定于6时到7时之间在某地会面 并约定先到者应等候另一个人一刻钟 过时即可离去 求两人能会面的概率 解析 以x和y分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人能够会面的条件是 15 在平面上建立直角坐标系如图 则 x y 的所有基本事件可以看作是边长为60的正方形 而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示 这是一个几何概型问题 由几何概型的概率公式得p 两人能会面 1 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型 几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型 2 使用几何概型的概率计算公式时 一定要注意其适用条件 每个事件发生的概率只与构成该事件的几何图形的几何度量 长度 面积或体积 成比例 几何概型主要用于解决与长度 面积 体积有关的概率题目 3 用几何概型计算事件的概率时 关键是要构造出随机事件对应的几何图形 利用几何图形的几何度量 长度 面积或体积 来求随机事件的概率 4 均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用 我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数 从而来模拟随机试验 感悟高考 品味高考 1 2012 辽宁卷 在长为12cm的线段ab上任取一点c 现作一矩形 邻边长分别等于线段ac cb的长 则该矩形面积小于32cm2的概率为 a b c d 解析 令ac x cb 12 x 这时的面积为s x 12 x 根据条件s x 12 x 0 0 x 4或8 x 12 则矩形面积小于32cm2的概率p 故选c 答案 c 2 已知圆c x2 y2 12 直线l 4x 3y 25 1 圆c的圆心到直线l的距离为 2 圆c上任意一点a到直线l的距离小于2的概率为 解析 1 圆心到直线的距离为 d 5 2 当圆c上的点到直线l的距离是2时有两个点为点b与点d 设过这两点的直线方程为4x 3y c 0 同时可得到的圆心到直线4x 3y c 0的距离为oh 3 又圆的半径为r 2 可得 bod 60 由图可知点a在弧上移动 弧长l c 圆周长c 故p a 答案 1 5 2 高考预测 1 2012 常州模拟 在区间 0 10 内随机取出两个数 则这两个数的平方和也在区间 0 10 内的概率是 解析 将取出的两个数分别用x y表示 则0 x 10 0 y 10 如图所示 当点 x y 落在图中的阴影区域时 取出的两个数的平方和也在区间 0 10 内 故所求概率为 答案 2 已知集合a 2x 3 0 b 1 在区间 4 4 上任取一个实数x 求 x a b 的概率 2 设 a b 为有序实数对 其中a是从集合a中任取的一个整数 b是从集合b中任取的一个整数 求 b a a