工程力学第11章压杆的稳定性问题答案.doc

工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第 11 章)范钦珊唐静静2006-12-184第 11 章压杆的稳定性问题111 关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界载荷之后，还能不能继续承载有如下四 种答案，试判断哪一种是正确的。（A）不能。因为载荷达到临界值时屈曲位移将无限制地增加；（B）能。因为压杆一直到折断时为止都有承载能力；（C）能。只要横截面上的最大正应力不超过比例极限；2正确答案是 C 。（D）不能。因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。112 今有两根材料、横截面尺寸及支承情况均相同的压杆仅知长压杆的长度是短压 杆的长度的两倍。试问在什么条件下短压杆临界力是长压杆临界力的 4 倍?为什么?解：只有当二压杆的柔度 时，才有题中结论。这是因为，欧拉公式 F= EI ，只有在弹性范围才成立。这便要求P P 。Pcr(l ) 2113 图示四根压杆的材料及横截面(直径为 d 的圆截面)均相同，试判断哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。习题 113解：计算各杆之柔度： = l ，各杆之 i 相同i（a） a= 5l i( = 1)（b） b（c） = 4.9l i= 4.5l( = 0.7)( = 0.5)c（d） di= 4l i( = 2)可见 a b c d ，故（a）最容易失稳，（d）最不容易失稳。114三根圆截面压杆的直径均为 d=160mm，材料均为 A3 钢，E200GPa，s240MPa。已知杆的两端均为铰支，长度分别为 l1、l2 及 l3，且 l1=2l2=4l3=5m。试求各杆的临界力。3解： i = d / 4 = 160 / 4 = 40mm ， = 1 = l11i= 5 1040= 1.253 = l22il =33i= 2.5 10403= 1.25 1040= 62.5= 31.5对于 A3 钢， P = 102,s = 61.6 。因此，第一杆为大柔度杆，第二杆为中柔度杆，第三杆为小柔度杆。于是，第一杆的临界力F= A = 2 E d 2 3 200 10 6=160 210 6= 2540kNPcr cr24125 2 4第二杆的临界力F = (a b ) A = (304 1.12 62.5) 103 160 210 6= 4705kNPcr 4第三杆的临界力F = A = 240 103 3 160 210 6= 4825kNPcr s 4115图示 a、b、c、d 四桁架的几何尺寸、圆杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力 FPmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确 的。（A）FPmax(a)=FPmax(c)FPmax(b)=FPmax(d)；（B）FPmax(a)=FPmax(c)=FPmax(b)=FPmax(d)；（C）FPmax(a)=FPmax(d)FPmax(b)=FPmax(c)；正确答案是 A 。习题 115 图FPmax(a)=FPmax(b)FPmax(c)=FPmax(d)。（ D ）解：各杆内力如习题 11-5 解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A）。FP 0FP -FPFP 0FP -FP 2 FPFP 00FP2 FP0FP FP 2 FP02 FP00-FP-FP习题 11-5 解图116提高钢制细长压杆承载能力有如下方法试判断哪一种是最正确的。（A）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿横截面两形心主轴方向的长细比相等；（B）增加横截面面积，减小杆长；（C）增加惯性矩，减小杆长；（D）采用高强度钢。 2 EI正确答案是 A 。 解：由细长杆临界力公式： FPcr= min 中各量可知；另外各种钢的弹性模量 E 值(l )2差别不大。正确答案是A 。 A117 根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷F = cr 。当横截面面积 A 增加一倍Pn st时，试分析压杆的许可载荷将按下列四种规律中的哪一种变化？（A）增加 1 倍；（B）增加 2 倍；（C）增加 l2 倍；（D）压杆的许可载荷随着 A 的增加呈非线性变化。正确答案是 D 。解：由于 i =I ，长细比 = l ，而临界应力 Aicr2 E=或 cr2= a b crP所以， A 不存在线性关系，F = crnstA 与面积 A 之间为非线性关系。所以，正确答案是 D 。118已知图示液压千斤顶顶杆最大承重量 FP167 kN， 顶杆直径 d52 mm，长度 l0.5 m，材料为 Q235 钢，顶杆的下端为固定端约束，上端可视为自由端。试求：顶杆的 工作安全因数。解：1判断压杆的类型 = l = l = 4 2 0.5 = 76.9属于中长杆i d452 1042计算临界力FPcr cr A = (a b )d 24-3 2 (52 10 )= (304 76.9 1.12)106 4= 462.7 103 N=462.7 kN3确定工作安全因数习题 118 图wn = FPcr = 462.7 = 2.77FP 167119 图示托架中杆 AB 的直径 d40 mm。长度 l800 mm。两端可视为球铰链约束，材料为 Q235 钢。试：1求托架的临界载荷。5习题 119 图2若已知工作载荷 FP70 kN，并要求杆 AB 的稳定安全因数nst=2.0，校核托架是否 安全。3若横梁为 No.18 普通热轧工字钢，160Mpa，则托架所能承受的最大载荷有没 有变化？解：111求托架的临界载荷（图（a） sin =74C B DFAB M C = 0 ， 900FP = 600FAB sin FP(a)F = 2 FP3 ABsin =76 FAB（1）i = d = 10 mm4 = l i= 1 80010= 80 P ，中长杆cr = 304 1.14 = 304 1.14 80= 212.8 MPaFABcr = cr A = cr d 24= 212.8 (40 103 )24= 0.2674 MN = 267.4 kNFPcr =7 267.4 kN = 118 kN62校核托架是否安全当已知工作载荷为 70kN 时由（1）， FAB =267.4P6 F = 158.7 kN7nw = 1.685 n，不安全。158.7st3横梁为 No.18 普通热轧工字钢，160Mpa，计算托架所能承受的最大载荷条件 = 160MPa 意谓着既要保证 CD 强度，又要保证 AB 杆稳定。CD 梁中：M max = M B = 0.3FP ，Nx AB P ，F = F cos = 3 cot F2FQ = FP = M B + FNx max W A ， 0.3FP185 10 83 cot F+ 2 P30.6 10 4 160 10 6 ，FP 73.5 kN 2 使轴受压力 FN。这是轴向载荷作用下的静不定问题。变形谐调条件为：1 (t 2 t1 )l FN lEA= 2 (t 2 t1 )l由此解出轴所受的轴向载荷为：FN = (1 2 )(t 2 t1 )EA弹性屈曲范围的长细比的低限P =22 E= p22 210 109300= 83根据支承条件以及轴的几何尺寸，计算轴的长细比i = d = 6 = 1.5 mm44 = 1 = l = 1150 = 100 属细长杆i 1.5P采用，欧拉公式计算临界力FPcr = cr A =2 E2轴的工作安全因数n = FPcr =2 EAwF 2 ( )(t t ) EAN12212= 1.645 n = 21002 0.5 105 120st所以，轴不安全。1111 图示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成， 连接处均为铰链，各杆直径均为 d40 mm，a1 m。材料均为 Q235 钢，E200 GPa，nst1.8。试；l求结构的许可载荷；习题 1111 图2若 FP 力的方向与 1 中相反，问：许可载荷是否改变，若有改变应为多少？解：1（1）由静力平衡得到：F = F= F = F=2 F（压）ABADBCCD2 PFDB = FP（拉）（2）对于拉杆 BC，由强度条件，有d 2 FP = FBD= A = 160 10 6 4= 160 40 2 = 201 kN4对于 AB 等压杆，需进行稳定计算： = l = 11000 = 100 = 100i10p采用欧拉公式计算临界力F = FPcr= FBDcr P nnst st2 = BDcr A =1 E 402 10 6 = 68.9nnst st32 4= 1 E 1 402 10 61.8 141.424= 68.9 103 MN = 68.9 kN*1112 图示结构中，梁与柱的材料均为 Q235钢 E200Gpa，s 240MPa。均匀分布载荷集度 q=24 kN/m。竖杆为两根 63 mm63 mm5 mm 等边 角钢(连结成一整体)。试确定梁与柱的工作安全因 数。解：1查型钢表得No.16aI：Iz = 1130cm4，Wz = 141cm32No. 63635： A = 2 6.143 = 12.286 cm2习题 1112 图i y = 1.94cmyI = 2 23.17 = 46.34 cm42梁为静不定问题，由变形谐调条件，得：5ql 43 FN l= FN l384EI z48EI z2EA5ql 3F l 2 N= I z F（1）384482 A NFN =5ql 3=25 24 1032 438= 59.18 kN3梁 AB：384( l48+ I z )2 A384( 4 +481130 10 )2 12.286 10 4 Fy = 0 ， 2FA + FN = 4q梁的支反力：FB = FA = (4 24 59.18) / 2 = 18.41 kN（）M = F 2 1 q 2 2 = 18.41 2 1 24 4 = 11.18 kNmCA2 2梁内最大弯矩值：FQ = FA qx = 0 ，18.41 24x = 0 ，x = 0.767 mM max= 18.41 0.767 1 24 0.767 2 = 7.0625 kNm2| M |max =| M C |= 11.18 kNm梁内最大正应力：max| M |11.18 10 3W =79.29 MPamaxz梁的安全系数：=14110 64柱 CD：n = s max= 24079.29= 3.03 = l = 1 200 = 103 100i2 E1.942 200 103 MPacr = 2 =1032= 186 MPa3FPcr = cr A = 186 1012.286 104= 228.5 kNn = FPcr = 228.5 = 2.31FNst 98.63*1113 图示工字钢直杆在温度 t120 C 时安装，此时杆不受力。已知杆长 l=6 mm，材料为 Q235 钢，E200 GPa。