五年级奥数讲义.doc

第1讲 巧求周长和面积几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。几何问题非常直观、有趣，但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好。之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利的解决。本讲掌握长度与面积的概念和基本计算方法。学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；运用平移、旋转、对称等方法处理某些面积计算问题。学海导航巧求周长（三年级秋季） 巧求周长与面积（四年级暑假） 等积变换（四年级春季） 巧求周长与面积（本讲） 直线型面积（一）（五年级秋季） 直线型面积（二）（五年级秋季） 直线型面积（三）（五年级寒假）知识要点周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。长方形周长公式：正方形周长公式：方法：公式法、平移线段法、标向法面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。长方形面积公式：正方形面积公式：三角形面积公式：平行四边形面积公式：梯形面积公式： 方法：公式法、割补法（将图形平移、对称、旋转）例题详解【例1】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【例2】如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。这个多边形的周长是多少？【例3】小申同学用编号为1、2、3、4、5的大小不同的正方形拼出一个长方形，如图所示，则编号为5正方形的周长是多少厘米？【例4】申老师计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积是300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？【例5】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示。如果铺满这块地面共用了101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？【例6】（日本小学数学奥林匹克大赛预赛第10题）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【例7】 如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各条边的中点，正方形ABCD的面积是5，求中间阴影部分的面积。例8（湖北省数学邀请赛五年级初赛第6题）如图，平行四边形BDEF的底BD=15厘米，三角形AFE的高AG=15厘米，三角形ABC的底BC=25厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？A .225 B.200 C.150 D.175课后作业【练习1】申老师班上有两个学生：真真、佳佳，他们是好朋友，放学后两人一起回家，真真走第一条路，佳佳走第二条路，他们的速度一样，那么谁会先到家呢？【练习2】如图所示，已知长方形的长AB是40厘米，剪去一个正方形ADFE后剩下的长方形的周长是多少厘米？【练习3】由六个正方形组成的“十字架”面积是150平方厘米，它的周长是多少厘米？【练习4】如图是由16个大小一样的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是多少厘米？【练习5】（湖北省数学邀请赛五年级决赛第21题）如图，有边长分别是16分米和24分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成四部分。甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方分米？【练习6】如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长和是240厘米，面积和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米轻松一刻打哪儿知道尤拉：“妈妈，我向您提个问题行吗？”妈妈：“行啊，你提吧。”尤拉：“我生下来时，您打哪儿知道我叫尤拉呢？”第二讲 质数与合数一、教学目标1、认识质数与合数 2、学习分解质因数 3、学习质数与合数的应用二、知识体系特殊数的整除 - 奇偶分析法 - 整除 - 奇数与偶数 三年级 四年级暑假 四年级秋季 四年级春季质数与合数 - 约数与倍数 - 数论综合- 同余定理 五年级暑假 五年级暑假 五年级暑假 五年级秋季三、知识要点质数：除了1和本身，没有其他约数的正整数叫质数。合数：除了1和本身，还有其他约数的正整数叫合数。特殊地，1既不是质数也不是合数。最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数。质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。互质数：公约数只有1的两个正整数，叫做互质数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例题详解【例1】 请写出100以内的质数【例2】判断下列数是否为质数：101 107 111 113 119 123 131 143 139 181 193【例3】对7个不同质数求和，和为58，则最大的质数是多少？【例4】用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【例5】(2004年走美杯)分解质因数20034 【例6】四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？【例7】若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【例8】（迎春杯少年数学邀请赛决赛）一个长方形的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方形的表面积是多少平方厘米？ 回家作业【练习1】判断下列数是否为质数：103 109 117 127 137 149 191 197 247【练习2】有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，把它求出来。【练习3】A，B，C 为3个小于20的质数，ABC30，求这三个质数。【练习4】9个连续的自然数，他们都大于80，那么其中质数最多有多少个【练习5】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数【练习6】在放暑假的8月份，小申有五天是在外婆家过的。这五天的日期除去一天是合数外，其它四天的日期全是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2再减1，这个合数乘上2再加1。问：小申是哪几天在外婆家住的？ 医生替一名脾气不好的患者检查身体。 “你哪儿不舒服？”他关切地问道。 “先生，”病人咆哮道，“既然你已经收了诊金，那就该由你来找。” “我明白了，”医生想了一会说，“请你给我一个钟头时间，我出去找一位朋 友-他是一个兽医。我知道，只有这家伙才能不向患者提任何问题就能够作出诊断。”第三讲 约数与倍数一、教学目标1、掌握约数与倍数的性质以及求法；2、会利用约数与倍数之间的关系解决问题。二、知识体系奇数与偶数（四年级暑假） 数论一 （四年级秋季）约数与倍数（四升五暑假） 数论综合（五年级秋季、寒假） 数论（整除）质数与合数（四升五暑假） 数阵图（四、五年级春季、寒假）同余定理（五年级秋季） 数字迷（四、五年级春季、寒假）考点：求最大公约数、最小公倍数 约数的个数应用题三、知识要点约数和倍数的定义：如果一个自然数能被自然数整除，那么称为的倍数，为的约数。最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数，公约数中最大的一个就称为这若干个自然数的最大公约数。例如（4，6）2，（6，9，15）3。最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数，公倍数中最小的一个就称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：4，6 12，6，9，15 90。最小公倍数 1、求最小公倍数的方法：分解质因数的方法例如短除法求最小公倍数：例如 所以.2、最小公倍数的性质： 两个数的任意公倍数都是他们最小公倍数的倍数。两个互质的数的最小公倍数就是这两个数的乘积。两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。最大公约数1、求最大公约数的方法：分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。例如短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如，所以辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除以大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数为0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数。（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的） 例如，求105，165的最大公约数：所以105，165的最大公约数为15。2、最大公约数的性质：几个数都除以他们的最大公约数，所得几个商都是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数，所得的积最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以。 例题详解【例1】1）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数8？ 2）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数9？3）24 36 45 60这四个数中，哪些数含有约数15？【例2】（06年中环杯四年级复赛）从一张长1617毫米，宽693毫米的长方形纸片上，剪下一个边长最大的正方形。如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后能剪得正方形多少个？最后剪得的正方形边长是多少毫米？请画示意图表示。【例3】边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形共有多少种？【例4】把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成尽可能大的相等的正方形，而且没有剩余，可以裁成多少块？【例5】现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每个班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了几个班？每个班至少分到三种水果各多少千克？【例6】求48和80的最小公倍数（用两种不同的方法）【例7】（05年小学生数学报全国邀请赛）今年祖父的年龄是小申年龄的6倍，若干年后是他的5倍，再过若干年后是他的4倍。今年祖父、小申各是多少岁，【例8】有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？ 回家作业【练习1】请用辗转相除法求899与372的最大公约数。【练习2】请用短除法求42与108的最小公倍数。【练习3】有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个的数余3个，5个5个的数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？【练习4】一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成米娜及相等的小正方形，而纸无剩余，且使变长最长，问可裁成几张？【练习5】有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？【练习6】两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是540，这样的自然数一共有多少组？一男养一猪，特烦它，就想把它给扔了，但是此猪认得回家的路，扔了好多次都没有成功。某日，此人驾车弃猪，当晚打电话给他的妻子问：“猪归否？”其妻曰：“归矣。”男非常气愤，大吼道：“快让它接电话，我迷路了。”第四讲 数论综合（一）一、教学目标1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、8、9、11等数整除的自然数的特征；2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）；二、知识体系奇数与偶数（四年级暑假） 数论一 （四年级秋季）约数与倍数（四升五暑假） 数论综合（五年级秋季、寒假） 数论（整除）质数与合数（四升五暑假） 数阵图（四、五年级春季、寒假）同余定理（五年级秋季） 数字迷（四、五年级春季、寒假）考点：被2、3、4、5、6、7、8、9、11整除的数的特征分解因式三、知识要点当两个整数和（），被除的余数为0时（商为整数），则称被整除或整除，也把叫作的倍数，叫作的约数；如果被除所得的余数不为0，则称不能被整除，或不整除数的整除特征一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个就能被11整除。如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；部分特殊数的分解：；2011是质数。求一个数所有约数的个数：用分解质因数形式表示：（）那么所求的约数个数为 完全平方数有奇数个约数。求一个数所有约数的和：最大公约数与最小公倍数：如果为、的最大公约数，且那么、互质，所以、的最小公倍数为，所有最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积最大公约数是及最小公倍数的约数 例题详解【例1】720约数有多少个？【例2】（国际数学邀请赛）360的所有约数的和是（ ）。【例3】甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。【例4】能被11整除，求满足条件的整数？【例5】（小学数学世界邀请赛）有一个五位数可同时被9和11整除。若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？【例6】（小数报竞赛）用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有 个。【例7】一个各位数字互不相同的五位数，能被3、5、7、11整除，那么这个五位数最小是 ，最大是 。【例8】老师共为学校买了28支价格一样的钢笔，共付了人民币9（ ）.2（ ）元。已知（ ）数字相同，请问每支钢笔的价格是多少？ 回家作业【练习1】676的约数有多少个？【练习2】如果六位数1992 能被95整除，那么它的最后两位数是 【练习3】将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是 【练习4】从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有 个。【练习5】如果七位数2008能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么，它的最后三位数是 。【练习6】有一个五位数，它可被72整除。请问等于多少?一天地理老师问同学们，河水向哪里流呀？一同学猛站起来唱道：大河向东流啊。老师没理会他，接着说，天上有多少颗星星啊？那位同学又唱道：天上的星星参北斗啊。老师气急：你给我滚出去！学生：说走咱就走啊。老师无奈说：你有病吧？学生：你有我有全都有啊！老师：你再说一句试试。学生：路见不平一声吼啊！老师：你信不信我揍你？学生：该出手时就出手。老师怒了：我让你退学！学生：风风火火闯九州！第五讲 行程问题一、教学目标1、学习复杂平均速度的求法；2、理解行程问题中的比列；3、学习发车间隔问题二、知识体系三、知识要点1、相遇问题： 路程和速度和相遇时间 ； 追及问题：追及距离速度差追及时间 2、平均速度的基本关系式为： 平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间3、发车间隔问题（把握三个点） 相邻两辆车的距离汽车速度发车间隔时间 每隔一个固定时间就有一辆车和人相遇： 相邻两辆车的距离（人的速度汽车速度）固定时间 每隔一个固定时间就有一辆车追上人相邻两辆车的距离（汽车速度人的速度）固定时间 例题详解【例1】申老师在黄浦江上练习划龙舟，从A点出发，到200千米外的B点去，前80千米的平均速度为40千米/时，要想使全程的平均速度为50千米/时，剩下的路程应以什么速度行驶？【例2】小彭老师要跑24公里，他先以平均每小时8千米的速度跑完这段距离的三分之二，而后 加大速度，问：能否在跑完剩下路程时，使全程的平均速度提高到12千米/小时？【例3】彭老师为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假设彭老师在平路上每小时行4千米，上山每小时3千米，下山每小时6千米。求每天彭老师锻炼要走多少米？【例4】喜羊羊和灰太狼之间距离，灰太狼要跑568步。如果灰太狼跑9步的时间喜羊羊跑7步，灰太狼跑5步的距离等于喜羊羊4步的距离。那么它们同时相向而行，相遇时灰太狼跑了多少步？喜羊羊跑了多少步？【例5】甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？【例6】真真放学后，沿着某条公共汽车路线以不变速度步行回家。该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车的发车间隔时间？公共汽车的速度是小明步行速度的几倍？【例7】一个电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟就有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路汽车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？【例8】某汽车公司在公共汽车的起点站和终点站每隔10分钟同时发一辆公共汽车，每辆车行驶完全程需要2小时。则对每辆公共汽车，它从出站开始，途中能遇上多少辆本公司的其他公共汽车？ 回家作业【练习1】快、中、慢三辆车同时从同一个地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在已知快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么慢车每小时走多少千米？【练习2】三亚距北京6720千米，申老师开个飞机从三亚去北京，前一半时间平均速度是80千米每分钟，后一半时间平均速度是每分钟60千米。问申老师走后一半路程用了多少分钟？【练习3】甲、乙、丙同时从湖边同一地点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，丙和他们反方向行走，半小时后甲与丙相遇，再过5分钟，丙和乙相遇，那么绕湖一周的行程是多少千米？【练习4】真真开个汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，达到后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车一个来回的平均速度。【练习5】兔子逃跑了80步之后猎狗才开始追，兔子跑7步的路程猎狗只需要跑3 步，兔子跑9步的时间猎狗只能跑5步。问：猎狗至少跑多少步才能追上兔子？【练习6】小李以均匀速度走路上学，他观察来往的同一路电车，发现每隔12分钟就有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面而来。如果电车也是匀速行驶的，那么发车间隔时间是多少某日在课堂上，数学老师：“什么情况下2大于5，5大于0，0大于2呢?”小姚：“算错的时候？”小蔡：“看错的时候？”数学老师：“不对！应该是猜拳的时候”。顿时，小姚和小蔡晕倒！第六讲 流水行船一、教学目标1、认识船速、水速、顺水速度、逆水速度；2、学习流水行船中的相遇追及问题。二、知识体系三、知识要点1、基本公式：顺水速度船速水速；逆水速度船速水速；船速（顺水速度逆水速度）2水速（顺水速度逆水速度）2顺水流程顺水速度顺水时间逆水流程逆水速度逆水时间2、流水中的相遇追及问题，在求追及时间与相遇时间的时候不需要考虑水流的影响。 例题详解【例1】两个码头相距192千米，一艘汽艇顺水走完全程需要8小时，已知水流速度是每小时4千米，逆水走完全程需要 小时。【例2】一条河的水速是每小时3千米，一条船从这条河的上游A地顺流到达下游的C地，然后掉头逆流而上到达中流的B地，共用8小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，A地与B地相距24千米。求A、C两地间的距离。【例3】甲、乙两船在相距100千米的A、B两港间航行。甲上行全程需要10小时，乙上行全程需要6小时40分钟。甲下行全程需要5小时，请问：乙下行全程需用几个小时？【例4】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时。求：这两个港口之间的距离。【例5】一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米。已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等。求船速和水速。【例6】甲、乙两船在静水的速度分别为33千米/小时和25千米/小时。两船从相距232千米的两港同时出发相向而行，几小时后相遇？如果同向而行，甲船在后乙船在前，几小时后甲船可以追上乙船？【例7】一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。这艘小船的静水速度和水流速度是多少？【例8】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。7.2小时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5小时后相距31.25千米，甲、乙两船航速相等，求：A，B两站的距离。 回家作业【练习1】轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天。从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城市需要多少天？【练习2】一条河上的两码头相距195千米，一只轮船在两码头间往返一趟下行需13小时，上行需15小时，求船速和水速。【练习3】一艘轮船在河流的两个码头间航行，顺流需要6小时，逆流需要8小时，水流速度为2.5千米/小时，求轮船在静水中的速度。【练习4】甲、乙两人从相距40千米的A、B两地相向而行，甲以每小时3千米的速度从A地出发，乙以每小时5千米的速度从B地出发，此时风速是每小时2千米，若甲顺风行走，那么他们几小时后相遇？相遇地点距A地多远？【练习5】一艘轮船顺流航行是80千米，逆流航行是48千米共用9时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12时。求轮船的速度。【练习6】甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时从一条河的两个码头相对开出，3小时后相遇。已知水流速度是4千米/小时。求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差是多少千米？埃菲尔铁塔美国石油大王携妻子来到巴黎，在埃菲尔铁塔前，他无比感慨地说：“二十年前我在这里的时候，这座铁塔便竖起来了，遗憾的是直到现在它也没有采出油来。”第八讲 应用题综合（一）一、教学目标1、复习巩固年龄问题、并且能够解决较复杂的年龄问题；2、复习巩固盈亏问题、并且能够解决较复杂的盈亏问题。二、知识体系三、知识要点1、年龄问题： 有关年龄一类的问题叫做年龄问题，它一般以和差、和倍以及差倍应用题的形式出现。 年龄问题解题关键：两人的年龄差永远不变； 两人年龄倍数关系不是一成不变的，它会随时间改变； 随着时间推移，两人年龄的变化量相等。2、盈亏问题： 盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏。不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，。我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”。解盈亏问题，常常用比较法，根据除法含义列式计算。一般有以下几种情况： （盈亏） 两次分得之差 人数或单位数； （盈盈） 两次分得之差 人数或单位数； （亏亏） 两次分得之差 人数或单位数； 例题详解【例1】甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克的油，乙桶加入14千克的油后，乙桶油的重量是甲桶重量的4倍。甲桶原来有油多少千克？【例2】申老师家停电了，他在房间里点燃了两支同样长的蜡烛。这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，当来电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的3倍。这次停电时间是多少小时？【例3】姚师傅和蔡师傅每天共生产零件3000个，蔡师傅每天生产的零件个数是姚师傅的2倍，两位师傅每天生产的零件中合格的是不合格的99倍，两位师傅每天生产合格与不合格的零件各是多少个？【例4】现在哥哥的年龄恰好是弟弟的2倍。而9年前哥哥的年龄是弟弟年龄的5倍，则哥哥现在的年龄是多少【例5】小李今年8岁，他和爸爸、妈妈三人年龄之和为81岁。若干年后，三人平均年龄是34岁。到那时，小李的年龄是多少岁？【例6】已知祖孙三人，祖父和父亲的年龄差与父亲与孙子的年龄差相同，祖父和孙子的年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍。求祖孙三人各多少岁？【例7】小朱同学去买水果。如果买芒果13千克，还差4元；如果买苹果15千克还剩2元。已知每千克的芒果比苹果贵2元，那么小朱带了多少钱？【例8】小扬的妈妈到超市去买油，如果买18斤调和油，则差4元；如果买20斤大豆油，则多2元。已知调和油每斤比大豆油贵8角钱，问两种油每斤多少元？ 回家作业【练习1】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同。若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间。问：甲、乙原定每天自学时间是多少？【练习2】有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？【练习3】甲、乙、丙三人，甲的年龄是乙的2倍还大3岁，乙的年龄是丙的2倍少2岁，三人的年龄之和是109岁，那么甲、乙、丙各是多少岁？【练习4】全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人；如果增加一条船，每条船坐6人。全班共有多少人呢？【练习5】猴子王带领一群猴子去摘桃。下午收工后，猴王开始分配。若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个。若大、小猴子都分4个，猴王则能留下20个。在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只？【练习6】小李把苹果装到箱子里。若每个箱子放5个苹果，则有个箱子少1个苹果；若每个箱子放6个苹果，则恰好少用1个箱子。苹果一共有多少个？买面包小白兔蹦蹦跳跳到面包房，问：“老板，你们有没有一百个小面包啊？”老板：“啊，真抱歉，没有那么多。”“这样啊。”小白兔垂头丧气地走了。第二天，小白兔蹦蹦跳跳到面包房，问：“老板，你们有没有一百个小面包啊？”老板：“对不起，还是没有啊。”“这样啊。”小白兔又垂头丧气地走了。第三天，小白兔蹦蹦跳跳到面包房，问：“老板，你们有没有一百个小面包啊？”老板高兴地说：“有了，有了，今天我们有一百个小面包了。”小白兔掏出钱：“太好了，我买两个。”第九讲 应用题综合（二）一、教学目标1、学习复杂平均数应用题；2、初步认识构造法，能够解决相关题目。二、知识体系三、知识要点1、平均问题： 平均问题是把若干个大小不等的数，在总量不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少。 平均数不是一个真实的数，它反映一组数据的总体情况，不能反映某一个具体的数据。解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数。 平均问题的数量关系式：总数量总份数平均数总数量平均数总份数总份数平均数总数量2、构造法： 所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。 构造法是一种重要的数学解题方法，在解题中被广泛应用。构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、划归的思想，渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。 例题详解【例1】小朱、小赵、小李三个人去郊游，中餐一共买了八个面包，三人平均分着吃。买面包时，小李没带钱，所以小朱付了五个面包的钱，小赵付了三个面包的钱。吃完后，小李计算了一下，拿出应付的2元4角钱，那么小朱、小赵各应取回多少钱【例2】（素质杯全国邀请赛）甲、乙两个班一起去挖地种菜，甲班平均每人挖地45平方米，乙班平均每人挖地30平方米，两班和在一起，平均每人挖地多少平方米？【例3】体育比赛有六位裁判给分，去掉最高分9.8分后，剩下五个分数的平均分就比原来的平均分少了0.05分，再去掉最低分9.42分，剩下的四个分数的平均分是多少分？【例4】五位裁判给一名体操运动员评分，若去掉一个最高分后平均分是9.46分，若去掉一个最低分后平均分是9.66分，那么最高分比最低分高了多少分？【例5】一个长方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？【例6】有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以两出1至9厘米中任意整数厘米的长度？【例7】在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？【例8】（1999年第八届日本数学奥林匹克大赛高小组决赛第二题）有若干条长短、粗细相同的绳子，如果从一端点火，每根绳子正好8分钟燃尽。现在用这些绳子计量时间，比如：在一根绳子两端同时点火，绳子燃尽用4分钟；在一根绳子的一端点火，燃尽的同时点燃第二根绳子的一端，可计时16分钟。规则：计量一个时间，最多使用3条绳子；只能在绳子的两端点火；可同时在几个绳子端点点火；火中途不会熄灭；不许剪断绳子，或将绳子折起。根据上述规则可否分别计量6分钟、7分钟、9分钟、10分钟、11分钟、12分钟？ 回家作业【练习1】（1995年全国小学数学奥林匹克）某次考试，甲、乙、丙、丁四人的成绩统计如下： 甲、乙、丙平均分91分 乙、丙、丁平均分89分 甲、丁平均分95分那么甲得了多少分？【练习2】（2002年全国小学数学奥林匹克）有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有多少个数？【练习3】有一张88的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个34小长方形（不论横竖）的12方格中恰好有4个红格和8个蓝格？【练习4】小李参加了期中考试，语文、数学、科学的平均分是95分，英语成绩公布后，他的平均分提高了3分，小李英语考了多少分？【练习5】（祖冲之杯小学数学邀请赛）数学考试全班平均分为85分，期中有的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？【练习6】盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？傻鹦鹉小姚又去逛鸟市。发现一只鹦鹉标价3元钱。于是他就问卖主：“您这只鹦鹉怎么这么便宜啊”卖主：“我这只鹦鹉笨！我教了它好长时间了。到现在为止就只会说一句话（谁啊）”小姚一想反正也便宜，于是就买下来了。晚上到了家，他想“我就不信教不会你！”，于是小姚教了它一夜。可是到了早晨，那只鹦鹉还是只会说“谁啊？”，于是小姚一生气，锁门出去了。过了一会，来了一个查收煤气费的（小张）小张，“咚咚咚”（敲门声）鹦鹉：“谁啊？”小张：“查煤气的”鹦鹉：“谁啊？”小张：“查煤气的”到了晚上，小姚回来了。看见家门口有个人躺在地上，口吐白沫。小姚说：“呦！这个人谁啊？”就听到屋里：“查煤气的”第十讲 数字谜与数阵图一、教学目标1、熟悉数字谜中最值问题的常见题型与解题思路；2、掌握综合性数阵图题目的解题思路。二、知识体系三、知识要点1、平均问题： 平均问题是把若干个大小不等的数，在总量不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少。 平均数不是一个真实的数，它反映一组数据的总体情况，不能反映某一个具体的数据。解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数。 平均问题的数量关系式：总数量总份数平均数总数量平均数总份数总份数平均数总数量2、构造法： 所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。 构造法是一种重要的数学解题方法，在解题中被广泛应用。构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、划归的思想，渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。 例题详解【例1】小朱、小赵、小李三个人去郊游，中餐一共买了八个面包，三人平均分着吃。买面包时，小李没带钱，所以小朱付了五个面包的钱，小赵付了三个面包的钱。吃完后，小李计算了一下，拿出应付的2元4角钱，那么小朱、小赵各应取回多少钱【例2】（素质杯全国邀请赛）甲、乙两个班一起去挖地种菜，甲班平均每人挖地45平方米，乙班平均每人挖地30平方米，两班和在一起，平均每人挖地多少平方米？【例3】体育比赛有六位裁判给分，去掉最高分9.8分后，剩下五个分数的平均分就比原来的平均分少了0.05分，再去掉最低分9.42分，剩下的四个分数的平均分是多少分？【例4】五位裁判给一名体操运动员评分，若去掉一个最高分后平均分是9.46分，若去掉一个最低分后平均分是9.66分，那么最高分比最低分高了多少分？【例5】一个长方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？【例6】有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以两出1至9厘米中任意整数厘米的长度？【例7】在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？【例8】（1999年第八届日本数学奥林匹克大赛高小组决赛第二题）有若干条长短、粗细相同的绳子，如果从一端点火，每根绳子正好8分钟燃尽。现在用这些绳子计量时间，比如：在一根绳子两端同时点火，绳子燃尽用4分钟；在一根绳子的一端点火，燃尽的同时点燃第二根绳子的一端，可计时16分钟。规则：计量一个时间，最多使用3条绳子；只能在绳子的两端点火；可同时在几个绳子端点点火；火中途不会熄