高三数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和课件 .ppt

第二节等差数列及其前n项和 知识梳理 1 等差数列的概念如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 一般用字母d表示 定义的表达式为 2 等差中项如果a a b成等差数列 那么a叫做a b的等差中项 且a 同一个常数 公差 an 1 an d n n 3 等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an 4 等差数列的前n项和公式 a1 n 1 d 5 等差数列的性质 1 等差数列的常用性质 通项公式的推广 an am n m n 若 an 是等差数列 且k l m n k l m n n 则 k l 2m k l m n 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn n n 是等差数列 若 an 是等差数列 则ak ak m ak 2m k m n 组成公差为 的等差数列 n m d 2d md ak al am an ak al 2am 2 等差数列与等差数列各项的和有关的性质 若 an 是等差数列 则也成等差数列 其首项与 an 的首项相同 公差是 an 的公差的 sm s2m s3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则sm s2m sm 成等差数列 关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 i 若等差数列 an 的项数为2n 则s2n n a1 a2n n an an 1 s偶 s奇 nd s3m s2m ii 若等差数列 an 的项数为2n 1 则s偶 n 1 an s奇 nan s奇 s偶 an 其中s奇 s偶分别表示数列 an 中所有奇数项 偶数项的和 两个等差数列 an bn 的前n项和sn tn之间的关系为 数列 an 的前n项和sn an2 bn a 0 是 an 成等差数列的 条件 等差数列的增减性 d 0时为 数列 且当a10时前n项和sn有最大值 充分 递增 递减 考点自测 1 思考 给出下列命题 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 其中正确的命题是 a b c d 解析 选b 错误 若这些常数都相等 则这个数列是等差数列 若这些常数不全相等 这个数列就不是等差数列 正确 如果数列 an 为等差数列 根据定义an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若对任意n n 都有2an 1 an an 2 则an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根据定义数列 an 为等差数列 正确 当d 0时为递增数列 d 0时为常数列 d 0时为递减数列 错误 根据等差数列的通项公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有当d 0时 等差数列的通项公式才是n的一次函数 否则不是 错误 根据等差数列的前n项和公式 sn 显然只有公差d 0时才是关于n的常数项为0的二次函数 否则不是 甚至也不是n的一次函数 即a1 d 0时 2 等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a3 4 则公差d等于 a 1b c 2d 3 解析 选c 因为s3 6 而a3 4 所以a1 0 所以d 2 3 若 an 为等差数列 sn是其前n项的和 且则tana6 解析 选c 4 在等差数列 an 中 sn是其前n项和 且a4 9 a9 6 则sn取最大值时n的值为 a 6或7b 7或8c 5或6d 8或9 解析 选a 由所以an 3n 21 故a1 a2 a3 a6 a7 0 a8 所以s6 s7最大 5 在等差数列 an 中 sn表示其前n项和 若sn sm m n 则sm n 4的符号是 a 正b 负c 非负d 非正 解析 选a 因为sn na1 d 1 sm ma1 d 2 所以由 1 2 得d a1 故sm n 4 m n a1 d 4 0 m n 6 2013 上海高考 在等差数列 an 中 若a1 a2 a3 a4 30 则a2 a3 解析 a1 a2 a3 a4 2 a2 a3 30 a2 a3 15 答案 15 考点1等差数列的基本运算 典例1 1 2013 安徽高考 设sn为等差数列 an 的前n项和 s8 4a3 a7 2 则a9 a 6b 4c 2d 2 2 2014 南京模拟 等差数列 an 的前n项和记为sn 已知a10 30 a20 50 求通项an 若sn 242 求n 解题视点 1 利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差 再利用通项公式求出a9 2 先求出基本量a1和d 再利用通项公式求解 利用前n项和公式解方程即可 规范解答 1 选a 由s8 4a3 8a1 d 4 a1 2d 由a7 2 a1 6d 2 联立解得a1 10 d 2 所以a9 a1 8d 10 16 6 2 由an a1 n 1 d a10 30 a20 50 得方程组解得a1 12 d 2 所以an 2n 10 由sn na1 d sn 242 得方程12n 2 242 解得n 11或n 22 舍去 互动探究 本例 1 中 已知条件不变 求sn 解析 由本例 1 知a1 10 d 2 所以sn na1 d 10n n n 1 n2 11n 规律方法 1 等差数列运算问题的通性通法 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想解决问题 2 等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式 如已知首项和公差 则使用公式sn na1 d 若已知通项公式 则使用公式sn 变式训练 1 2013 新课标全国卷 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6 解析 选c 方法一 由已知得 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 因为数列 an 为等差数列 所以d am 1 am 1 又因为sm 0 所以m a1 2 0 因为m 0 所以a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 方法二 因为sm 1 2 sm 0 sm 1 3 所以am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 所以公差d am 1 am 1 由sn 得由 得a1 代入 可得m 5 方法三 因为数列 an 为等差数列 且前n项和为sn 所以数列也为等差数列 所以即 0 解得m 5 经检验为原方程的解 故选c 2 2014 温州模拟 等差数列 an 的首项为a1 公差d 1 前n项和为sn 1 若s5 5 求a1的值 2 若sn an对任意正整数n均成立 求a1的取值范围 解析 1 由条件得 s5 5a1 d 5 解得a1 1 2 由sn an 代入得na1 a1 1 n 整理 变量分离得 n 1 a1 n2 n 1 n 1 n 2 当n 1时 上式成立 当n 1 n n 时 a1 n 2 n 2时 n 2 取到最小值0 所以a1 0 加固训练 1 2014 襄阳模拟 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 90 则a10 a14的值为 a 12b 14c 16d 18 解析 选a 由等差数列的通项公式及a4 a6 a8 a10 a12 90 得5a1 35d 90 即a1 7d 18 所以a10 a14 a1 9d a1 13d a1 7d 18 12 故选a 2 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和sn满足s5s6 15 0 1 若s5 5 求s6及a1 2 求d的取值范围 解析 1 由题意知s6 3 a6 s6 s5 8 所以解得a1 7 所以s6 3 a1 7 2 方法一 因为s5s6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即2 9da1 10d2 1 0 因为关于a1的一元二次方程有解 所以 81d2 8 10d2 1 d2 8 0 解得d 2或d 2 故d的取值范围为方法二 因为s5s6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即2 9da1 10d2 1 0 故 4a1 9d 2 d2 8 所以d2 8 故d的取值范围为 考点2等差数列的判定与证明 典例2 1 若 an 是公差为1的等差数列 则 a2n 1 2a2n 是 a 公差为3的等差数列b 公差为4的等差数列c 公差为6的等差数列d 公差为9的等差数列 2 已知数列 an 中 a1 an 2 n 2 n n 数列 bn 满足bn n n 求证 数列 bn 是等差数列 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解题视点 1 构造新数列 cn 使得cn a2n 1 2a2n 根据cn 1 cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断 2 证明bn 1 bn 常数 根据 的结论 求得 bn 的通项公式 再求得 an 的通项公式 结合单调性求解 规范解答 1 选c 设 an 的公差为d 则d 1 设cn a2n 1 2a2n 则cn 1 a2n 1 2a2n 2 所以cn 1 cn a2n 1 2a2n 2 a2n 1 2a2n 6d 6 故选c 2 因为an 2 n 2 n n bn n n 所以bn 1 bn 又b1 所以数列 bn 是以为首项 1为公差的等差数列 由 知bn n 则an 设f x 1 则f x 在区间和上为减函数 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 易错警示 用定义证明等差数列时的易错点用定义证明等差数列时 常采用的两个式子an 1 an d和an an 1 d 但它们的意义不同 后者必须加上 n 2 否则n 1时 a0无定义 规律方法 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 提醒 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断 变式训练 2014 烟台模拟 设数列 an 的各项都为正数 其前n项和为sn 已知对任意n n sn是an2和an的等差中项 1 证明数列 an 为等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 证明 解析 1 由已知得 2sn an2 an 且an 0 当n 1时 2a1 a12 a1 解得a1 1 a1 0舍去 当n 2时 有2sn 1 an 12 an 1 于是2sn 2sn 1 an2 an 12 an an 1 即2an an2 an 12 an an 1 于是an2 an 12 an an 1 即 an an 1 an an 1 an an 1 因为an an 1 0 所以an an 1 1 n 2 故数列 an 是首项为1 公差为1的等差数列 所以数列 an 的通项公式为an n 2 因为an n 则 加固训练 1 已知数列 an an n sn an 2 2 1 求证 an 是等差数列 2 设bn an 30 求数列 bn 的前n项和tn的最小值 解析 1 因为sn an 2 2 所以sn 1 an 1 2 2 n 2 得sn sn 1 an 2 2 an 1 2 2 n 2 即an an 2 2 an 1 2 2 所以 an 2 2 an 1 2 2 所以an an 1 0或an an 1 4 因为an n 所以an an 1 0舍去 所以an an 1 4 a1 s1 a1 2 2 所以 a1 2 2 0 a1 2 所以 an 是首项为2 公差为4的等差数列 2 bn an 30 4n 2 30 2n 31 bn 1 bn 2 n 1 31 2n 31 2 b1 a1 30 2 30 29 所以 bn 是以b1 29为首项 d 2为公差的等差数列 tn nb1 d 29n 2 n2 30n 所以tn n 15 2 225 当n 15时 数列 bn 的前n项和有最小值为 225 2 若数列 an 满足 a1 a2 2 3 an 1 2an an 1 2 1 证明数列 an 1 an 是等差数列 2 求使成立的最小的正整数n 解析 1 由3 an 1 2an an 1 2可得an 1 2an an 1 即 an 1 an an an 1 所以数列 an 1 an 是以a2 a1 为首项 为公差的等差数列 2 由 1 知an 1 an n 1 n 1 累加求和得an a1 2 3 n n n 1 所以所以所以n 5 所以最小的正整数n 6 考点3等差数列性质的应用 考情 通过近3年的高考试题分析 对等差数列性质的考查几乎每年必考 有时以选择题 填空题的题型出现 难度中等偏下 有时在解答题中出现 常与求通项an及前n项和sn结合命题 题目难度中等 高频考点通关 典例3 1 2014 嘉兴模拟 已知等差数列 an 满足a2 3 sn sn 3 51 n 3 sn 100 则n的值为 a 8b 9c 10d 11 2 2013 新课标全国卷 等差数列 an 的前n项和为sn 已知s10 0 s15 25 则nsn的最小值为 解题视点 1 根据已知利用等差数列性质 an an 1 an 2 3an 1及sn 计算求值 2 求得sn的表达式 然后表示出nsn 将其看作关于n的函数 借助导数求得最小值 规范解答 1 选c 因为sn sn 3 51 n 3 所以an 2 an 1 an 51 即3an 1 51 所以an 1 17 n 2 又因为sn 100 即 100 而a2 3 所以 100 解得n 10 故选c 2 由题意知 解得d a1 3 所以sn 即nsn 令f n 则有f n n2 令f n 0 得n 令f n 0 得0 n 又因为n为正整数 所以当n 7时 f n 取得最小值 即nsn的最小值为 49 答案 49 通关锦囊 通关题组 1 2014 绍兴模拟 在等差数列 an 中 a1 2015 其前n项和为sn 若则s2015的值等于 a 2015b 2014c 2013d 2012 解析 选a 设等差数列 an 的公差为d 因为所以故a12 a10 4 所以2d 4 d 2 所以s2015 2015a1 2015 2 2014 南阳模拟 等差数列 an 的前n项和为sn 若s17为一确定常数 则下列各式中也为确定常数的是 a a2 a15b a2 a15c a2 a9 a16d a2 a9 a16 解析 选c 因为s17为一确定常数 根据公式可知 a1 a17为一确定常数 又a1 a17 a2 a16 2a9 所以a2 a9 a16为一确定常数 故选c 3 2013 辽宁高考 下面是关于公差d 0的等差数列 an 的四个命题 p1 数列 an 是递增数列 p2 数列 nan 是递增数列 p3 数列是递增数列 p4 数列 an 3nd 是递增数列 其中的真命题为 a p1 p2b p3 p4c p2 p3d p1 p4 解析 选d 4 2014 金华模拟 数列 an 的各项均为正数 sn为其前n项和 对于任意的n n 总有an sn an2成等差数列 1 求a1 2 求数列 an 的通项公式 3 设数列 bn 的前n项和为tn 且bn 求证 对任意正整数n 总有tn 2 解析 1 由已知 对于任意的n n 总有an sn an2成等差数列 所以2sn an 令n 1 所以2s1 a1 即2a1 a1 又因为数列 an 的各项均为正数 所以a1 1 2 因为2sn an 所以2sn 1 an 1 n 2 由 得 2sn 2sn 1 an an 1 即2an an an 1 所以an an 1 an2 an 12 即an an 1 an an 1 an an 1 因为an an 1均为正数 所以an an 1 1 n 2 所以数列 an 是公差为1的等差数列 所以an a1 n 1 d 1 n 1 n 3 bn n 2 当n 1时 tn b1 1 2 当n 2时 tn b1 b2 b3 bn 2 2 所以对任意正整数n 总有tn 2 加固训练 1 已知等差数列 an 的前n项和为sn 若a4 18 a5 则s8等于 a 36b 54c 72d 18 解析 选c 由a4 a5 a1 a8 18 s8 72 所以选c 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知前6项和为36 sn 324 最后6项的和为180 n 6 求数列的项数n及a9 a10 解析 由题意可知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 所以a1 an 36 又sn 324 所以18n 324 所以n 18 所以a1 a18 36 所以a9 a10 a1 a18 36 3 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s130 s13 0 所以即 又a3 a1 2d 12 所以解得 d 3 2 方法一 sn na1 d n 1 2 3 12 所以sn n 12 2d d因为 d 3 所以6 所以当n 6时 sn有最大值 所以s1 s2 s12中值最大的为s6 方法二 由题意及等差数列的性质可得所以a70 所以在数列 an 中 前6项为正 从第7项起 以后各项为负 故s6最大 巧思妙解5 巧用等差数列的性质求前n项和 典例 在等差数列 an 中 s10 100 s100 10 则s110 解析 常规解法 设数列 an 的公差为d 首项为a1 则解得所以s110 110a1 d 110 答案 110 巧妙解法 因为s100 s10 90 所以a11 a100 2 所以s110 110 答案 110 解法分析 小试牛刀 在等差数