场论与张量PPT课件.ppt

参考书 1 流体力学 吴望一编著 北京大学出版社2 计算流体力学入门 JohnD Anderson JR 著 姚朝晖 周强编译 清华大学出版社3 AnintroductiontocomputationalFluidDynamics VersteegandMalalasekera著 世界图书出版社4 流体力学泵与风机 蔡增基 龙天渝主编 中国建筑工业出版社5 空气动力学 吴子牛主编 清华大学出版社和Springer6 粘性流体力学 章梓雄 董曾南编著 清华大学出版社7 流体动力学 朗道和栗弗席兹著 李植译 本课程几个部分 1 场论与张量2 流体力学基本概念3 基本方程的推导4 理想不可压缩流体5 粘性不可压缩流体 层流 湍流 边界层 6 CFD数值模拟 有限体积法 场论和张量 李寿英湖南大学风工程试验研究中心二零壹肆年 一 场论 1 1场的定义与分类 如果空间中某个区域内定义标量函数或矢量函数 则称定义此空间区域内的函数为场 标量场和矢量场 标量场 温度场 压力场 密度场等 矢量场 速度场 力场 电子场等 均匀场和不均匀场 同一个时刻场内各点函数的值都相等 称为均匀场 定常场与不定常场 场内函数值不依赖于时间 即不随时间t的改变而改变 称为定常场 场论是研究标量场和矢量场数学性质的一门数学分支 1 2场的几何表示 采用几何方法来表示场有助与直观理解问题 首先研究标量场 若每一时刻场的几何表示都已知 则整个场为已知 若为定常场 取任意固定时刻t0 令 则称与之对应的曲面为等位面 在等位面上 值都相等 取不同的 0值 等到不同的等位面 根据疏密程度可以判断标量函数的变化状况 等位面靠的近的地方函数变化快 靠得远的地方函数变化慢 函数值的改变主要在等位面的法线方向发生 沿切线方向移动时 函数值不变 气象学中的等压线 等温线 结构风工程中也常采用等压线表示风压分布规律 1 2场的几何表示 例子 TTU模型屋盖的平均风压系数分布等值线图 1 2场的几何表示 现在研究矢量场的几何表示 包括方向和大小 更为复杂 矢量的大小是一个标量 可以采用等位面的形式表示 矢量的方向可采用矢量线来表示 矢量线的定义 线上每一点的切线方向与该点矢量方向重合 作出同一时刻通过场内任意一点M的矢量线 绘图表示 下面研究矢量线的方程 设dr是矢量线的切向元素 根据矢量线的定义 有 写成直角坐分量形式 则得到矢量线的微分方程 t为时间参数 在场内任取一非矢量线的封闭曲线C 通过C上的每一点作矢量线 则这些矢量线所包围的区域称为矢量管 下面研究任一时刻场内每一点领域内的函数变化状况 1 3梯度 标量场不均匀性的量度 在某一时刻t t0研究标量场 r t0 在场内任取一点M 过M点作曲线s 有下列极限 上式表征标量函数 在M点上沿曲线s方向的函数变化 以偏导数表示 称为方向导数 过M有无穷多个方向 每个方向都有对应的方向导数 但各个方向的方向导数都不是相互独立的 研究表明 只要知道过M点的等位面法线方向n上的方向导数 n 其它方向s的方向导数均可表示出来 对上式进行证明 1 3梯度 标量场不均匀性的量度 过M点作等位面 过M点取法线方向n n指向 增长的方向 在n上取无限邻近的M1点 过M1点做等位面 过M点作任意方向s 和等位面 C1 交与M 点 有 1 3梯度 标量场不均匀性的量度 也就是说 任意方向s上的方向导数 可以通过 n 及s与n之间夹角余弦来表示 沿法线方向的方向导数 大小为 n 方向为n 的矢量称为标量函数 的梯度 梯度描述了M点领域内标量函数的变化状况 是标量场不均匀性的量度 任意s方向的方向导数可表述为 因此 s方向的方向导数等于梯度矢量在s方向的投影 梯度也可以理解为变化最快的方向导数 在直角坐标系中 梯度可分别投影与x y z三个方向 1 3梯度 标量场不均匀性的量度 总结起来 梯度的主要特性如下 梯度grad 描写了场内任一点M领域内函数 的变化状况 它是标量场不均匀性的量度 梯度grad 的方向与等位面的法线重合 且指向 增长的方向 大小是n方向上的方向导数 n 梯度矢量grad 在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数 梯度grad 的方向 即等位面的法线方向 是函数 变化最快的方向 梯度grad 在直角坐标系中的表达式为 梯度的两个定理 定理1 定理2 利用两个性质 可以通过全微分和线积分求函数 的梯度或研究梯度性质 1 4矢量的通量 散度 奥高定理 下面来介绍矢量场不均匀性的表述 取一曲面S 在S面上取一面积元素dS 在dS上任取一点M 作S面的法线 若曲面封闭 则取外法线为正方向 若不封闭 则可任取正方向 n为S面上法线方向的单位矢量 a表M点上的矢量函数的值 则 为a在法线方向的投影 定义矢量a通过面积元dS的通量为andS 则沿曲面S积分 可得矢量a通过S面的通量 定义面积矢量dS是大小为dS 方向为法线正方向的量 则通量表达式可表示为如下形式 1 4矢量的通量 散度 奥高定理 若曲面为封闭曲面 采用积分号上加一小圆圈方法表示矢量a通过S面的通量 取任意M点 以体积V包之 V的界面为S 作矢量a通过S的通量 然后除以体积V 令体积V无限收缩于M点 得极限 若此极限存在 定义其为矢量a的散度 奥高公式的微分形式 矢量a的散度是对单位体积而言 矢量a通过体积元V的界面S的通量 是一个标量 下面研究散度在直角坐标系中的具体表达式 设矢量函数a的三个分量ax ay az具有连续的一阶偏导数 利用奥高定理 1 4矢量的通量 散度 奥高定理 因为体积分中的被积函数是连续的 根据中值公式 上式可改写为 Q是体积V中的某一个点 下标Q表示函数在该点的取值 可得散度的为 当V向M点收缩 Q点最后与M点重合 故得 以上证明矢量的散度的极限确实存在 通量可表示为 奥高公式的积分形式 1 5无源场及其性质 若diva 0 则该矢量场称为无源场或管式场 具有如下性质 1 无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值 如图所示 给定一矢量管 任取该矢量管的两横截面 及 1 两横截面之间的矢量管侧面为 对和三个封闭曲面围成的体积 有 上式表明 矢量a经过矢量管任一截面上的通量保持同一数值 2 矢量管不能在场内发生或终止 一般来说 他只可能延伸至无穷 靠在区域边界上或自成封闭管路 这是上一性质的推论 1 5无源场及其性质 3 无源矢量a经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相同 亦即此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关 设S和S1是任意两个张于周线L上的曲面 S和S1组成一封闭曲面设此封闭曲面所包围的体积为V 应用奥高定理 应该指出 该性质仅在特定的区域内成立 在此区域内 任一球面形曲面不超出此区域而缩成一点 1 6矢量的环量 旋度 斯托克斯定理 给定一矢量场a 在场内任取一曲线L 作线积分 为矢量a沿曲线L的环量 若曲线L为封闭曲线 则在积分符号中加小圆圈 设M是场内一点 在M点附近取无限小封闭回线L 取定某一方向为L的正方向 设张于L上的曲面S S的法线方向n0 由右手螺旋系统确定 作矢量a沿曲线L的环量并除以曲面面积S 令L向M点收缩 使曲面矢量S Sn0 大小趋于零 方向趋于某固定方向n 于是有如下极限 定义矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影为 微分形式的斯托克斯公式 1 6矢量的环量 旋度 斯托克斯定理 证明上述极限存在 设矢量a的三个分量具有连续一级偏导数 利用斯托克斯公式 有 利用中值公式 有 其中Q是S面上的一点 则a的沿n方向的旋度可表示为 1 6矢量的环量 旋度 斯托克斯定理 x y z方向的旋度可分别表示为 旋度rota可写成 得到不依赖于坐标系选择的斯托克斯公式 积分形式 1 7无旋场及其性质 rota 0的矢量场为无旋场 无旋场和位势场是等价的 若a为位势场 则根据位势场的公式 直接微分得 反之 若rota 0 为无旋场 则由斯托克斯公式有 其中L为任意周界 于是a沿任意封闭曲线L的线积分为零 根据1 3中定理2 等价性证明完毕 1 8基本运算公式 a 微分公式 1 8基本运算公式 a 微分公式 1 9哈密顿算子 引进一个矢量运算中一个非常重要的微分运算算子 哈密顿算子 这是一个具有矢量和微分双重性质的符号 一方面是一个矢量 可以运用矢量代数和矢量分析中的所有法则 另一方面又是一个微分算子 可以按照微分法则进行运算 下面将grad diva rota 及 写成哈密顿算子的形式 1 9哈密顿算子 以梯度和散度说明哈密顿算子是如何使用的 1 9哈密顿算子 利用哈密顿算子证明几个较复杂的微分公式 1 10张量表示法 连续介质力学中广泛使用张量表示法 其具有书写简洁 运算方便的特点 在张量表示法中 将坐标写为x1 x2 x3 引进以下几种符号 1 ai表示一个矢量 i是自由指标 可取1 2 3 符号a可任取 例如grad 可表示为 2 约定求和法则 为书写简便 约定在同一项中如有两个自由指标相同时 就表示要对这个指标从1到3求和 例如 3 克罗内克尔 Kronecker 符号 ij 1 10张量表示法 4 置换符号 ijk 5 置换符号 ijk和克罗内克尔符号 ij的关系 证明上述等式 1 10张量表示法 采用张量表示法证明场论基本运算公式 1 10张量表示法 一 张量初步 张量初步 连续介质力学中广泛使用张量 1 书写高度简炼 2 连续介质力学中出现的重要物理量如应力和应变等 本身就是张量 根据坐标系不同分类 笛卡尔张量和任意张量 这里仅研究笛卡尔张量 标量和矢量的传统定义 标量 在选定的测量单位下 只需用一个不依赖于坐标系的数字表示其性质的量称为标量 例如物理上的质量 密度 温度 能量 矢量 在选定的测量单位下 需要用不依赖于坐标系的数字和方向表征其性质的量称为矢量 例如物理上的位移 速度 加速度和力 上述定义主要强调客观存在的物理量不依赖坐标系而存在的不变量 后面将变换形式来定义标量和矢量 虽不直观 但可以容易地推广到张量的定义 1 13张量的定义 首先复习以下笛卡尔坐标变换 设两个坐标系Ox1x2x3和Ox 1x 2x 3 e1 e2 e3和e 1 e 2 e 3分别是新旧坐标系中坐标轴上的单位矢量 则有 新旧坐标系之间存在如下关系 采用张量表示法 并有关系式 同理有 1 13张量的定义 下面来研究标量和矢量在坐标变换时的性质 对于标量 两个坐标系的值为 x1 x2 x3 和 x 1 x 2 x 3 由于标量的数值不依赖于坐标系 于是有 标量的另外一个定义 若对每一个直角坐标系都有一个量 它在坐标变换时满足 1 13 7 式 即保持其值不变 则 定义一个标量 现在考虑矢量 以a表示 新旧坐标系下有如下关系 或用张量表示法写为 矢量的另外一个定义 对于每一个直角坐标系Ox1x2x3来说有三个量a1 a2 a3 它们根据 1 13 8 式变换到另一个坐标系Ox 1x 2x 3中的三个量a 1 a 2 a 3中去 则定义一新的矢量a 1 13张量的定义 推广到张量的定义 如果对每一个直角坐标系Ox1x2x3来说有9个量plm 它按照下列公式 转换为另一个直角坐标系Ox 1x 2x 3中的9个量p lm 则称此9个量定义一个新的量P 称为二阶笛卡尔张量 简称二阶张量 通常用以下几种符号表示 二阶张量的定义可以推广到n阶张量 设在每一个坐标系内给出3n个数pj1j2 jn 但坐标变换时 这些数按公式 则称此3n个数定义一个n阶张量 标量为0阶张量 矢量为一阶张量 各分量都为零 则为零张量 1 14张量的代数运算 a 张量的加减两个n阶张量 在每个坐标系内作这两个张量的分量的之和或之差 得到一个新的n阶张量 推论 若两同阶张量P和Q在某一直角坐标系内相等 即P Q 则它们将在任一直角坐标系中相等 1 14张量的代数运算 b 张量乘积设P是m阶张量 Q是n阶张量 作分量乘积 则为m n阶张量 以PQ表示 称为张量的乘积 两个张量的乘积很容易推广到n个张量的乘积 例1 标量与n阶张量的乘积为n阶张量 例2 两个矢量a和b的乘积为二阶张量 c 张量的收缩若张量P的两个下标相同 根据约定求和法则 则得具有n 2个下标的两Q 为n 2阶张量 证明 例1 并矢ab aibj收缩后得标量aibi 此即矢量a和b的内积 d 张量的内积张量乘积PQ中 m阶张量P和n阶张量Q中各取出一下标收缩一次后得m n 2阶张量 称为P和Q的内积 以P Q表示 例1 P a pijaj为二阶张量和矢量的右向内积 a P aipij是二阶张量的左向内积 1 16二阶张量 a 二阶张量的主值 主轴及不变量设P为二阶张量 对空间中任意非零矢量a作张量和矢量的右向内积 则得空间中另一矢量b 若矢量b和矢量a共线 即 则称矢量a的方向为张量P的主轴方向 为张量P的主值 下面来求主值和主轴方向 1 16二阶张量 展开行列式的 这是确定 的三次代数方程 有三个根 可以是三个实根 也可以是一个实根 二个共轭根 从上述三次方程推出根与系数之间存在下列关系 分别称为二阶张量P的第一 二 三不变量 有这三个不变量可以作出无穷多个不变量 1 16二阶张量 b 共轭张量 对称张量和反对称张量 1 共轭张量 设P pij是一个二阶张量 则Pc