（基础数学专业论文）脉冲微分方程解的存在性与定性研究.pdf

湖南9 f 范大学2 0 0 4 届博士学位论文 i 摘要 本文研究脉冲微分方程的解的存在性与定性性质 首先我们讨论了脉冲泛函微分方程 薹! ；i ! | ；盖! 。飞一班。t ：t ，o ，, 。：i _ 的整体解的存在性，我们的讨论不要求其对应的不带脉冲的微分方程的整体 解存在；利用b a n a c h 不动点定理或l e r a y s c h a u d e r 择一原理以及上下解方法 结合单调迭代技巧研究了脉冲泛函微分方程周期边值问题 a z ( t k ) = i k ( z ( 如) ) ， t 0 ，t l ，t 2 ，m ) k = i ，2 ，m ， ix ( o ) = x ( t ) 和脉冲常微分方程反周期边值问题 lz ( ) = f ( t ，。( t ) ) ，t 【0 ，t 】，t t k ， a z ( t k ) = 乓( z ( “) ) ，= 1 ，2 ，n ， iz o ) = 一z 口) 给出了这些方程的解存在的条件我们的讨论不要求右端函数，具有单调性 接下来研究了具有限时滞的脉冲泛函微分方程 iz ( t ) = f ( t ，x t ) ，t 仉， i z ( ) = i k ( t ，z ( 礓一) ) ，= 1 ，2 ， 和具无限时滞的v o l t mr a - 型脉冲泛函微分方程 lz ( ) = f ( t ，z ( - ) ) ，t 7 k ， ix ( r k ) = 靠( ，z ( 一) ) ，= 1 ，2 ， 的稳定性我们采用l i a p u n o v 函数方法或l i a p u n o v 泛函方法获得了这些方程 的零解一致渐近稳定的几个充分条件我们的结果改进了某些已有的结论并 且更便于应用 i i 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 最后，我们研究了二阶脉冲线性常微分方程 l ( n ( t ) 。( t ) ) + p ( t ) 。( t ) = 0 ，t t o ，t t k ， iz ( t 毒) = b k xc t k ) ，z 协毒) = c k x 讹k ) ，k = 1 ，2 ， 和二阶脉冲时滞微分方程 i ( o ( t ) z ( ) 1 。一1 2 7 ( t ) ) + ，( t ，。( t ) ，。0 一r ) ) = 0 ，t t o ，t k ， 【z ( t ) = b k x ( t k ) ，z 讹毒) = c k z 他k ) ， k = 1 ，2 ， 的振动性我们注重考察脉冲微分方程与其对应的不带脉冲的微分方程之间 的关系，揭示脉冲微分方程的本质特征我们的结果改进了已有的某些结论 关键词：脉冲微分方程，整体解，边值问题，稳定性，振动性 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 i i i a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h ee x i s t e n c ef o rs o l u t i o n sa n dq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e s o fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s t l y ，w ed i s c u s st h eg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n l 茁( t ) = f ( t ，z ) ，t t o ，t n 【z x x ( r k ) = z ( t ，x ( r k 一) ) ，k = l ，2 ， w i t h o u t a s s u m i n g t h eg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gc o n t i n - u o h se q u a t i o n ，w eo b t a i nn e w g l o b a le x i s t e n c er e s u l t so fs o l u t i o n sw i t h c e r t a i n i n i t i a lc o n d i t i o n s ；w ed i s c u s st h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s s ( ) ff i ls t , o r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m fz ( t ) = f ( t ，z ( ) ，z ( 日( t ) ) ) z x r ( t k ) = 厶( z ( “) ) ， 【x ( o ) = x ( t ) t 0 ，t t ，t 2 ，m ) = 1 2 ，m ， a l l dt i ma n t i p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s to r d e ri m p u l s i v eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s fz ( ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t 【0 ，t 1 ，t t k x ：r ( t k ) = i k ( x ( t k ) ) ，= 1 ，2 ，眠 【。( o ) = 一。( 丁) w ee s t a b l i s hs e v e r a le x i s t e n c er e s u l t sb yu s i n gt h eb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e n lo rl e r a y s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ，t h el o w e ra n du p p e rs o l u t i o nm e t h o da n d t n o l l o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ei np a r t i c u l a r ，o u rr e s u l t sd o e sn o ta s s u m ea n y m o n o t o n i c i t yc o n d i t i o n0 1 2s a si sc u s t o m a r yi nt h el i t e i a t u r e s e c o n d l y ，w es t u d yt h es t a b i l i t yf o ri m p u l s i v e f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hf i n i t ed e l a y jx i ( t ) = ，( t ，。t ) ，t n ， ia x ( r k ) = l k ( t ，。( “一) ) ，= 1 ，2 i v 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 a n di m p u l s i v ef m l c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a yo ft h ef o r m i 0 ) = ，z ( ) ) ，t n ， i 。( ) = ( t ，z ( n 一) ) ，k = 1 ，2 ， s o m es u f f c i e n tc o n d i t i o n so nu n i f o r m l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t ya r ee s t a b l i s h e d b yu s i n gl i a t u l n o vf u n c t i o no rl i a p u n o v f u n c t i o n a l ，t h e s et h e o r e m sa r er a t h e r g e n e r a la n dt h e r e f o r eh a v eg r e a tp o w e r i na p p l i c a t i o n s f a l l a l y w ed e a lw i t ht h eo s c i l l a t i o na n d n o n o s c i l l a t i o no ft h es e c o n do r d e r l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s e s f ( a ( t ) x ( t ) ) + p ( t ) x ( t ) = 0 ，t t o ，t t k ， 【。o j ) = b ：( t d 赁( t ) = c 女z 7 ( t k ) ，奄= 1 ，2 ， a n dt h es e c o n do r d e ri r n p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ef o r m f ( a ( t ) l x ( t ) 1 。一1 z ( t ) ) 7 + ，( t ，。( t ) ，x ( t 一7 r ) ) = 0 ，t t o ，t “， 【l ( ：) = b k z ( ) ，z ( t 毒) = c z 7 ( t ) ， = 1 ，2 ， s o m e i n t e r e s t i n g r e s u l t sa r eo b t a i l e d 】w h i c hi l l u s t r a t et h a ti m p u l s e sp l a yav e r y i m p o l t a l i tr o l ei ng i v i n gr i s et ot h eo s c i l l a t i o n so fe q u a t i o n s k e y w o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，g l o b a ls o l u t i o n ，b o u n d a r y v a l u ep r o h l e m ，s t a b i l i t y ，o s c i l l a t i o n 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 第一章绪论 带有脉冲的微分方程是研究状态突然变化的发展过程的基本工具许多 生物学、物理学和工程技术问题都呈现出脉冲效应( 参见【1 ， 1 0 1 ) 例如，机械 钟摆的运动、物种通过周期受孕或结果的延续、空中飞船的脉冲机动动作、心 脏函数等特别，在最优控制理论中，我们可以观察到某些问题解的脉冲行为 9 1 必须提到的是脉冲微分方程定性理论的发展就是因为诸多有意义的应用 问题的有力推动，这里我们提到k r u g e r t h i e m e r 的药物分布模型1 1 】、翻转摆 的稳定化模型【7 4 】、热传导模型和具有脉冲自支撑的弦的振动模型 8 0 及种 群生长模型f 4 2 1 等等 脉冲微分方程的研究始于一九六零年m i l m a n 和m y s h k i s 的工作 7 9 经 过几十年的发展，脉冲常微分方程理论( 包括基本理论、稳定性理论、周期解理 论、边值问题和解的渐近理论等) 已逐渐形成并渐趋成熟( 见 1 ，【4 ，【5 1 ，【6 ， 8 】) 另一方面，泛函微分方程在许多科学领域中的应用十分广泛，例如，自动 控制、生态系统，遗传学、经济学、物理学、通信理论等，都涉及到泛函微分 方程( 参见【1 3 】，【1 4 】，【1 6 ，【1 7 】， 2 1 ) 而且，泛函微分方程比常微分方程更能 精确地描述客观事物如所周知，用常微分方程表示的种群生长模型的缺陷之 一是出生率被看作是同时产生的，而实际上由于妊娠期或成熟期的存在，加上 一个时滞会更合理 因此，脉冲泛函微分方程的研究具有十分重要的理论意义和现实意义 然而，由于一些理论和技术上的问题，脉冲泛函微分方程的一般理论的发展却 很缓慢我们注意到，即使一般脉冲微分方程的解的概念都可能要重新定义 其次，在泛函微分方程的经典理论中，函数x ( t ) 在r “中连续意味着泛函现 在c “中连续一这一点，对于泛函微分方程的解的存在性起关键作用 1 4 】而 加上脉冲后，我们要面对分段连续的懈z ( t ) ，此时对应的泛函。t 却未必分段连 续事实上，z 。可以是处处不连续的因此，即使y ( t ，币) 关于它的两个变量 都连续，而当z ( t ) 分段连续时，我们也不能对复合函数y ( t ，z 。) 的连续性下什 么结论此外，与不含泛函变元的脉冲常微分方程相比，脉冲常微分方程在固 定时刻的状态是一个实数，而脉冲泛函微分方程在固定时刻的状态是一个函 2 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 数因而是无穷维的 目前，脉冲泛函微分方程理论的研究，正吸引国内外一大批专家学者的注 意 下面，简单叙述与本文直接相关的几个问题的研究现状，并结合介绍本文 的主要工作 一、脉冲微分方程解的存在性 l 脉冲泛函微分方程的初值问题 微分方程的初值问题是微分方程理论的最基本的问题，整体解的存在性 对微分方程的定性性质( 包括稳定性、有界性、振动性、解的渐近行为等) 的 研究具有基本的重要性早期讨论的脉冲泛函微分方程都是一些特殊情形( 如 一阶线性脉冲时滞微分方程) ，它们的解的存在性、唯一性和整体存在性都可以 由系统本身通过对右端函数作较弱的假设得到因而人们几乎不提这些系统 的解的存在性、唯一性和整体存在性 对较一般情形，1 9 9 4 年，k r i s h n a 和a n o k h i nf 6 9 1 讨论了下面形式的脉冲 泛函微分方程： lz 印) = f ( t ，。( t 一 ( t ) ) ) ，t 20 ，t “， 【x x ( r k ) = x ( t ，z ( 仉) ) ， k = 1 ，2 ， 其中，r + r “- r “是c a r a t h e o d o r y 函数他们建立了这种方程解的一些 存在性( 包括解的整体存在性) 和唯一性结果 1 9 9 6 年和1 9 9 7 年，申建华在 1 0 0 ， 1 0 3 】和【1 0 4 】中，分别就具有限时滞和 具无限时滞的一般形式下的脉冲泛函微分方程给出了整体解的存在性和唯一 性结果 后来，翁佩萱和颜兆勤 1 0 7 】利用比较原理。也给出了一个一般形式下的 脉冲泛函微分方程整体解的存在性的充分条件 1 9 9 9 年和2 0 0 0 年，b a l l i n g e r ，g 和l i u ，x 【4 4 】，【45 l 通过引入所谓“复合 p c ( c o m p o s i t e p c ) ”的概念，建立了脉冲泛函微分方程 憾a z ( r 拦ki ( t 圳，。k 裂2 亏 - ， 【) =，z ( 一) ) ，= l ， 。 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 3 的解的存在性、唯一性和整体存在性结果。 遗憾的是，已有的整体存在性结果都要求其相应的不含脉冲的微分方程 的解整体存在，最近，申建华，l u ix 1 0 1 】给出了一类脉冲常微分方程初值 问题整体解的存在性结果，他们不要求相应的常微分方程的解整体存在 受文 1 0 1 的启发，本文第二章第二节讨论了脉 申泛函微分方程( 1 ，1 ) 的解 的整体存在性，我们利用分段连续的l i a p u n o v 函数和s c h a e f e r 不动点定理， 给出了几个整体存在性定理我们的结果不要求方程( 1 1 ) 对应的不含脉冲的 微分方程 z ( t ) = y ( t ，z t ) ，t 兰t o 的整体解存在 2 脉冲泛函微分方程的周期边值问题 上下解方法、拟线性化方法结合单调迭代技巧以及拓扑度方法等是研究 微分方程周期边值问题的主要方法 1 9 9 3 年，h r i s t o v a 和b a i n o v 6 5 利用单调迭代技巧研究了具上确界( s u p r e - i l l | 1 1 1 ) 的脉冲微分方程的周期边值问题 i 。( ) = ，( t ，z ( t ) ，s u p s f ，目。( s ) ) ，t o ，t x z ( 7 _ k ) = j ( t ，z ( 一) ) ，k = 1 ，2 ， ix ( 0 ) = z ( t ) 的极值解的存在性这可以看作是脉冲泛函微分方程周期边值问题研究的开 端t 9 9 6 年，他们又用同一方法讨论了脉冲微分差分方程的周期边值问题 【6 6 卜 1 9 9 7 年，董玉君( 5 4 j 利用拓扑度方法研究了一般形式的脉冲泛函微分方 程周期边值问题 f 一( t ) = f ( t ，轧) ，【o ，t 】，“， a z ( r k ) = ，扛( 一) ) ，k = 1 ，2 ，m ， l 。( o ) = z ( t ) 的解的存在性， ：! ： 塑童塑羹查兰! ! 坠曼堡圭兰竺篁圭 2 0 0 0 年，f r a n c o 等人 5 5 利用上下解方法结合单调迭代技巧讨论了形为 ) ，k z k l ( t ) ) ，t 【0 ，t 】，t k ，k = 1 ，2 ，m + l 女】( 一) ) ，k = 1 ，2 ，m ， 的脉冲泛函微分方程的周期边值问题他们将具上确界( s u p r e m u m ) 的脉冲微 分方程和脉冲积分微分方程的周期边值问题作为其特殊情况，改进了 6 5 】的 结果 2 0 0 1 年，b e n c h o h r a 和e l o e 【4 6 】利用s c h a e f e r 不动点定理考察了非谐振 脉冲泛函微分方程的周期边值问题，给出了这种问题的解存在的一个充分条 件 用上f 解方法结合单调迭代技巧讨论一阶脉冲泛函微分方程周期边值问 题的还有何智敏6 0 1 本文第二章第三节研究脉冲泛函微分方程的周期边值问题 & x ( t k ) = 厶扛( “) ) ，k = 1 ，2 ，m z ( 0 ) = o ( 2 ) 首先建立了两个比较原理；接着利用b a n a c h 压缩原理讨论了相应的线性初值 阿题和线性周期边值问题的解的存在唯一性；然后利用上下解方法和s c h a e f e r 不动点定理考察了上面非线性周期边值问题的解的存在性；最后，我们采用上 下解方法结合单调迭代技巧研究了上面非线性周期边值问题的极值解我们 的讨论不要求方程的右端函数y ( t ，z ，y ) 关于第三个变量具有单调性 3 脉冲常微分方程的反周期边值问题 初值问题和周期边值问题因为其重要性丽倍受专家学者重视与此相比， 反周期问题也许就不那样广为熟悉了但随着科学技术的发展，反周期问题在 物理学、控制理论等领域的应用越来越广泛( 参见【2 2 1 ，【2 4 ，【6 7 】，i s 7 】) 近十年 来，一阶常微分方程、高阶常微分方程、偏微分方程和抽象微分方程的反周期 冀一 茁 以 ，li-，(iil 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 5 边值问题以及反周期三角多项式、反周期子波和反周期拟子波等都得以广泛 研究( 例如，参见 3 1 ，f 2 3 ， 4 7 】，【4 8 】，【4 9 】，1 5 7 】) 2 0 0 0 年，f r a n c o 和n i e t o 【5 6 】将单调迭代技巧应用于脉冲常微分方程非 线性边值问题 l 。( t ) = f ( t ，( t ) ) ，t 0 ，t ，t 仉， z ( 丁七) = 厶扛( 一) ) ，k = 1 ，2 ，m ， iz ( o ) + ( z ( t ) ) = 0 和 i 一( ) = f ( t ，( t ) ) ，t o ，t 】，t ， z ( 吒) = 厶( z ( 一) ) ，= 1 ，2 ，m ， i ( 。( o ) ) + 。( t ) = 0 得到了一些有意义的结果，这些结果包含反周期边值条件，并推广了 1 0 8 ， 1 0 9 】 的结果，除此以外，我们未见到其他关于脉冲常微分方程反周期边值问题的研 究 本文第二章第四节研究脉冲常微分方程反周期边值问题 lz 似) = ，( t ，z ( t ) ) ，t f 0 ，叫，t r k ， a x ( t k ) = 如( “) ) ，k = 1 ，2 ，m ， ix ( o ) = 一。( t ) 与 5 6 】假设方程的右端函数，连续不同，我们假设，是工1 c a r a t h e o d o r y 的 我们采用b e r a y - s c h a u d e r 择一原理、上下解方法结合单调迭代技巧，首先考察 了相应的半线性反周期边值问题的解的存在性；接下来讨论了非线性反周期 边值问题的解的存在性，我们的结论不要求函数，具有任何单调性；最后， 在给出所谓耦合上下解的定义后，建立了非线性反周期边值问题的极值解的 存在性我们的结果是全新的 二、脉冲泛函微分方程的稳定性 脉冲泛函微分方程稳定性的最早研究当数1 9 8 6 年a n o k h i n 【2 5 的工作 随后，b a i n o v ，c o v a c h e v 和s t a m o v a 【3 5 】， 3 6 1 ，b a i n o v ，d i s h l i v e 和s t a m o v a 【3 7 】， b a i n o v 和s t a m o v a 3 8 】利用分段连续l i a p u n o v 泛函方法和比较原理研究了线 性与非线性脉冲微分差分方程的实用稳定性、集合稳定性及渐近稳定性等 6 - 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 a n o k h i n ，b e r e z a n s k y 和b r & v e r m a n 【2 6 】f 2 7 ，b e r e z a n s k y 和b r a v e r m a n 2 8 ， 2 9 】 及g o p a l s a m y 和张炳根 5 8 采用解的积分表示研究了脉冲线性微分方程的稳 定性。 m ，r a m am o h a n ar a o ，s r i v a s t a v a 和s i v a s u n d a r a mf 9 0 】及申建华f 9 9 】利用 分段连续l i a p u n o v 泛函方法得到了一阶脉冲积分微分方程 卜= 巾删) + 正鲋一小) ) 眠t 仉， 【。( 豫) = 氏 ( 强一) ) ， 女= 1 ，2 ， 的稳定性，一致稳定性和渐近稳定性的一些结果 1 9 9 6 年，庾建设和张炳根 1 1 5 】利用估值方法研究了脉冲时滞微分方程 iz ( ) = ，( ，z o h ) ) ，t f k ， 【a x ( r k ) = h 扛( 飞) ) ， ：1 ，2 的一致稳定性和一致渐近稳定性，着重反映了脉冲对稳定性的影响 1 9 9 8 年，申建华和燕居让【9 5 】将广泛使用于泛函微分方程稳定性研究的 l i a p u n o v r a z u m i k h i n 函数方法应用到脉冲泛函微分方程 fz ( t ) = ，( t ，x t ) ，t r k ， 【z ( ) = k ( z ( n 一) ) ，k = 1 ，2 ， 将泛函微分方程中著名的k r a s o v s k i r a z u m i k h i n 型一致渐近稳定性推广到脉冲 泛函微分方程 接下来，1 9 9 9 年，申建华【9 7 】，燕居让，申建华( 1 1 2 ，申建华，罗治国和 l i l tx 【9 8 ，2 0 0 1 年，l i ux 和b a l l i n g e rg ， 2 1 ，2 0 0 2 年罗治国，申建华 1 1 9 】利 用l i a p u n o v 函数或l i a p u n o v 泛函继续对上面方程或方程 。协) 2 巾，。t ) ， r k ， ( 1 2 ) 【z ( n ) = “( t ，z ( “一) ) ，k = 1 ，2 ， 。 进行研究，给出了一系列的一致稳定性、渐近稳定性、一致渐近稳定性以及不 稳定性的结果这些文献的一个共同的特点是不仅象早期的文献一样注意微 分系统的稳定性在脉冲扰动下的保留，而且更注意脉冲泛函微分方程与其对 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 7 应的不带脉冲的泛函微分方程的稳定性的区别，更加注重揭示脉冲对微分系 统的影响 本文第三章第二节讨论脉冲泛函微分方程( 1 2 ) 的稳定性我们首先通过 改进r a z u m i k h i n 条件、利用l i a p u n o v 函数法给出了方程( 1 2 ) 的零解一致渐 近稳定的新的判据，改进了【9 5 】的结论，倒3 , 41 说明了我们的结果的优势 然后我们利用l i a p u n o v 泛函方法研究方程( 1 2 ) 的稳定性为了使我们的结 果具有更广泛的实用性，我们将泛函y 的上界条件v ( t ，咖) 茎w 2 ( 1 1 1 1 ) 推广为 y ( t ，咖) w 2 ( l 毋( o ) 1 ) + w 3 ( 1 1 咖1 1 2 ) 甚至更一般的 y 妒) ( 。m + ( ，g ( s ) 帆( m 刮) 如) 和 v ( t ，) w 2 ( i ( o ) 1 ) + i ( 1 1 毋1 1 p ) + 7 ， 这里 忆= ( m s ) ；，。 p 0 为实数 2 0 0 1 年和2 0 0 3 年，罗治国，申建华【i 1 7 ， i i s ， i 2 0 研究了具无限时滞的 脉冲泛函微分方程 端嚣k 篡圳，普12 s ， 【z ( 飞) =( t ，t ( 仉一) ) ， = ， 。 的一致渐近稳定性 正如文献【2 ，【5 9 】， 1 0 5 指出的那样，即使对于不带脉冲的泛函微分方程，在 有限时滞的条件下建立的稳定性结论也未必适合于无限时滞的情形其主要原 因是区间( 一。o ，t o 】非紧；并且，就算解的集合为有界闭集，映到空间g ( ( 一。，o ， 舻) 中的像也未必是紧的当我们研究具无限时滞的脉冲泛函微分方程时，也 会在空间p e ( ( 一o 。，o ，r n ) 中遇到同样的问题因此，克服上述困难，建立具 无限时滞的脉冲泛函微分方程的稳定性理论是一项有意义的工作 本文第三章第三节讨论具无限时滞的脉冲泛函微分方程( 1 3 ) 的稳定性 首先我们利用l i a p u n o v 函数法讨论方程( 1 3 ) 的脉冲稳定化问题我们更注重 8 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 揭示脉冲泛函微分方程的本质特征，我们的结果显示某些脉冲扰动可以使不 稳定的系统一致稳定甚至一致渐近稳定然后利用l i a p u n o v 泛函方法考察了 方程( 1 3 ) 的一致渐近稳定性沿着文【1 1 7 】的思路，并将y ( # ，毋) 的上界增加 第三项，我们给出了方程( 1 3 ) 的零解一致渐近稳定的充分条件我们的结论 更便于应用，而且能很方便的用于既包含有限时滞又包含无限时滞的脉冲微 分方程， 三、二阶脉冲微分方程的振动性 二阶常微分方程和二阶时滞微分方程的振动理论的研究成果十分丰富， ( 例如，参见l a d d s ，l a k s h m i k a n t h a m 和张炳根 9 】，g y o y i 和l a d a s 【l o ，e r b e ， k o n g 和张炳根 1 l 】及s w a n s o n 【1 2 ) 但二阶脉冲微分方程的振动性的研究却 很少 1 9 9 7 年，陈永劭和冯伟贞 5 2 】研究了二阶脉冲常微分方程 i 。”( t ) + ，( t ，x ( o ) = 0 ，t , r k ，t t o ， ( i 产) = g ( z ( r k ) ) ，z 7 ( t 毒) = h k ( x 7 ( ，) ) ，= l ，2 ， 【。：( t 古) = 一( 碚) = z 古 的振动性，获得了一些好的结果 2 0 0 3 年，何智敏和葛胃高 6 1 1 ，罗交晚 7 7 】对二阶脉冲常微分方程 i ( t ( t ) t x ( t ) l o 一1 一( t ) ) 十f ( t ，z ( t ) ) = 0 ，t r k ，t t o ， z ( t ) _ 9 ( z ( 礓) ) ，( 付) = h k ( z ( 仉) ) ，k = 1 ，2 ， ， ( 14 ) iz ( t j - ) = x 0 ，一( 时) = x o + 的振动性进行了讨论一般化了 5 2 】的结果 显然与二阶常微分方程的振动理论的研究成果相比，二阶脉冲常微分方 程的振动理论的研究太少了一个自然的问题提出来t 能否利用二阶常微分方 程的振动性和非振动性来研究其对应的二阶脉冲常微分方程的振动性和非振 动性? 换句话说，什么条件下方程 ( r ( t ) 1 t ( t ) i a - 1 z ( t ) ) + f ( t ，z ( ) ) = 0 ，t t o 的振动性与非振动性包含了脉冲方程( 1 4 ) 的振动性与非振动性? 对于脉冲时 滞微分方程，类似的问题由b e r e z a n s k y , b r a v e r m a n 【3 0 】提出并为【3 1 ， 3 2 】和燕 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 9 居让等人【1 1 3 ， 1 1 4 所考虑最近，申建华f 1 0 2 对( 1 ，4 ) 的特殊情形讨论了该 问题 此外，虽然f 5 2 】，【6 1 】，【7 7 】的大部分结果也适合于讨论脉冲线性微分方程 i ( r ( 0 t 他) ) + p ( t ) x ( t ) = 0 ，t 1 k ，t t o ， z ( t ) = 乳( z ( “) ) ，一( t ) - h k ( z h ) ) ，= 1 ，2 ， lt ( t o * ) = t o ，。m 手) = z 击 其中p ( t ) 0 但线性的情形远不止如此倒如，对于下面简单方程 f ( ) + 署。( ) = o ， ，t 垴 卜( 对) = 半妣) ，z w ) = 半。k 乩2 ， 的振动性的讨论，他们的结果都无能为力 本文第四章第二节研究脉冲线性常微分方程的振动性我们利用r i c c a t i 技巧和等价变换考察了脉冲线性常微分方程与无脉冲线性常微分方程的振动 性和非振动性的关系，讨论了上面的问题 关于二阶脉冲泛函微分方程的振动性，也有一些研究 1 9 9 6 年，b a i n o v ，d i m i t r o v a 和d i s h l i e v 【3 9 】利用不动点原理讨论t - - 阶脉 冲时滞微分方程 l ( n ( t ) 一( t ) ) + f ( t ，( t ) ，t ( t h ) = 0 ，t ，t t o ， i ( r ( 仉) 一( n ) ) + 9 k ( xc _ r k ) ，z ( 一 ) ) = 0 ，a z ( r k ) = 0 ，k = l ，2 ， 存在非振动解的充要条件第二年，b a i n o v 和d i m i t r o v a ( 4 1 讨论了上面方程 是次线性或超线性时的解的振动性的充分必要条件 1 9 9 9 年，b e r e z a n s k y 和b r a v e r m a n 【3 1 】利用一般r i c c a t i 变换讨论了二阶 脉冲时滞微分方程 t 仉，t t o k = l ，2 忙 日 ， l | i | 0 o ，净”烈h墨仲 + = p 礓 砜 动振的 l o - 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 2 0 0 0 年，b a i n o v ，d i m i t r o v a 和d i s h l i e v 4 0 】研究了二阶脉冲微分差分方程 i ( o ( t ) z 7 0 ) ) 一p 0 ) z ( 一h ) = 0 ，t t k ，t t o ， a x 7 h ) = 凤z ( ) ，k = 1 ，2 ， 【。( t ) = 妒( t ) ， 一h t 0 的有界解的振动性 彭明书和葛胃高在2 0 0 0 年 8 8 和2 0 0 1 年 8 9 研究t - - - 阶脉冲时滞微分 方程 i ( a ( t ) l x 7 ( t ) a - i z ( t ) ) + ，( ，$ ( t ) ，。( t 一 ) ) = 0 ，t ，t t o ， iz ( t ) = “( z ( ) ) ，一( 咕) = 厶( 一( “) ) ， k = 1 ，2 ， 的振动性，推广了文献 5 2 】的结果 这些讨论具有某种一般性，所得结果也相当不错，但其实用性却未必很 强例如，他们的结果无就法讨论简单的脉冲方程 f + 乒1 一；) = o ， t ，= l ，2 卜+ ) - m h 协+ ) _ 压州k 堋， 的振动性 本文第四章第三节继续上面的讨论我们利用一般r i c c a t i 技巧和更精细 的分析方法获得了若干振动性准则，我们的结果适合于一大类脉冲时滞微分 方程，在某些方面改进了文【8 8 ， 8 9 的结果 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 1 l 第二章脉冲微分方程解的存在性 2 1引言 解的存在性问题是微分方程研究的一个最基本的问题，也是最重要的问 题之一，它一直伴随微分方程研究的全程与常微分方程、泛函微分方程解的 存在性讨论一样，脉冲微分方程的存在性问题主要分为初值问题、边值问题和 终值问题其研究一般采用n e w t o n 迭代法，不动点原理( 包括b a n a c h 压缩映 像原理，s c h a u d e r 不动点定理，s c h a e f e r 不动点定理，l e r a y s c h a u d e r 择一原 理等) ，上下解方法，单调迭代技巧和拓扑度方法等另外，在讨论解的唯一性 时还假设l i p s c h i t z 条件，讨论解的整体存在性时一般运用解的延拓方法，也 可借助拓扑度理论 本章讨论脉冲微分方程的初值问题和边值问题具体地说，2 2 讨论脉 冲泛函微分方程解的整体存在性我们采用s c h a e f e r 不动点定理，我们的定理 不假设脉冲泛函微分方程对应的连续方程的整体解存在，所以有更广泛的实 用性；在2 3 ，我们采用上下解方法和单调迭代技巧研究一类脉冲泛函微分方 程的周期边值问题我们不假设方程的右端函数f ( t ，z ，y ) 关于第三个变元具 有单调性最后，在2 4 ，我们讨论了脉冲常微分方程的反周期边值问题这 是一个全新的课题我们采用l e r a y s c h a u d e r 择一原理、上下解方法和单调迭 代技巧与已有文献假设右端函数，连续不同，我们假设，满足c a r a t h e o d o r y 条件在存在性结果中，我们不假设，满足单调性条件 2 2脉冲泛函微分方程解的整体存在性 设jcr 是任何区间，dcr “是一个开集，令p c ( j , d ) = z ：j 叶d i 。 在除t = , t - k j 的点外处处连续，$ ( 咭) 和z ( 百) 在d 中存在且( 百) = 。( 嘿) ) 对任何。p c ( j , d j ，其范数例i = s u p 。jf z ( 驯，这里是r “的模，那么， p c ( j , d ) 是一个b a n a c h 空间 1 2 湖南师范大学2 0 0 4 届博士学位论文 考虑脉冲泛函微分方程 州= 坤，z ) ， t o ，t r k ， ( 2 1 ) 【a z ( r k ) = 缸( 。h ) ) ，k = l ，2 ， 7 其中，：【0 o o ) p g ( - r ，o ，d ) r “，i k c ( d ，r n ) ，k = 1 ，2 ，0 r l 丁2 0 ) 为初值问题( 21 ) ( 2 2 ) 的 一个解，如果z ( ) 在( t o ，t o + o 】 ，k = 1 ，2 ，) 上连续，z ( 咭) 和z ( 百) 存在 并满足x ( t k ) = z ( 百) ，此外，。( t ) 满足( 2 1 ) ( 2 2 ) 定义2 2 2 称函数z ：【t o r t o + 卢) _ d ( 0 p o 。) 为初值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 的一个解，如果对每个0 0 ； ( 龇对所有的k = l ，2 ，0 o ) 的解显然t m + l ( ，+ a 1 ) 所以，( v 1 ) h + 。 p g ( 卜r ，o ，d ) ，且v l ( + 1 ) d ，因此l ( m + 1 ) + k 十l ( 1 ( + 1 ) ) d 这样，我 们可以再一次构造初值问题 ly j ( t ) = f c t ，) ，t t r n , + 1 ， 【耵+ l = ( 9 1 ) h + 1 封( 味+ 1 ) = 可l ( + 1 ) + k + 1 ( 1 ( +