高中数学 3.1.3.1.1函数与方程方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1 .ppt

3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 课标要求 1 结合二次函数的图象 判断一元二次方程根的存在性及个数 体会数形结合思想与函数与方程思想的应用 2 理解函数零点的概念 掌握函数零点的存在性定理 核心扫描 1 求函数的零点 重点 2 零点存在性及零点个数的判定 难点 3 函数的零点与方程根的关系 易混点 新知导学1 函数的零点对于函数y f x 把使的实数x叫做函数y f x 的零点 2 方程 函数 图象之间的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x f x 0 有零点 x轴 3 函数零点存在的判定方法如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可 否则不一定存在零点 反过来 若函数y f x 在区间 a b 内有零点 则f a f b 0不一定成立 f a f b 0 连续不断 f c 0 互动探究探究点1函数的零点是函数y f x 与x轴的交点吗 提示函数的零点不是函数y f x 与x轴的交点 而是y f x 与x轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点 而是一个实数 探究点2若连续不断的曲线y f x 在区间 a b 上有f a f b 0 那么y f x 在 a b 内一定有零点 但能确定零点的个数吗 提示不能 仅能确定一定有零点 但究竟有多少个零点无法确定 探究点3如果函数y f x 在 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 则y f x 在 a b 内一定没有零点吗 提示不一定 如y f x x2在 1 1 上 虽有f 1 f 1 1 0 但其有零点x 0 类型一求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x x2 2x 1 2 f x x4 x2 3 f x 4x 5 4 f x log3 x 1 思路探索 求函数的零点 就是求相应方程的根 解 1 令 x2 2x 1 0 解得x 1 所以函数f x x2 2x 1的零点为1 2 f x x2 x 1 x 1 0 x 0或x 1或x 1 故函数f x x4 x2的零点为0 1和1 3 令4x 5 0 则4x 5 0 方程4x 5 0无解 所以函数f x 4x 5不存在零点 4 令log3 x 1 0 解得x 0 所以函数f x log3 x 1 的零点为0 规律方法 1 本题通过求方程f x 0的根得出函数的零点 准确进行因式分解与变形是求方程根的关键 2 求函数y f x 的零点通常有两种方法 其一是令f x 0 根据解方程f x 0的根求得函数的零点 其二是画出函数y f x 的图象 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 类型二判断函数零点的个数 例2 判断函数f x lnx x2 3的零点的个数 思路探索 可以运用数形结合法或零点存在的判定方法解决 解法一函数对应的方程为lnx x2 3 0 所以原函数零点的个数即为函数y lnx与y 3 x2的图象交点个数 在同一坐标系下 作出两函数的图象 如图 由图象知 函数y 3 x2与y lnx的图象只有一个交点 从而lnx x2 3 0有一个根 即函数y lnx x2 3有一个零点 法二由于f 1 ln1 12 3 2 0 f 2 ln2 22 3 ln2 1 0 f 1 f 2 0 又f x lnx x2 3的图象在 1 2 上是不间断的 所以f x 在 1 2 上必有零点 又f x 在 0 上是递增的 所以零点只有一个 规律方法 判断函数零点个数的方法主要有 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以先确定零点存在 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的图象 利用图象判定方程根的个数 3 解方程 解得方程根的个数即为函数零点的个数 类型三函数零点的应用 例3 已知关于x的二次方程ax2 2 a 1 x a 1 0有两根 且一根大于2 另一根小于2 试求实数a的取值范围 思路探索 根据二次方程根的分布画出相应的函数图象 数形结合建立关于a的不等式 解令f x ax2 2 a 1 x a 1 依题意知 函数f x 有两个零点 且一零点大于2 一零点小于2 f x 的图象大致如图所示 当a 0时 应有f 2 4a 4 a 1 a 1 0 0 a 5 当a 0时 应有f 2 4a 4 a 1 a 1 0 无解 综上可知 a的取值范围是 0 5 规律方法 1 解决此类问题可设出方程对应的函数 根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号 建立不等式 使问题得解 当函数解析式中含有参数时 要注意分类讨论 2 二次函数的零点分布抓住 对称轴 判别式 图象开口方向与区间端点函数值的符号 利用数形结合直观求解 易错辨析忽视零点存在性定理的使用条件致误 正解 函数f x 的定义域为 x x r 且x 0 当x 0时 f x 0 f x 0无实根 当x 0时 f x 0 f x 0无实根 综上 函数f x 没有零点 答案a 防范措施 1 零点存在性定理成立的条件有两个 一是函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 二是f a f b 0 这两个条件缺一不可 如果其中一个条件不成立 那么就不能使用该定理 2 零点存在定理只能用来判定函数y f x 在区间 a b 上零点的存在性 但不能确定其零点的个数 课堂达标1 函数y 4x 2的零点是 3 二次函数y ax2 bx c中 a c 0 则函数零点的个数是 解析 a c 0 b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有两个交点 则函数有2个零点 答案2 4 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 填序号 2 1 1 0 0 1 1 2 解析 f x ex x 2 f 0 1 0 f 1 e 1 0 函数f x 的零点所在的一个区间是 0 1 答案 5 若函数f x x2 2x a没有零点 求实数a的取值范围 解令g x x2 2x x 1 2 1 由于 x 1 2 0 知 x 1 2 1 1 从而g x 0 令f x 0 则a x2 2x 当直线y a与g x 的图象没有交点时 函数f x 无零点 a 0 故实数a的取值范围是 0 课堂小结1 在函数零点存在性定理中 要注意三点 1 函数是连续的 2