高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修23.ppt

2 3数学归纳法 数学归纳法1 概念 一般地 证明一个与 有关的命题 可按下列步骤进行 正整数n 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 2 框图表示 n k k n0 n k 1 判断 正确的打 错误的打 1 与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法 2 数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1 3 数学归纳法的两个步骤缺一不可 提示 1 错误 数学归纳法只能证明与正整数n有关的数学命题 但与n有关的数学命题不一定只用数学归纳法来证明 2 错误 数学归纳法的第一步n0不一定为1 要视具体情况而定 3 正确 根据数学归纳法的定义可知 两个步骤缺一不可 答案 1 2 3 知识点拨 1 数学归纳法的实质数学归纳法是一种以数字归纳原理 即自然数归纳公理 为根据的演绎推理 它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程 所以它是证明有关自然数问题的有力工具 2 数学归纳法两个步骤的联系第一步是验证命题递推的基础 第二步是论证命题递推的依据 这两个步骤缺一不可 只完成第一步而缺少第二步就作出判断 可能得出不正确的结论 因为单靠第一步 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样只有第二步而缺少第一步时 也可能得出不正确的结论 缺少第一步这个基础 假设就失去了成立的前提 第二步也就没有意义了 3 数学归纳法证题的口诀数归证题真是妙 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 类型一用数学归纳法证明等式 典型例题 1 用数学归纳法证明某等式 其左边 则从n k到n k 1左边增加的项是 2 用数学归纳法证明 解题探究 1 题1中 n k 1时 左边的代数式是什么 2 题2中 由n k到n k 1等式左边增加了什么项 探究提示 1 n k 1时 左边 2 n k到n k 1 等式左边增加的项为 解析 1 当n k时 左边 当n k 1时 左边 所以n k到n k 1左边增加的项是答案 2 1 当n 1时 等式左边 等式右边 等式左边 等式右边 所以等式成立 2 假设n k k n 且k 1 时等式成立 即有则当n k 1时 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n n 等式都成立 互动探究 将题1等式的右边改为 左边不变 试用数学归纳法证明 证明 即证 1 当n 1时 左边 右边 所以等式成立 2 假设n k k 1 n n 时命题成立 即成立 那么当n k 1时 即n k 1时 等式也成立 综上所述 对于任何正整数n 等式都成立 拓展提升 数学归纳法证题的三个关键点 1 验证是基础 数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 n0 1 n n 这个n0 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数 这个自然数并不一定都是 1 因此 找准起点 奠基要稳 是第一个关键点 2 递推是关键 数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程中 要正确分析式子项数的变化 关键是弄清等式两边的构成规律 弄清由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 3 利用假设是核心 在第二步证明n k 1成立时 一定要利用归纳假设 即必须把归纳假设 n k时命题成立 作为条件来导出 n k 1 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 中的最后一项 这是数学归纳法的核心 不用归纳假设的证明就不是数学归纳法 变式训练 2013 台州高二检测 请观察以下三个式子 1 1 3 2 1 3 2 4 3 1 3 2 4 3 5 归纳出一般的结论 并用数学归纳法证明之 解析 结论 1 3 2 4 3 5 n n 2 证明 当n 1 左边 3 右边 3 所以左边 右边 假设当n k k 1 k n 时 命题成立 即1 3 2 4 3 5 k k 2 则当n k 1时 1 3 2 4 k k 2 k 1 k 3 所以当n k 1时命题成立 由 知 命题成立 类型二数学归纳法证明不等式 典型例题 1 用数学归纳法证明时 第一步应验证不等式 a b c d 2 已知n n n 2 求证 解题探究 1 题1中 左边代数式的分母具有什么特点 2 题2中 第1个要证明的n的取值是什么 n k 1时 要证明的不等式是什么 探究提示 1 中 分母为连续的自然数 n k时 左边表示从1开始的连续的2k 1个自然数的倒数的和 2 第1个取值n0 3 n k 1时要证明的不等式是 解析 1 选b 因为n n n 1 所以n取的第一个自然数为2 左端分母最大的项为故选b 2 1 当n 3时 左边 右边 左边 右边 不等式成立 2 假设当n k k n 且k 3 时 不等式成立 即当n k 1时 因为所以所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 知 对一切n n n 2 不等式成立 拓展提升 用数学归纳法证明不等式的四个关键 变式训练 用数学归纳法证明 n 2 n n 解题指南 由题目可知第一个n0 2 证明中应用归纳假设后可采用比较法 证明 1 当n 2时 左边 右边 左边 右边 不等式成立 2 假设当n k k n k 2 时 不等式成立 即那么当n k 1时 又由于 所以所以即当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 知 对于大于等于2的正整数n 不等式成立 类型三归纳 猜想 证明 典型例题 1 已知数列 an 的前n项和sn n2an n 2 而a1 1 通过计算a2 a3 a4 猜想an a b c d 2 2013 莆田高二检测 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 解题探究 1 an与sn的关系怎样 2 归纳猜想时应由前几项来确定 这里应注意什么 探究提示 1 n 1时 a1 s1 n 2时 an sn sn 1 2 在归纳猜想时 要根据所求出的前几项 抽象出一般的规律 猜想出规律性的结论 解析 1 选b 由sn n2an知sn 1 n 1 2an 1 所以sn 1 sn n 1 2an 1 n2an 所以an 1 n 1 2an 1 n2an 所以当n 2时 s2 4a2 又s2 a1 a2 所以由猜想故选b 2 1 当n 1时 a1 s1 2 a1 所以a1 1 当n 2时 a1 a2 s2 2 2 a2 所以当n 3时 a1 a2 a3 s3 2 3 a3 所以当n 4时 a1 a2 a3 a4 s4 2 4 a4 所以由此猜想 n n 2 证明 当n 1时 a1 1结论成立 假设n k k 1 且k n 时结论成立 即当n k 1时 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 所以2ak 1 2 ak 所以所以当n k 1时 结论成立 由 知猜想成立 拓展提升 1 归纳 猜想 证明 的一般环节 2 归纳 猜想 证明 的主要题型 1 已知数列的递推公式 求通项或前n项和 2 由一些恒等式 不等式改编的一些探究性问题 求使命题成立的参数值是否存在 3 给出一些简单的命题 n 1 2 3 猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题 变式训练 已知f x x1 1 xn f xn 1 n 2 n n 则x2 x3 x4分别为多少 猜想xn 并用数学归纳法证明 解题指南 利用xn f xn 1 结合函数解析式 准确计算出x2 x3 x4 猜想出一般性结论后用数学归纳法证明 解析 因为f x x1 1 xn f xn 1 所以x2 f x1 f 1 猜想 用数学归纳法证明如下 1 当n 1时 左边 x1 1 右边 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k n k 1 时 等式成立 即当n k 1时 所以当n k 1时 等式成立 由 1 2 可知猜想成立 用数学归纳法证明几何问题 典型例题 1 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形对角线的条数f n 1 为 a f n n 1b f n nc f n n 1d f n n 22 平面内有n n n n 2 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 求证交点的个数 解析 1 选c 增加一个顶点 就增加n 1 3条对角线 另外原来的一边也变成了对角线 故f n 1 f n 1 n 1 3 f n n 1 故应选c 2 1 当n 2时 两条直线的交点只有一个 又f 2 2 2 1 1 所以当n 2时 命题成立 2 假设当n k k n k 2 时命题成立 即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f k k k 1 那么 当n k 1时 任取一条直线l 除l以外其他k条直线的交点个数为f k k k 1 l与其他k条直线交点个数为k 从而k 1条直线共有f k k个交点 即f k 1 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1 k 1 k 1 1 所以当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 对任意n n n 2 命题都成立 拓展提升 用数学归纳法证明几何问题的三个关注点 1 用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题 常见的形式有交点的个数问题 直线的条数问题 划分区域问题 以及构成的角的个数问题 2 证明几何问题的关键是 找项 即几何元素由k个变成k 1个 所证的几何量将增加多少 这需要用到几何知识或借助几何图形分析 3 几何问题的证明既要注意数形结合 又要注意有必要的文字证明 规范解答 数学归纳法在证明不等式中的应用 典例 条件分析 规范解答 1 当n 1时 左式 1 右式 1 所以命题成立 3分 2 假设当n k k n 时 命题成立 即 4分 则当n k 1时 8分又 即当n k 1时 命题成立 11分由 1 和 2 可知 命题对所有的n n 都成立 12分 失分警示 防范措施 1 搞清分式结构在使用数学归纳法时 要分析透彻式子的结构 防止验证初始值或n k 1时证明出错 如本例n 1时 中间为1 n k 1时增加的不是1项而是很多项 2 放缩要适度作为n k 1时证明的目标 证明中要瞄准这个方向 既要有方向性 也要放缩适度 如本例中 处 度 的把握非常关键 类题试解 用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 不等式成立 2 假设当n k k n k 1 时 不等式成立 即 则当n k 1时 因为 所以 所以当n k 1时 不等式成立 由 1 2 可知 对于任意正整数n 不等式成立 1 用数学归纳法证明 n n 时 第一步需要证明 a b c d 解析 选c 因为n 2 故第一步需验证n 2时是否成立 即需要证明 2 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时 该命题成立 那么可推得n k 1时 该命题也成立 现在已知当n 5时 该命题不成立 那么可推得 a 当n 6时该命题不成立b 当n 6时该命题成立c 当n 4时该命题不成立d 当n 4时该命题成立 解析 选c 原命题正确 则逆否命题正确 故应选c 3 用数学归纳法证明等式1 2 3 n 3 n n 时 第一步验证n 1时 左边应取的项是 a 1b 1 2c 1 2 3d 1 2 3 4 解析 选d 在等式1 2 3 n 3 n n 中 当n 1时 n 3 4 而等式左边是起始为1的连续的正整数的和 故当n 1时 等式左边的项为1 2 3 4 故选d 4 用数学归纳法证明 n2 5n 5 1时 需证明的第一个n值是 解析 验证可知 n 1 2 3 4时 n2 5n 5 1 n 5时 52 5 5 5 1 n 6时 62 5 6 5 1 所以需验证的第一个n值应为5 答案 5 5 用数学归纳法证明关于n的恒等式 当n k时 表达式为1 4 2 7 k 3k 1 k k 1 2 则当n k 1时 表达式为 解析 根据关系式的特征知 当n k 1时 表达式应为1 4 2 7 k 1 3k 4 k 1 k 2 2 答案 1 4 2 7 k 1 3k 4 k 1 k