高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22.ppt

2 2 2反证法 反证法 不成立 假设 错误 原命题成立 已知条件 假设 定义 定理 公理 事实 判断 正确的打 错误的打 1 反证法属于间接证明问题的方法 2 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 3 反证法的实质是否定结论导出矛盾 提示 1 正确 反证法其实是证明其逆否命题成立 所以它属于间接证明问题的方法 2 错误 反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理 3 正确 否定结论导出矛盾就是反证法的实质 从而肯定原结论 答案 1 2 3 知识点拨 对反证法概念的三点说明 1 反证法不是直接去证明结论 而是在否定结论的基础上 运用演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 2 反证法中的 反设 是应用反证法的第一步 也是关键的一步 反设 的结论将是下一步 归谬 的一个已知条件 反设 是否正确 全面 将直接影响下一步的证明 3 反证法的 归谬 是反证法的核心 其含义是 从命题结论的假设 即把 反设 作为一个新的已知条件 及原命题的条件出发 引用一系列论据进行正确推理 推出与已知条件 定义 定理 公理等相矛盾的结果 类型一用反证法证明否定性命题 典型例题 1 用反证法证明某命题时 对某结论 自然数a b c中无偶数 正确的假设为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中至少有一个偶数 2 2013 中山高二检测 设函数f x ax2 bx c a 0 中 a b c均为整数 且f 0 f 1 均为奇数 求证 f x 0无整数根 解题探究 1 a b c中无偶数的含义是什么 2 题2中 f 0 为奇数且f 1 为奇数能说明什么问题 探究提示 1 a b c中无偶数 即a b c都是奇数 2 f 0 c且f 1 a b c 由于f 0 为奇数 所以c为奇数 由于f 1 为奇数 c为奇数 所以a b为偶数 解析 1 选d a b c中无偶数 即a b c都是奇数 反设应是 a b c中至少有一个偶数 2 假设f x 0有整数根n 则an2 bn c 0 n z 因为f 0 f 1 均为奇数 且f 0 c f 1 a b c 所以c为奇数 a b为偶数 即a b c同时为奇数或a b为偶数 c为奇数 1 当n为奇数时 an2 bn为偶数 2 当n为偶数时 an2 bn也是偶数 即an2 bn c为奇数 这与an2 bn c 0矛盾 所以假设不成立 所以f x 0无整数根 互动探究 题2中 把 f 0 f 1 均为奇数 改为f 0 f 1 均为偶数 求证 f x 1无整数根 证明 假设f x 1有整数根n 则an2 bn c 1 0 n z 因为f 0 f 1 均为偶数 且f 0 c f 1 a b c 所以c为偶数 a b为偶数 即a b c同时为偶数或a b为奇数 c为偶数 1 n为奇数时 an2 bn为偶数 2 n为偶数时 an2 bn也为偶数 即an2 bn c 1为奇数 这与an2 bn c 1矛盾 所以假设不成立 所以f x 1无整数根 拓展提升 1 用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 变式训练 已知函数用反证法证明 方程f x 0没有负实数根 证明 假设存在x0 0 x0 1 满足f x0 0 则且0 1 所以即这与假设x0 0矛盾 故方程f x 0没有负实数根 类型二用反证法证明存在性命题 典型例题 1 2013 姜堰高二检测 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不小于60度 时 反设应为 2 2013 海口高二检测 若x y都是正实数 且x y 2 求证 与中至少有一个成立 解题探究 1 至少有一个不小于60 的含义是什么 2 两个式子 至少有一个成立 是否是 有且只有一个成立 探究提示 1 至少有一个不小于60 包括 只有一个不小于60 只有两个不小于60 三个都不小于60 2 两者意义是不相同的 前者包含后者 解析 1 根据反设内容与原内容相互补的原则 至少有一个不小于60 的反设应为 一个也没有不小于60 的角 即三个角都小于60 答案 三个角都小于60 2 假设和都不成立 则有和同时成立 因为x 0且y 0 所以1 x 2y且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知条件x y 2矛盾 因此和中至少有一个成立 拓展提升 1 用反证法证明 若p 则q 的过程 2 应用反证法常见的 结论词 与 反设词 当命题中出现 至多 至少 等词语时 直接证明不易入手且讨论较复杂 这时 可用反证法证明 证明时常见的 结论词 与 反设词 如下 变式训练 2013 陕西师大附中高二检测 已知a b c均为实数 且求证 a b c中至少有一个大于0 请用反证法证明 解题指南 反设结论后 推导出矛盾 进而证明原结论成立 证明 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 得a b c 0 而a b c x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 3 0 即a b c 0与a b c 0矛盾 所以假设错误 即a b c中至少有一个大于0 类型三反证法证明唯一性命题 典型例题 1 若p是两条异面直线l m外的任意一点 则 a 过点p有且仅有一条直线与l m都平行b 过点p有且仅有一条直线与l m都垂直c 过点p有且仅有一条直线与l m都相交d 过点p有且仅有一条直线与l m都异面2 求证 两条相交直线有且只有一个交点 解题探究 1 有且只有 的含义是什么 2 有且只有一个交点 的反设包括哪些方面 探究提示 1 有且只有 中 有 是指存在性 而 只有 是指唯一性 2 有且只有一个交点 的反设包括两个方面 即 没有交点 和 不只有一个交点 解析 1 选b 对于a 若存在直线n 使n l且n m 则有l m 与l m异面矛盾 对于c 过点p与l m都相交的直线不一定存在 反例如图 l 对于d 过点p与l m都异面的直线不唯一 2 假设结论不成立 则有两种可能 无交点或不止一个交点 若直线a b无交点 则a b或a b是异面直线 与已知矛盾 若直线a b不只有一个交点 则至少有两个交点a和b 这样同时经过点a b就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 综上所述 两条相交直线有且只有一个交点 拓展提升 巧用反证法证明唯一性命题 1 当证明结论以 有且只有 当且仅当 唯一存在 只有一个 等形式出现的命题时 由于反设结论易于推出矛盾 故常用反证法证明 2 用反证法证题时 一定要用到 反设 进行推理 否则就不是反证法 用反证法证题时 如果欲证明命题的反面情况只有一种 那么只要将这种情况驳倒了就可以 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 3 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于导出矛盾 所以用反证法证其唯一性就较简单明了 变式训练 求证过一点只有一条直线与已知平面垂直 解题指南 文字叙述题的证明应先写出已知 求证 本题证明时应分两种情况 即点p在平面 内和点p在平面 外 解析 已知 平面 和一点p 求证 过点p与平面 垂直的直线只有一条 证明 如图所示 不论点p在 内或 外 设pa 垂足为a 或p 假设过点p还有另一条直线pb 设pa pb确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点p有两条直线pa pb垂直于a 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾 所以假设不成立 原命题成立 规范解答 反证法在证明问题中的应用 典例 条件分析 规范解答 假设 1 a b 1 b c 1 c a都大于 2分因为00 由基本不等式 得 5分 同理 6分将这三个不等式两边分别相加 得 9分即这是不成立的 故 1 a b 1 b c 1 c a不能都大于 12分 失分警示 防范措施 1 关注前后联系反证法的关键是找矛盾 所以应注意前后联系 如本例基本不等式的使用起了关键作用 2 步骤力求完整反证法的三个步骤是严谨的过程 不能随意丢弃任何条件 特别是假设的否定 如本例中是不成立的 应给予解释 类题试解 用反证法证明 如果四边形abcd的对角互补 那么四边形abcd是圆内接四边形 证明 假设四边形abcd不是圆内接四边形 设经过点a b d的圆为 o 点c在 o内或 o外 因为四边形abcd的对角互补 所以 a c 180 在 o上取点c 连结bc dc 则 a bc d 180 若点c在 o内 则 c bc d a c 180 与 a c 180 矛盾 所以假设不成立 若点c在 o外 则 c bc d a c 180 与 a c 180 矛盾 所以假设不成立 综上所述 如果四边形abcd的对角互补 那么四边形abcd是圆内接四边形 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 结论的否定 已知条件 公理 定理 定义等 原结论 a b c d 解析 选c 根据反证法的定义 推导过程中 不能把原结论作为条件使用 其他都可以 2 用反证法证明 若a b两数之积为0 则a b至少有一个为0 应假设 a a b没有一个为0b a b只有一个为0c a b至多有一个为0d a b两个都为0 解析 选a 至少有一个 的反设是 一个也没有 故应假设a b没有一个为0 3 用反证法证明命题 a b n 如果ab可被5整除 那么a b至少有1个能被5整除 则假设的内容是 a a b都能被5整除b a b都不能被5整除c a不能被5整除d a b有1个不能被5整除 解析 选b 用反证法只否定结论即可 而 至少有1个 的反面是 一个也没有 故选b 4 用反证法证明命题 三角形的内角至多有一个钝角 正确的假设是 解析 至多n个 的反设为 至少n 1个 所以 三角形的内角至多有一个钝角 的反设应为 三角形的