高中数学 第一章 1.2.2 第2课时 组合的综合应用课件 新人教A版选修23.ppt

第2课时组合的综合应用 类型一无限制条件的组合问题 典型例题 1 某人决定投资3种股票和4种债券 经纪人向他推荐了6种股票和5种债券 则此人不同的投资方式有 种 2 某高中学生会由6名男生和4名女生组成 1 从中选4名学生参与学校卫生大检查 共有多少种不同的选法 2 从男生和女生中各选2名学生去 阳光敬老院 进行某项社会调查 共有多少种不同的选法 解题探究 1 题1中投资需分几步 每步选法如何用组合数表示 2 题2 2 中完成此件事需分几步走 分别是什么 探究提示 1 投资需分两步 第一步投资股票有种 第二步 投资债券有种 2 分两步走 第一步从6名男生中任选2名学生 第二步从4名女生中任选2名学生 解析 1 需分两步 第一步 根据经纪人的推荐在6种股票中选3种 共有种选法 第二步 根据经纪人的推荐在5种债券中选4种 共有种选法 根据分步乘法计数原理 此人有种不同的投资方式 答案 100 2 1 本问题相当于从10个不同的元素中 任取4个元素 所以共有种不同的选法 2 完成这件事分两步走 第一步从6名男生中任选2名学生 共有种不同的选法 第二步从4名女生中任选2名学生 共有种不同的选法 由分步乘法计数原理得 共有15 6 90种不同的选法 拓展提升 求解无限制条件组合问题的步骤与关注点1 求解步骤 2 关注点及注意点 要关注将要计的数是分类还是分步 在分类和分步时 一定要注意有无重复或遗漏 变式训练 2013 成都高二检测 给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色 红 黄 绿 蓝 要求相邻两个面涂不同的颜色 则共有涂色方法多少种 涂色后 任意翻转正方体 能使正方体各面颜色一致 我们认为是同一种涂色方法 a 6种b 12种c 24种d 48种 解析 选a 由于涂色过程中 要保证满足条件 用四种颜色 相邻的面不同色 正方体的三对面 必然有两对同色 一对不同色 而且三对面具有 地位对等性 因此 只需从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上 剩下的两种颜色涂在另外两对面即可 因此共有 种 不同的涂法 类型二有限制条件的组合问题 典型例题 1 以正方体的顶点为顶点 可以确定 个四面体 2 2013 青岛高二检测 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾 其中这10名医疗专家中有4名是外科专家 问 1 抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种 2 抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种 3 抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种 解题探究 1 构成四面体的四个点需具备什么限制条件 2 题2中 恰有2名外科专家 至少有2名外科专家 与 至多有2名外科专家 的含义分别是什么 探究提示 1 构成四面体的四个点需具备不共面这一限制条件 2 恰有2名外科专家 指的是抽调的6名专家中有2名是外科专家 其余4名是非外科专家 至少有2名外科专家 指的是有可能是2名外科专家 也可能是3名或4名 至多有2名外科专家 指的是可能有2名外科专家 也可能1名或没有 解析 1 正方体8个顶点可构成个四点组 其中共面的四点组有正方体的6个表面的四个顶点和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点 故可以确定的四面体有 个 答案 58 2 1 分步 首先从4名外科专家中任选2名 有种选法 再从除外科专家的6人中选取4人 有种选法 所以共有种抽调方法 2 至少 的含义是不低于 有两种解答方法 方法一 直接法 按选取的外科专家的人数分类 选2名外科专家 共有种选法 选3名外科专家 共有种选法 选4名外科专家 共有种选法 根据分类加法计数原理 共有种抽调方法 方法二 间接法 不考虑是否有外科专家 共有种选法 考虑选取1名外科专家参加 有种选法 没有外科专家参加 有种选法 所以共有种抽调方法 3 至多2名 包括 没有 有1名 有2名 三种情况 分类解答 没有外科专家参加 有种选法 有1名外科专家参加 有种选法 有2名外科专家参加 有种选法 所以共有种抽调方法 拓展提升 有限制条件的组合应用题的常见类型及求解思路1 含 与 不含 问题这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置 一般来讲 特殊要先满足 其余则 一视同仁 若正面入手不易 则从反面入手 寻找问题的突破口 即采用间接法 解题时要注意分清 恰有 有且仅有 至多 至少 全是 都不是 不都是 等词语的确切含义 准确把握分类标准 2 几何中的计数问题在处理几何问题中的组合应用问题时 应先明确几何中的点 线 面及构型 明确平面图形和立体图形中的点 线 面之间的关系 将几何问题抽象成组合问题来解决 变式训练 1 在四棱锥p abcd中 顶点为p 从其他的顶点和各棱的中点中取3个 使它们和点p在同一平面内 不同的取法有 a 40种b 48种c 56种d 62种 解析 选c 如图 满足题设的取法可分为三类 在四棱锥的每个侧面上除点p外任取3点 有 种 不同的取法 在两个对角面上除点p外任取3点 共有 种 不同的取法 过点p的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面 共有 种 不同的取法 故不同的取法共有40 8 8 56 种 2 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 1 从口袋内取出3个球 共有多少种取法 2 从口袋内取出3个球 使其中含有1个黑球 有多少种取法 3 从口袋内取出3个球 使其中不含黑球 有多少种取法 解析 1 种 2 从7个白球中任选2个 共有 种 3 从7个白球中任选3个 共有 种 类型三排列 组合的综合应用 典型例题 1 2013 长春高二检测 某校高二年级共有六个班级 现从外地转入4名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名 则不同的安排方案种数有 a 6种b 24种c 180种d 90种 2 2013 安阳高二检测 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数 试问 1 能组成多少个没有重复数字的七位数 2 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个 3 1 中的七位数中 偶数排在一起 奇数也排在一起的有几个 4 1 中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个 解题探究 1 题1中的4名学生安排到两个班级是平均分组还是非平均分组 分组后还要分配吗 2 题2 1 中组成没有重复数字的七位数 需要分几步完成 各是什么问题 题2 2 中七位数中要求三个偶数排在一起 应如何安排 题2 3 中的七位数应如何排 题2 4 中的七位数应如何排 探究提示 1 是平均分组 且分组后需要分配 2 组成题2 1 中的七位数 需分三步即第1步取3个偶数为组合问题 第二步取4个奇数为组合问题 第3步将取出的7个数排序 为排列问题 题2 2 可用 捆绑法 安排 题2 3 分别用 捆绑法 安排 题2 4 可对偶数用插空法安排 解析 1 选d 先把4名学生分两组有 种 然后再把这两组给这6个班中的两个班有 种 根据分步乘法计数原理得不同的安排方案种数有3 30 90 种 2 1 分步完成 第一步在4个偶数中取3个 可有种情况 第二步在5个奇数中取4个 可有种情况 第三步3个偶数 4个奇数进行排列 可有种情况 所以符合题意的七位数有 个 2 上述七位数中 三个偶数排在一起的有 14400 个 3 上述七位数中 3个偶数排在一起 4个奇数也排在一起的有 个 4 上述七位数中 偶数都不相邻 可先把4个奇数排好 再将3个偶数分别插入5个空档 共有 个 拓展提升 1 解答排列 组合综合问题的一般思路和注意点 1 一般思路 先选后排 也就是把符合题意的元素都选出来 再对元素或位置进行排列 2 注意点 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法 无序的问题是组合问题 有序的问题是排列问题 对于有多个限制条件的复杂问题 应认真分析每个限制条件 然后再考虑是分类还是分步 这是处理排列 组合的综合问题的一般方法 2 分组 分配问题的求解策略 1 分组问题属于 组合 问题 按组合问题求解 常见的分组问题有三种 完全均匀分组 每组的元素个数均相等 部分均匀分组 应注意不要重复 若有n组均匀 最后必须除以n 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象 2 分配问题属于 排列 问题 可以按要求逐个分配 也可以分组后再分配 变式训练 1 2013 嘉兴高二检测 将红 黑 蓝 黄4个不同的小球放入3个不同的盒子 每个盒子至少放一个球 且红球和蓝球不能放在同一个盒子 则不同的放法有 a 18种b 24种c 30种d 36种 解析 选c 将4个小球放入3个不同的盒子 先在4个小球中任取2个作为1组 再将其与其他2个小球对应3个盒子 共有种情况 若红球和蓝球放到同一个盒子 则黑 黄球放进其余的盒子里 有种情况 则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36 6 30种 2 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的分法 1 分给甲 乙 丙三人 每人两本 2 分为三份 每份两本 3 分为三份 一份一本 一份两本 一份三本 4 分给甲 乙 丙三人 一人一本 一人两本 一人三本 解析 1 根据分步乘法计数原理得有种 2 分给甲 乙 丙三人 每人两本有种方法 这个过程可以分两步完成 第一步分为三份 每份两本设有x种方法 第二步再将这三份分给甲 乙 丙三名同学有种方法 根据分步乘法计数原理可得 所以因此分为三份 每份两本一共有15种方法 3 这是 不均匀分组 问题 一共有种方法 4 在 3 的基础上再进行全排列 所以一共有 360种方法 易错误区 组合应用问题中考虑不周致误 典例 已知集合a 1 2 3 4 5 则至少含一个偶数的集合a的子集个数为 解析 直接法 当子集中含有1个偶数时 共有个数 个 当子集中含有2个偶数时 共有 个 满足题意的集合a的子集个数为 16 8 24 个 间接法 集合a的子集共有 个 不符合题意的子集有空集 分别只含有1 2 3个奇数的子集 有 个 故符合题意的子集个数为32 8 24 个 答案 24 误区警示 防范措施 1 分类不重复 不遗漏分类时要选择一个确定的分类标准 其原则是分类不能重复 不能遗漏 如本例中对偶数个数的分类 2 重视特殊情况在解题中的作用解题过程中要注意分析特殊元素 特殊情况对结果的影响 并注意总结 避免因考虑问题不全面而失分 如本例中子集的特殊情况空集就容易遗漏 类题试解 从5名男学生 4名女学生中选3名学生组成一个研究性学习小组 要求其中男 女学生都有 则不同的选法有 解析 根据题意 共有9名学生 从中任取3人 有 种 取法 其中只有男生的有 种 取法 只有女生的有 种 取法 则男 女学生都有的选法有84 10 4 70 种 答案 70种 1 楼道里有12盏灯 为了节约用电 需关掉3盏不相邻的灯 则关灯方案有 a 72种b 84种c 120种d 168种 解析 选c 需关掉3盏不相邻的灯 即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中 所以关灯方案共有 种 2 今有甲 乙 丙三项任务 甲需2人承担 乙 丙各需1人承担 现从10人中选派4人承担这三项任务 不同的选派方法有 a 1260种b 2025种c 2520种d 5054种 解析 选c 先从10人中选出4个人 再在这4个人中选两个从事甲任务 剩下的两个人从事乙 丙任务 故可得出 种 3 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 a 6种b 12种c 24种d 30种 解析 选c 所有两人各选修2门的种数是两人所选两门都相同和都不同的种数均为故只恰好有1门相同的选法有 种 4 如图 要用三根数据线将四台电脑a b c d连接起来以实现资源共享 则不同的连接方案的种数是 a 16b 18c 20d 22 解析 选a 画一个正方形和它的两条对角线 在这6条线段中 选3条的选法有 种 其中4个直角三角形不是连接方案 故不同的连接方案共有 种 5 某科技小组有女同学2名 男同学x名 现从中选出3名去参加展览 若恰有1名女生入选时的不同选法有20种 则该科技小组中男生的人数为 解析 由题意得解得x 5 答案 5 6 课外活动小组共13人 其中男生8人 女生5人 并且男 女生各指定一名队长 现从